概率论与数理统计及其应用课后答案浙江大学盛骤版.doc

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1、概率论与数理统计及其应用习题解答1第 1 章 随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：（1）连续投掷一颗骰子直至 6 个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。（2）连续投掷一颗骰子直至 6 个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。（3）连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。（4）抛一枚硬币，若出现 H 则再抛一次；若出现 T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。解解： （1）7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2S； （2）, 4 , 3 , 2S； （3）,TTTHTTHTHHS ；（4）6, 5, 4, 3, 2, 1,TTTTTTHTHHS 。2，设BA

2、,是两个事件，已知,125. 0)(, 5 . 0)(,25. 0)(ABPBPAP，求)(),(),(),(_ABBAPABPBAPBAP。解解：625. 0)()()()(ABPBPAPBAP，375. 0)()()()(ABPBPBASPBAP，875. 0)(1)(_ABPABP，5 . 0)(625. 0)()()()(_ABPABBAPBAPABSBAPABBAP3，在 100，101，999 这 900 个 3 位数中，任取一个 3 位数，求不包含数字 1 个概率。解解：在 100，101，999 这 900 个 3 位数中不包含数字 1 的 3 位数概率论与数理统计及其应用习题

3、解答2的个数为648998，所以所求得概率为72. 09006484，在仅由数字 0，1，2，3，4，5 组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。 （1）求该数是奇数的概率； （2）求该数大于 330 的概率。解解：仅由数字 0，1，2，3，4，5 组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455个。 （1）该数是奇数的可能个数为48344个，所以出现奇数的概率为48. 010048（2）该数大于 330 的可能个数为48454542，所以该数大于330 的概率为48. 0100485，袋中有 5 只白球，4 只红球，3 只黑球，在其中任取 4 只，求下列事件的概率

4、。（1）4 只中恰有 2 只白球，1 只红球，1 只黑球。（2）4 只中至少有 2 只红球。（3）4 只中没有白球。解解: （1）所求概率为338412131425CCCC；（2） 所求概率为165674952014124418342824CCCCCC；（3）所求概率为16574953541247CC。6， 一公司向M个销售点分发)(Mnn张提货单， 设每张提货单分发给概率论与数理统计及其应用习题解答3每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到)(nkk张提货单的概率。解解：根据题意，)(Mnn张提货单分发给M个销售点的总的可能分法有nM种，某一特定的销售点得

5、到)(nkk张提货单的可能分法有knknMC ) 1(种， 所以某一特定的销售点得到)(nkk张提货单的概率为nknknMMC ) 1(。7，将 3 只球（13 号）随机地放入 3 只盒子（13 号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。（1）求 3 只球至少有 1 只配对的概率。（2）求没有配对的概率。解解：根据题意，将 3 只球随机地放入 3 只盒子的总的放法有 3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有 1 只配对的放法有 2 种：312，231。至少有 1 只配对的放法当然就有 6-2=4 种。所以（2）没有配对的概率为3162；（1）至

6、少有 1 只配对的概率为32311。8， （1） 设, 1 . 0)(, 3 . 0)(, 5 . 0)(ABPBPAP， 求)|(),|(),|(BAAPABPBAP,)|(),|(ABAPBAABP.（2）袋中有 6 只白球，5 只红球，每次在袋中任取 1 只球，若取到白球， 放回， 并放入 1 只白球； 若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球 4 次， 求第一、 二次取到白球且第三、 四次取到红球的概率。解解： （1）由题意可得7 . 0)()()()(ABPBPAPBAP，所以概率论与数理统计及其应用习题解答4313 . 01 . 0)()()|(BPABPBAP，515 . 01

7、 . 0)()()|(APABPABP，75)()()()()|(BAPAPBAPBAAPBAAP，71)()()()()|(BAPABPBAPBAABPBAABP，1)()()()()|(ABPABPABPABAPABAP。（2）设)4 , 3 , 2 , 1( iAi表示“第i次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为4321AAAA，它的概率为（根据乘法公式）)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP0408. 020592840124135127116。9，一只盒子装有 2

8、只白球，2 只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。解解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A， “另一只也是红球”记为事件B。则事件A的概率为65314232422)(AP（先红后白，先白后红，先红后红）所求概率为51653142)()()|(APABPABP10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有 5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有 45%的人以为自己患癌症，但实概率论与数理统计及其应用习题解答5际上未患癌症；有 10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后 40%的人以为自己未患癌症

