概率论与数理统计思想的应用.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流概率论与数理统计思想的应用.精品文档.概率论与数理统计思想的应用崔永伟1,杜聪慧2(1.北方工业大学经济管理学院 ,北京 100041 ;2.西南交通大学经济管理学院 ,四川 成都 610031)摘要:对偶然性的认识 ,是一个现代人知识结构中应具备的成分.本文就概率论与数理统计的方法与思想 ,在解决代数、数学分析学科中的一些问题及在现代金融理论和日常生活中的应用展开一些讨论 ,从中可以看出概率方法与数理统计的思想在解决问题中的高效性、简捷性和实用性.关键词:概率方法;数理统计的思想;数学证明;机会的数学中图分类号 :O21 文献标识码:A 文

2、章编号:100822093 (2004) 0220061203英国学者威尔斯说过“统计的思维方法 : ,就像读和写的能力一样 ,将来有一天会成为效率公民的必备能力”.概率论的发展历史悠久 ,理论高深而清晰 ,应用广泛. 集合论、函数论等学科的发展为概率论奠定了基础 ,同时 ,概率论的发展也为数理统计及其他数学学科的发展和解决有关问题提供了行之有效的方法. 本文将就概率论与数理统计的方法与思想 ,在解决代数、数学分析学科中的一些问题及在金融领域和日常生活中的应用展开一些讨论 ,从中可以看出概率方法与数理统计的思想在解决问题中的高效性、简捷性和实用性.1 理论证明和求解方面的应用1. 1 在证明组

3、合恒等式方面的应用证明组合恒等式的方法多种多样 ,其中不乏代数方法、三角方法、几何方法等等 ,但是对某些问题 ,如果建立恰当的概率模型 ,就可以用概率方法巧妙地将其解决 ,从中可以看出概率方法的威力.例 1.证明 6kt = 0Ctm Ck - tn- m = Ckn本题是一个排列组合等式的证明 ,与古典概率有着密切地联系 ,观察等式的特点 ,可建立如下模型加以解决.证明:设一盒中装有 n 个球,其中有 m 个黑球, n - m 个白球,现从中随机抽取 k 个球,令“At”表示“取出的 k 个球中黑球的个数”, 则有:P( At = t) =CtmCk - tn- mCkn其中 t = 0 ,

4、1 ,2 , , k又事件“At = t”与事件“As = s”是互不相容事件( s t) , 从而有P( kt =0At = t) = 6kt = 0P( At = t) = 1所以 6kt = 0CtmCk - tn- mCkn= 1即 6kt = 0Ctm Ck - tn- m = Ckn例 2. 6n- mr = 0Crn- 1+ r = Cn2 n- m一些组合恒等式的证明有时可借助于一题多解的结果得到.建立如下概率模型:一个人在口袋里放了甲、乙两盒火柴 ,每盒 n 只 ,每次抽烟时从口袋中随机拿出一盒(即每次每盒有同等机会被拿出来) 并用掉一只. 到某次他迟早会发现 ,取出的那盒已

5、经空了 ,问事件 E =“这时另一盒中恰好有 m只火柴”的概率是多少 ?解法1 :考察前 2 n +1 - m次抽用的情况,每次抽用时有2种方法(抽出甲或乙盒) 故总的不同的抽法有 :22 n+1- m 种.有利于上述事件 E的抽法,先看最后一次(即第 2 n + 1 -m 次) 是抽出甲盒的情况,为使此事件发生 ,则前 2 n - m 次中, 必然有 n 次抽用甲盒, 实现这一点的不同的抽法为:Cn2 n- m ;同理最后一次抽出是乙盒的情况相同 ,故有利于事件E的抽法为 2 Cn2 n- m ,所求概率为 :2 Cn2 n- m22 n+1- m =Cn2 n- m22 n- m .解法2

6、 :因每盒只有 n只,最晚到第2 n + 1次抽取时 ,或在此之前,必发现抽出的盒已空,故不管如何,总把试验抽至第2 n + 1 次止,不同抽法为 22 n+1 种.同上考虑有利于 E的抽法:先考虑“发现甲盒为空”的抽法,要完成 2 n + 1 次抽取 ,对某个 r( r = 0 ,1 ,2 , , n - m) 以下同时出现 :(1) 第 n + r次抽取甲盒 ,而这时甲盒已经是第 n次被抽; (2) 前 n + r - 1次抽时 ,乙盒被抽 r次,有 Crn+ r- 1 种抽法; (3) 接下来紧接着的 n - m - r次全是抽出乙盒; (4) 第2 n- m + 1 抽取时抽出甲盒(此

7、时发现甲盒为空,乙盒有 m 只) ;(5) 最后 m 次抽可任意抽(共 2m 种抽法) ;即对固定的 r,共有Crn- 1+ r2m 种抽法,则“有利于事件 E 发生,且发现甲盒空的抽法有 A = 6n- mr = 0Crn- 1+ r2m,同理,乙盒情况与甲盒相同 ,则所求事件 E的概率为:2A22 n+1 =6n- mr = 0Crn- 1+ r22 n- m两种方法的结果应该是相同的 ,从而有 6n- mr = 0Crn- 1+ r =16第 12 卷 第 2 期2004 年 03 月河南机电高等专科学校学报Journal of Henan Mechanical and Electric

8、al Engineering CollegeVol. 12 . 2Mar. 2004收稿日期:2003210217作者简介:崔永伟(19742) ,男 ,河南陕县人 ,硕士 ,研究方向:金融理论分析 ,保险精算、养老保险.Cn2 n- m .当然要得到这道题的结果 ,不仅要有思路 ,还要计算准确.上面的结果可以通过数学归纳法来验证.1. 2 在证明不等式方面的应用不论在初等数学还是在高等数学中 ,不等式的证明始终是难点 ,其证明方法往往技巧性很强 ,若能根据欲证不等式形式上的特点 ,采用恰当的概率方法 ,有些问题就能迎刃而解.例 3.设 xi, yi( i = 1 ,2 , , n) 为任意实

9、数 ,则有:( 6ni =1xi yi2F ( 6ni =1x2i) ( 6ni =1y2i证明:假设有如下随机变量的概率分布 : P = xi =1n( i = 1 ,2 , , n) ;的概率分布 : P = yi =1n( i = 1 ,2 , , n) ;的概率分布 : P = xi yi =1n, i = j0 , i j则 : E(21n 6ni =1x2i, E(21n 6ni =1y2i, E() =1n 6ni =1xiyi由不等式: E() 2F E(2) E(2即得:(1n 6ni =1xiyi2 (1n 6ni =1x2i1n 6ni =1y2i从而:( 6ni =1x

10、iyi2F ( 6ni =1x2i) ( 6ni =1y2i1. 3 求级数的和分析级数的求和问题 ,有些题目利用代数方法或数学分析方法很难解决 ,而利用概率论的方法求解则比较容易.例 4.求无穷级数 6n =11anan+1的和,其中 an 是等差数列( d 0 , d 为公差) .建立概率模型:设随机试验 E只有两个基本事件 A 和A ,将 E独立地做 n次 ,在第 k 次试验中, A 出现的概率为pk , A 不出现(即 A 出现) 的概率为 qk ,0 F pk F1 , pk + qk = 1 ( k = 1 ,2 , , n) .设 A“事件 i A 在第 i 次试验中出现”( i

11、 = 1 ,2 , , n) ,则有:P( A1) + P( A2) P( A1) + P( A3) P( A2) P( A1P( An) P( A1) P( A2) P( An- 1 = 1 - P( A1) P( A2) P( An) (1)即 : p1 + p2 q1 + p3 q1 q2 + + pnq1 q2 qn- 1 = 1 -q1 q2 qn(2)这里 0 F pk F 1 ,0 F qk F 1 pk + qk = 1 ,故可以据 pk、qk 取不同的值 ,来求级数的和. 令 pi = P( Aida1 + id, ( i =1 ,2 , , n , a1 0 , d 0 ,

12、 d 为公差) ,则由(1) 、(2) 可得:da1 + dda1 + 2 da1a1 + dda1 + 3 da1a1 + da1 + da1 + 2 dda1 + nda1a1 + da1 + ( n - 2) da1 + ( n - 1) d = 1 -a1a1 + da1 + da1 + 2 da1 + ( n - 1) da1 + nd即:1a1a21a2a31a3a41anan + 11a1d1d(a1 + nd)从而: 6n = 11anan + 1= limn1a1d1d(a1 + nd)1a1d这里像上面例子中提到的问题还有很多都可利用类似的方法来解决 ,关键就是建立合适的概