9、，且确实未患癌症。以A表示事件“一病人以为自己患癌症” ，以B表示事件“病人确实患了癌症” ，求下列概率。（1）)(),(BPAP； （2）)|(ABP； （3）)|(ABP；（4）)|(BAP； （5）)|(BAP。解解： （1）根据题意可得%50%45%5)()()(BAPABPAP；%15%10%5)()()(ABPBAPBP；（2）根据条件概率公式：1 . 0%50%5)()()|(APABPABP；（3）2 . 0%501%10)()()|(APABPABP；（4）179%151%45)()()|(BPBAPBAP；（5）31%15%5)()()|(BPABPBAP。11， 在 11

10、 张卡片上分别写上 engineering 这 11 个字母， 从中任意连抽6 张，求依次排列结果为 ginger 的概率。解解：根据题意，这 11 个字母中共有 2 个 g，2 个 i，3 个 n，3 个 e，1个 r。从中任意连抽 6 张，由独立性，第一次必须从这 11 张中抽出 2个 g 中的任意一张来，概率为 2/11；第二次必须从剩余的 10 张中抽出 2 个 i 中的任意一张来，概率为 2/10；类似地，可以得到 6 次抽取的概率。最后要求的概率为924013326403661738193102112；或者92401611111311131212ACCCCCC。概率论与数理统计及其

11、应用习题解答612，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状 A、症状 B，有 20%的人只有症状 A， 有 30%的人只有症状 B， 有 10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求（1）该人两种症状都没有的概率；（2）该人至少有一种症状的概率；（3）已知该人有症状 B，求该人有两种症状的概率。解解： （1）根据题意，有 40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为%40%10%30%201；（2）至少有一种症状的概率为%60%401；（3）已知该人有症状 B，表明该人属于由只有症状 B 的 30%人群或者两种症状都有的 10%的人群，总的概率

12、为 30%+10%=40%，所以在已知该人有症状 B 的条件下该人有两种症状的概率为41%10%30%10。13，一在线计算机系统，有 4 条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。通讯线通讯量的份额无误差的讯息的份额10.40.999820.30.999930.10.999740.20.9996解解：设“讯号通过通讯线i进入计算机系统”记为事件)4 , 3 , 2 , 1( iAi，“进入讯号被无误差地接受”记为事件B。则根据全概率公式有9996. 02 . 09997. 01 . 09999. 03 . 09998. 04 . 0)|()()(41iiiABP

13、APBP=0.9997814，一种用来检验 50 岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确概率论与数理统计及其应用习题解答7实患关节炎的病人有 85%的给出了正确的结果； 而对于已知未患关节炎的人有 4%会认为他患关节炎。 已知人群中有 10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验， 认为他没有关节炎， 而他却有关节炎的概率。解解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A， “一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B。根据全概率公式有%1 .12%4%90%85%10)|()()|()()(BAPBPBAPBPAP，所以，根据条件概率得到所要求的概率为%06.17%1 .121%)851%

14、(10)(1)|()()()()|(APBAPBPAPABPABP即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.15，计算机中心有三台打字机 A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为 0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为 0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了， 求该程序是在 A,B,C 上打字的概率分别为多少？解解： 设 “程序因打字机发生故障而被破坏” 记为事件M，“程序在 A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件321,NNN。则根据全概率公式有025. 004. 01 . 005. 03 . 001. 06

15、 . 0)|()()(31iiiNMPNPMP，根据 Bayes 公式，该程序是在 A,B,C 上打字的概率分别为24. 0025. 001. 06 . 0)()|()()|(111MPNMPNPMNP，60. 0025. 005. 03 . 0)()|()()|(222MPNMPNPMNP，概率论与数理统计及其应用习题解答816. 0025. 004. 01 . 0)()|()()|(333MPNMPNPMNP。16， 在通讯网络中装有密码钥匙， 设全部收到的讯息中有 95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有 0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。 求由密码钥匙

16、传送的一讯息是可信讯息的概率。解解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A， “一讯息是可信的”记为事件B。根据 Bayes 公式，所要求的概率为%9947.99%1 . 0%51%951%95)|()()|()()|()()()()|(BAPBPBAPBPBAPBPAPABPABP17，将一枚硬币抛两次，以 A,B,C 分别记事件“第一次得 H” ， “第二次得 H” ， “两次得同一面” 。试验证 A 和 B，B 和 C，C 和 A 分别相互独立（两两独立） ，但 A,B,C 不是相互独立。解解：根据题意，求出以下概率为21)()(BPAP，2121212121)(CP；412121)(