13、率模型和准确简便的解决方法.2 概率统计思想在现代金融理论中的应用现代金融理论是指在金融经济学中大量应用金融数学研究金融风险的防范与控制、资本市场的运营、资本资产的结构和定价等理论取得的成果. 金融数学是指以概率统计和泛函分析为基础 ,以随机分析和鞅理论为核心的数学理论. 在现代金融理论中 ,各种各样的金融经济学模型占据着中心地位. 现代金融理论一个更值得重视的应用领域是解决带有随机性的问题 ,而解决这个问题的重要手段是随机最优控制理论. 而这些理论的基础离不开概率统计的思想.举一例从求期权价值的二项模型来介绍其在精算方面的应用.经验表明:证券价格一般都形成一个随机波动 ,即价格在每一时期发生

14、一次变化 ,而且变化只有两种可能性:上升某个百分比或下降某个百分比.此外 ,每个区间的变动与上一个区间的结果是独立的.设向上运动使证券的价格升至倍 ,称为上升程度 ,而向下运动使证券价格降低倍.下面给出经历两个时期的可能结果:SS (1 + kupS (1 + kup- 1S (1 + kup2SSS (1 + kup- 2;其中 S 为当前的股票价格.0 时期: 1 时期: 2 时期 :若上述向上的概率为 pup ,则可得到如下分布律 :S (1 + kup2S S (1 + kup- 2P p2up 2 pup(1 - pup) (1 - pup2显然上述为一个二项分布 这也是二项模型的名

15、称的由来.若将期数推广到期 ,仍记履约价格为 E ,对于每一个最终的结果 ,期权在到期时的价格应为零和股价履约价部分中的最大值.对于欧洲看涨期权 ,有如下价格公式 ,C =1(1 + i)n 6ni =0Ctnpn- tup(1 - ptuptmax 0 , S (1 + kupn- 2 tE对于欧洲看跌期权 ,有如下价格公式 ,C =1(1 + i)n 6ni =0Ctnpn- tup(1 - ptuptmax 0 , E - S (1 +kupn- 2 t应用上面的公式 ,可以先确定 pup 的值,在其他值是已知的情况下,从公式中即可计算出 C 的值.26河南机电高等专科学校学报 2004

16、 年 2 期这里, kup = e 1n- 1 ,为 Black - Scholes公式中的利息强度的标准差.易见证券的方差越大 , kup 越大,反之亦然.通常情况下 pup的值可以由下式来确定pup =rfn- kdkup - kd,其中 kd为下降的程度,且(1 + kd) (1 + kup) = 1得 kd = e 1n- 1 ,rf 为无风险利率.3 现实生活中的概率统计思想3. 1 均值、方差和标准差熟知概率知识的人都在日常生活中自觉不自觉地用过这几个量来做决策.例如我们出门乘车 ,大家常选择的交通工具是汽车、火车和飞机 ,其费用依次升高 ,但事故率则依次减小.作出决定时价格是决定

17、因素 ,但对有些消费者 ,还有一个重要因素要考虑的是安全问题 ,其中汽车事故频发 ,火车比较安全 ,而飞机不易发生事故 ,这用数学语言来描述即发生事故的均值汽车最大 ,火车次之 ,飞机最小.事故率是降低了 ,可比较出现事故后的事故强度则递增了 ,这用数学语言来描述即发生的事故的方差增大 ,飞机出现事故的概率较小 ,但一旦发生事故其损失惨重.另外 ,我们知道 ,在谈论某个城市的收入状况时 ,常常不看该城市的首富有多少财产 ,而常用平均收入水平来衡量 ,当然也要看收入的差别 ,也就是方差的大小.但若将我国某城市收入的差别和国外某城市收入的差别进行比较时 ,由于使用的单位不同 ,直接比较将失去意义

18、,可根据均值和方差构造标准化变量 ,消除量纲带来的不便.3. 2 假设检验中的两类错误商品检验中 ,对不同商品考虑不同 ,其策略也不同. 降落伞和救生圈等救生用品 ,出厂时作质量检验 ,应根据数理统计中的假设检验理论 ,选取较小的,使该类安全用品“取伪”的概率尽量的小 ,即尽量的小 ,保证出厂的产品几乎是个个合格.而对于象一架卫星或造价极高的工程 ,在最后的检验时应该取较小的,这是因为象这类造价很高的物品 ,应考虑节俭而不应该轻易扔掉 ,即取“弃真”的概率尽量的小.3. 3 日常生活中天气预报电视台预报天气时“明天的降水概率为 0. 2”,这句话的意思是:明天降水的机会 ,与一个抽球试验(在该

19、试验中有 10 个球而白球有 2 个)中抽出白球的机会一样.3. 4 抽签的合理性单位发电影票 ,其中甲等票有 a 张,乙等票有 b 张 ,每人一张 ,为做到公平 ,常常是将票随机的混在一起 ,背面朝上 ,每人从中抽一张 ,这样做对大家来说是公平合理.从概率角度来思考 ,就是做到了大家抽到甲等票或乙等票的概率是相等的.这是因为:可将 a 张甲等票 a 张乙等票均看作是不同的,则排成一列 ,共有( a + b) !种排法,第 k 个人抽,抽到甲等票有 a 种抽法,而另外的( a + b - 1) 次抽取,共有( a + b - 1) !种抽法,故第 k 个人抽到甲等票的抽法共有( a+ b -

20、1) !种,从而第 k 个人抽到甲等票的概率为:p =a ( a + b - 1) !( a + b) !aa + b这里的前提是先抽的人不能将他抽到的结果公布 ,即其他人事先(抽前)不知道别人抽的结果.3. 5 生活中的游戏稍加留意就会发现若利用概率统计提供的科学思维方法就会大大提高获胜的几率.比如抛两颗均匀骰子 ,规定如下规则:总数之和小于 6 为出现小点 ,大于 6 为大点 ,则每局可押大点或小点 ,若押对了 ,以出现的点数为对应的奖品数目 ,若押不中则同样以出现的点数为惩罚品的数目.可以这样思考 ,当假设骰子理论意义上是均匀的 ,则六面中点数少的面较重 ,在抛出后点数多的面朝上的可能性

21、较大 ,从而抛出点数大的情况的概率应大一些 ,这样 ,即可作如下观察: (1)随机抛 2 颗骰子若干次 ,观察出现的点数 ,若点数大于6 的次数占多数 ,则初步判断骰子是均匀的. (2) 当比赛开始时 ,可做以下决策:刚开始可先押大点 ,无论押中或不中 ,第二轮可接着押大点 ,然后观察一轮 ,当出现小点后 ,可继续押大点 ,当然也可在连续出现几个大点后押一次小点 ,也有取胜的把握.这是因为 ,出现大点的机会要多于出现小点的机会 ,开始出现大点的概率要大一些 ,故应押大点 ,当出现几次大点后 ,小概率的事件也是会发生的 ,故可押一次小点 ,若一次不中可继续押 ,此时出现小点的概率将变大. 另外

22、,当连续出现几次小点或大点 ,则情况即将发生转变 ,应考虑押相反的情况. (责任编辑 王 慧)参考文献:1 陈希孺.机会的数学M . 北京 ,广州:清华大学出版社 ,暨南大学出版社 ,2000 年 6 月第一版2 刘占国.利息理论M . 天津:南开大学出版社 ,2000 年 9 月第一版3 陈希孺.概率论与数理统计M . 合肥:中国科学技术大学出版社 ,2000 年 3 月第一版4 A瑞尼.数论中概率方法J . 数学进展 ,1958. 4Application of thought on theprobability theory and mathematical statisticsCUI

23、Yong2wei ,et al(School of Economics and Management , Northern China University of Technology , Beijing 100041 , China)Abstract :Modern people should possess the knowing of the contingency in his knowledge structure. On the basis ofthe probability theory and mathematical statistics method and thought

24、 ,this paper discussed some problems and applica2tions in mathematical analysis , the modern financial theory and daily life. Thus it can be found that the high - efficientquality , simple and direct quality and practicability about the probability method and thought of mathematical statistics insolving the problems.Key words :probability method ;thought of mathematical statistics ;mathematical proof ;opportunistic mathematics36崔永伟等:概率论与数理统计思想的应用