17、ABP，412121)()(CAPBCP，412121)(ABCP。所以有)()()(BPAPABP，)()()(CPAPACP，)()()(CPBPBCP。即表明 A 和 B，B 和 C，C 和 A 两两独立。但是)()()()(CPBPAPABCP所以 A,B,C 不是相互独立。18，设 A,B,C 三个运动员自离球门 25 码处踢进球的概率依次为 0.5,概率论与数理统计及其应用习题解答90.7, 0.6，设 A,B,C 各在离球门 25 码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率； （2）恰有二人进球的概率； （3）至少有一人进球的概率。解解：设“A,B,C 进球”

18、分别记为事件)3 , 2 , 1( iNi。（1）设恰有一人进球的概率为1p，则3213213211NNNPNNNPNNNPp)()()()()()()()()(321321321NPNPNPNPNPNPNPNPNP（由独立性）6 . 03 . 05 . 04 . 07 . 05 . 04 . 03 . 05 . 029. 0（2）设恰有二人进球的概率为2p，则3213213212NNNPNNNPNNNPp)()()()()()()()()(321321321NPNPNPNPNPNPNPNPNP（由独立性）6 . 03 . 05 . 06 . 07 . 05 . 04 . 07 . 05 .

19、044. 0（3）设至少有一人进球的概率为3p，则13213NNNPp)()()(1321NPNPNP4 . 03 . 05 . 0194. 0。19，有一危重病人，仅当在 10 分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要 2 分钟，将所需的血全部输入病人体内需要 2 分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有 40%的人具有该型血， 各人具有什么血型相互独立。 求病人能得救的概率。解解：根据题意，医院最多可以验血型 4 次，也就是说最迟可以第 4 个人才验出是 A-RH+型血。问题转化为最迟第 4 个人才验出是 A-RH+型血的概率是多少？因为概率论与数

20、理统计及其应用习题解答101第 20 题5432第一次就检验出该型血的概率为 0.4；第二次才检验出该型血的概率为 0.60.4=0.24；第三次才检验出该型血的概率为 0.620.4=0.144；第四次才检验出该型血的概率为 0.630.4=0.0864；所以病人得救的概率为 0.4+0.24+0.144+0.0864=0.870420，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有 5 个独立工作的元件 1，2，3，4，5 按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为p，试求系统的可靠性。解解：设“元件i能够正常工作”记为事件)5 , 4 , 3 , 2 , 1( i

21、Ai。那么系统的可靠性为)()()()()()(5432154321AAPAPAAPAAAAAP)()()()(543215435421321AAAAAPAAAPAAAAPAAAP)()()()()()()()()()()()(542132154321APAPAPAPAPAPAPAPAPAPAPAP)()()()()()()()(54321543APAPAPAPAPAPAPAP534322ppppppp543222ppppp21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为 0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为 0.9，据以往的资料知一产品真含

22、有杂质或真不含有杂质的概率分别为 0.4，0.6。今独立地对一产品进行了 3 次检验，结果是 2 次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和 Bayes 公式）概率论与数理统计及其应用习题解答11解解：设“一产品真含有杂质”记为事件A， “对一产品进行 3 次检验，结果是 2 次检验认为含有杂质，而 1 次检验认为不含有杂质”记为事件B。则要求的概率为)|(BAP，根据 Bayes 公式可得)|()()|()()|()()|(ABPAPABPAPABPAPBAP又设“产品被检出含有杂质”记为事件C，根据题意有4 . 0)(AP，

23、而且8 . 0)|(ACP，9 . 0)|(ACP，所以384. 0)8 . 01 (8 . 0)|(223 CABP；027. 09 . 0)9 . 01 ()|(223 CABP故，9046. 01698. 01536. 0027. 06 . 0384. 04 . 0384. 04 . 0)|()()|()()|()()|(ABPAPABPAPABPAPBAP第 2 章随机变量及其分布1，设在某一人群中有 40%的人血型是 A 型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是 A 型的人为止，以 Y 记进行验血的次数，求 Y 的分布律。解解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，Y 取k表明第

24、k个人是 A 型血而前1k个人都不是 A 型血，因此有116 . 04 . 0)4 . 01 (4 . 0kkkYP，（, 3 , 2 , 1k）上式就是随机变量 Y 的分布律（这是一个几何分布） 。2，水自 A 处流至 B 处有 3 个阀门 1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以 0.8 的概率打开，以 X 表示当信号发出时水自 A 流至 B 的通路条数，求 X 的分布律。设各阀门的工作相互独立。解解 ： X 只 能 取 值 0 ， 1 ， 2 。 设 以)3 , 2 , 1( iAi记 第i个 阀 门 没 有 打 开 这 一 事 件 。 则)()()(03121321AAA

25、APAAAPXP)()()()()()()(32131213213121APAPAPAPAPAPAPAAAPAAPAAP072. 0)8 . 01 ()8 . 01 ()8 . 01 (322，类似有512. 08 . 0)()(23321321AAAPAAAPXP，416. 02011XPXPXP,综上AB213概率论与数理统计及其应用习题解答12所述，可得分布律为X012kXP0.0720.5120.4163,据信有 20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查 15 个美国人，以 X 表示 15 个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立） 。问 X 服从什么分布？写出分布律

26、。并求下列情况下无任何健康保险的概率： （1）恰有 3 人； （2）至少有 2 人； （3）不少于 1 人且不多于 3 人； （4）多于 5 人。解解：根据题意，随机变量 X 服从二项分布 B(15, 0.2)，分布律为15, 2 , 1 , 0,8 . 02 . 0)(1515kCkXPkkk。（1）,2501. 08 . 02 . 0)3(123315CXP（2）8329. 0)0() 1(1)2(XPXPXP；（3）；（4）概率论与数理统计及其应用习题解答13概率论与数理统计及其应用习题解答14概率论与数理统计及其应用习题解答15概率论与数理统计及其应用习题解答164，设有一由个 元 件

27、 组 成 的 系 统 ， 记 为， 这 一 系 统 的 运 行 方 式 是 当 且 仅 当概率论与数理统计及其应用习题解答17概率论与数理统计及其应用习题解答18个元件中至少有概率论与数理统计及其应用习题解答19概率论与数理统计及其应用习题解答20概率论与数理统计及其应用习题解答21个元件正常工作时，系统正常工作。现有一 5/3G系统，它由相互独立的元件组成，设每个元件的可靠性均为 0.9，求这一系统的可靠性。解解：对于 5/3G系统，当至少有 3 个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X服从二项分布 B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为99144. 01 . 09

28、 . 0)(535553kkkkkCkXP5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为 0.001，现取 8000 件产品，用泊松近似，求其中次品数小于 7 的概率。 （设各产品是否为次品相互独立）解解：根据题意，次品数 X 服从二项分布 B(8000, 0.001)，所以6080008000999. 0001. 0)6()7(kkkkCXPXP3134. 0!8!)001. 08000(60860001. 08000kkkkkeke（查表得） 。6， （1）设一天内到达某港口城市的油船的只数 X)10(，求15XP（2）已知随机变量 X)(，且有5 .

29、 00XP，求2XP。解解： （1）0487. 09513. 0115115XPXP；（2）根据5 . 01010eXPXP，得到2ln。所以1534. 02/ )2ln1 (5 . 011012eXPXPXP。7，一电话公司有 5 名讯息员，各人在 t 分钟内收到讯息的次数)2(tX（设各人收到讯息与否相互独立） 。 （1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。 （2）求在给定的一分钟内 5 个讯息员恰有 4 人未收到讯息的概率。 （3）写出在一给定的一分钟内，所有 5 个讯息员收到相同次数的讯息的概率。解解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数)2(X。（1）1353

30、. 002eXP；（2）设在给定的一分钟内 5 个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用 Y 表示，则 Y B(5, 0.1353)，所以00145. 0)1353. 01 (1353. 04445CYP。（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为 0510052!32!2kkkkkeke8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以 X 表示铃响概率论与数理统计及其应用习题解答22至结束讲解的时间。设 X 的概率密度为他其100)(2xkxxf，（1）确定k； （2）求31XP；（3）求2141 XP； （4）求32XP。解解： （1）根据3)(1102kdxkx

31、dxxf，得到3k；（2）2713133133/102dxxXP；（3）647412132141332/14/12dxxXP；（4）2719321332313/22dxxXP。9， 设随机变量 X 的概率密度为他其1000003. 0)(2xxxf， 求 t 的方程04522XXtt有实根的概率。解解：方程04522XXtt有实根表明0)45(442XX，即0452 XX，从而要求4X或者1X。因为001. 0003. 01102dxxXP，936. 0003. 041042dxxXP所以方程有实根的概率为 0.001+0.936=0.937.10，设产品的寿命 X（以周计）服从瑞利分布，其概

32、率密度为他其00100)(200/2xexxfx（1）求寿命不到一周的概率；（2）求寿命超过一年的概率；（3）已知它的寿命超过 20 周，求寿命超过 26 周的条件概率。解解： （1）00498. 011001200/110200/2edxexXPx；（2）000001. 010052200/270452200/2edxexXPx；概率论与数理统计及其应用习题解答23（3）25158. 010010020262026200/27620200/26200/22edxexdxexXPXPXXPxx。11，设实验室的温度 X（以C计）为随机变量，其概率密度为他其210)4(91)(2xxxf（1）某

33、种化学反应在温度 X 1 时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。（2）在 10 个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以 Y 表示 10 个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求 Y 的分布律。（3）求2YP，2XP。解解： （1）212275)4(911dxxXP；（2）根据题意)275,10( BY，所以其分布律为10, 2 , 1 , 0,2722275)(1010kCkYPkkk（3）2998. 02722275)2(82210CYP，5778. 0) 1()0(1)2(YPYPYP。12， （1）设随机变量 Y 的概率密度为他其100102 .

34、02 . 0)(yyCyyf试确定常数 C，求分布函数)(yF，并求5 . 00 YP，1 . 0|5 . 0YYP。（2）设随机变量 X 的概率密度为他其422008/8/1)(xxxxf求分布函数)(xF，并求31 xP，3|1XXP。概率论与数理统计及其应用习题解答24Y解解： （1）根据24 . 0)2 . 0(2 . 0)(11001CdyCydydyyf，得到2 . 1C。110011)2 . 12 . 0(2 . 0)2 . 12 . 0(2 . 02 . 00)()(01100101yyyydyydydyydydydyyfyFyyy11001112 . 02 . 06 . 0)

35、 1(2 . 002yyyyyyy25. 02 . 045. 0)0()5 . 0(05 . 05 . 00FFYPYPYP；7106. 0226. 0145. 01) 1 . 0(1)5 . 0(11 . 015 . 011 . 05 . 01 . 0|5 . 0FFYPYPYPYPYYP（2）442200881881810)()(20422020 xxxxdxxdxdxxdxdxdxxfxFxxx442200116/8/02xxxxxx16/78/116/9) 1 ()3(31FFxP；9/7)3() 1 ()3(3313|1FFFXPXPXXP。13，在集合 A=1,2,3,.,n中取数

36、两次，每次任取一数，作不放回抽样，以 X 表示第一次取到的数，以 Y表示第二次取到的数，求 X 和 Y 的联合分布律。并用表格形式写出当 n=3 时 X 和 Y 的联合分布律。解解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为 n(n-1)，因此) 1(1,nnjYiXP， （ji ，且nji ,1）当 n 取 3 时，61,jYiXP,（ji ，且3,1ji）,表格形式为X123概率论与数理统计及其应用习题解答25Y101/61/621/601/631/61/6014,设一加油站有两套用来加油的设备，设备 A 是加油站的工作人员操作的，设备 B 是有顾客自己操作的。A，B 均有两个加油管。随机取

37、一时刻，A，B 正在使用的软管根数分别记为 X，Y，它们的联合分布律为X01200.100.080.0610.040.200.1420.020.060.30（1）求1, 1YXP，1, 1YXP；（2）求至少有一根软管在使用的概率；（3）求YXP，2YXP。解解： （1）由表直接可得1, 1YXP=0.2，1, 1YXP=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42（2）至少有一根软管在使用的概率为9 . 01 . 010, 011YXPYXP（3）210YXPYXPYXPYXP=0.1+0.2+0.3=0.628. 00, 21, 12, 02YXPYXPYXPYXP15,设随机变量（X，Y

38、）的联合概率密度为他其，0, 00),()42(yxCeyxfyx试确定常数C，并求2XP，YXP，1YXP。解解：根据1),(0, 0yxdxdyyxf，可得8),(104020)42(00, 0CdyedxeCdyCedxdxdyyxfyxyxyx，所以8C。404220)42(22428),(2edyedxedyedxdxdyyxfXPyxyxx；32)1 (2428),(04204020)42(0dxeedyedxedyedxdxdyyxfYXPxxxyxxyxyx概率论与数理统计及其应用习题解答262210410210)42(101)1 (428),(1edyedxedyedxdxd

39、yyxfYXPxyxxyxyx。16，设随机变量（X，Y）在由曲线1, 2/,22xxyxy所围成的区域G均匀分布。（1）求（X，Y）的概率密度；（2）求边缘概率密度)(),(yfxfYX。解解： （1）根据题意， （X，Y）的概率密度),(yxf必定是一常数，故由),(61),(),(1222/10yxfdyyxfdxdxdyyxfxxG，得到他其，0),(, 6),(Gyxyxf。（2）他其，, 01036),()(22/22xxdydyyxfxfxxX；他其，他其，015 . 0)1 (65 . 00)2(6015 . 065 . 006),()(12yyyyyydxydxdxyxfyf

40、yyyY18，设YX,是两个随机变量，它们的联合概率密度为他其，0, 002),()1(3yxexyxfyx，（1）求),(YX关于X的边缘概率密度)(xfX；（2）求条件概率密度)|(|xyfXY，写出当5 . 0 x时的条件概率密度；（3）求条件概率5 . 0|1XYP。解解： （1）其他, 00,22),()(02)1(3xexdyexdyyxfxfxyxX。（2）当0 x时，其他, 00,)(),()|(|yxexfyxfxyfxyXXY。概率论与数理统计及其应用习题解答27特别地，当5 . 0 x时其他, 00,5 . 0)5 . 0|(5 . 0|yexyfyXY。（3）5 . 0

41、15 . 01|5 . 0)5 . 0|(5 . 0|1edyedyxyfXYPyXY。19， （1）在第 14 题中求在0X的条件下Y的条件分布律；在1Y的条件下X的条件分布律。（2）在 16 题中求条件概率密度)|(|xyfXY，)|(|yxfYX，)5 . 0|(|xfYX。解解： （1）根据公式00,0|XPXiYPXiYP，得到在0X的条件下Y的条件分布律为Y0120|XYP5/121/31/4类似地，在1Y的条件下X的条件分布律为X0121|YXP4/1710/173/17（2）因为他其，0),(, 6),(Gyxyxf。他其，, 01036)(22/22xxdyxfxxX；他其，

42、015 . 0)1 (65 . 00)2(6)(yyyyyyfY。所以，当10 x时，其他, 02/,2)(),()|(222|xyxxxfyxfxyfXXY；当5 . 00 y时，其他, 02,21)(),()|(|yxyyyyfyxfyxfYYX；当15 . 0 y时，其他, 01,11)(),()|(|xyyyfyxfyxfYYX；当5 . 0y时，其他, 015 . 0,5 . 011)|(|xyxfYX。概率论与数理统计及其应用习题解答2820，设随机变量（X，Y）在由曲线xyxy,2所围成的区域G均匀分布。（1）写出（X，Y）的概率密度；（2）求边缘概率密度)(),(yfxfYX；

43、（3）求条件概率密度)|(|xyfXY，并写出当5 . 0 x时的条件概率密度。解解： （1）根据题意， （X，Y）的概率密度),(yxf必定是一常数，故由),(31),(),(1210yxfdyyxfdxdxdyyxfxxG，得到他其，0),(, 3),(Gyxyxf。（2）他其，, 010)(33),()(22xxxdydyyxfxfxxX；他其，他其，010)(30103),()(22yyyydxdxyxfyfyyY。（3）当10 x时，其他, 0,1)(),()|(22|xyxxxxfyxfxyfXXY。特别地，当5 . 0 x时的条件概率密度为其他, 02/24/1,1224)5 .

44、 0|(|yyfXY。21，设),(YX是二维随机变量，X的概率密度为他其，, 02062)(xxxfX且当)20(xxX时Y的条件概率密度为其他, 010,2/11)|(|yxxyxyfXY，概率论与数理统计及其应用习题解答29（1）求),(YX联合概率密度；（2）求),(YX关于Y的边缘概率密度；（3）求在yY 的条件下X的条件概率密度)|(|yxfYX。解解： （1）他其10, 20031)|()(),(| yxxyxyfxfyxfXYX；（2）其他010)1 (3231),()(20yydxxydxyxfyfY；（3）当10 y时，其他, 020,)1 (21)(),()|(|xyxy

45、yfyxfyxfYYX。22， （1）设一离散型随机变量的分布律为Y-101kp212又设21,YY是两个相互独立的随机变量，且21,YY都与Y有相同的分布律。求21,YY的联合分布律。并求21YYP。（2）问在 14 题中YX,是否相互独立？解解： （1）由相互独立性，可得21,YY的联合分布律为,2121jYPiYPjYiYP，1 , 0 , 1,ji结果写成表格为2/)1 (1012221212121YYPYYPYYPYYP。（2）14 题中，求出边缘分布律为Y1Y2-101-14/22/ )1 (4/202/ )1 (2)1 (2/ )1 (14/22/ )1 (4/2概率论与数理统计

46、及其应用习题解答30YX012iXP00.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.38jYP0.160.340.501很显然，000, 0YPXPYXP，所以YX,不是相互独立。23，设YX,是两个相互独立的随机变量，) 1 , 0(UX，Y的概率密度为其他02/108)(yyyfY试写出YX,的联合概率密度，并求YXP。解解：根据题意，X的概率密度为其他0101)(xxfX所以根据独立定，YX,的联合概率密度为其他2/10, 1008)()(),(yxyyfxfyxfYX。328),(12/10yyxydxdxdxdyyxfYXP24，设随

47、机变量X具有分布律X-2-1013kp1/51/61/51/1511/30求12 XY的分布律。解解：根据定义立刻得到分布律为Y12510kp1/57/301/511/3025，设随机变量) 1 , 0( NX，求XU 的概率密度。解解：设UX,的概率密度分别为)(),(ufxfUX，U的分布函数为)(uFU。则概率论与数理统计及其应用习题解答31当0u时，0)(uXPuUPuFU，0)(ufU；当0u时，1)(2)(uuXuPuXPuUPuFU，2/22)(2)()(uXUUeufuFuf。所以，0002)(2/2uueufuU。26， （1）设随机变量X的概率密度为其他00)(xexfx求

48、XY 的概率密度。（2）设随机变量) 1 , 1(UX，求2/ ) 1( XY的概率密度。（3）设随机变量) 1 , 0( NX，求2XY 的概率密度。解解：设YX,的概率密度分别为)(),(yfxfYX，分布函数分别为)(),(yFxFYX。则（1）当0y时，0)(yXPyYPyFY，0)(yfY；当0y时，)()(22yFyXPyXPyYPyFXY，22)(2)()(2yXYYyeyyfyFyf。所以，0002)(2yyyeyfyY。（2）此时其他0112/1)(xxfX。因为) 12(122/ ) 1()(yFyXPyXPyYPyFXY，故，1121, 1) 12(2)()(yyfyFy

49、fXYY，所以，其他1001)(yyfY。（3）当0y时，)(2yXyPyXPyYPyFY概率论与数理统计及其应用习题解答321)(2)()(yyy，故，2/2121)(2)()(yXYYeyyyfyFyf。所以，其他0021)(2/yeyyfyY。27，设一圆的半径 X 是随机变量，其概率密度为其他0208/ ) 13()(xxxf求圆面积 A 的概率密度。解解：圆面积2XA，设其概率密度和分布函数分别为)(),(yGyg。则)/(/)(2yFyXPyXPyGX，故2/0,1638321)/(21)()(yyyyyyfyyGyg所以，其他040163)(yyyyg。28，设随机变量 X,Y

50、相互独立，且都服从正态分布), 0(2N，验证22YXZ的概率密度为其他00)()2/(222zezzfzZ。解解：因为随机变量 X,Y 相互独立，所以它们的联合概率密度为2222221),(yxeyxf。先求分布函数，当0z时，)(222zYXPzZPzFZ2222222202220121),(zzrzyxerdreddxdyyxf，概率论与数理统计及其应用习题解答33故，其他00)()()2/(222zezzFzfzZZ。29，设随机变量) 1 , 1(UX，随机变量 Y 具有概率密度)1 (1)(2yyfY，y，设 X,Y 相互独立，求YXZ的概率密度。解解：因为其他0112/1)(xx