河南理工大学高等数学下试题_及_答案.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流河南理工大学高等数学下试题_及_答案.精品文档.河南理工大学2012级高等数学下期末试卷一、填空（每小题4分，共24分）1函数的定义域是 ，函数在 是间断的.2设函数，则 ， .3函数在 点（1，2）处沿轴负方向的方向导数等于 .4设，则曲面积分= .5设，则二重积分= .6如果微分方程的通解的所有任意常数的值确定后，所得到的微分方程的解称之为 解.二、解答下列各题（每小题6分，共18分）1求函数（为常数）的全微分.2求曲面在点处的切平面方程和法线方程.3求微分方程的通解.三、解答下列各题（每小题6分，共18分）1设而为可导函数，试计算.2计

2、算三重积分其中是由曲面及所围成的闭区域.3计算曲面积分，其中是柱面介于平面及之间部分的前侧。四、（12分）求微分方程的通解.五、（12分）求曲线积分其中：（1）（8分）L为圆周的正向.（2）（4分）L为椭圆的正向六、（10分）求表面积为36，而体积为最大的长方体的体积.七、（7分）讨论函数 在（0，0）处的连续性.河南理工大学2011级高等数学（下）期末试卷一填空题（每小题4分，共40分）1设函数，则全微分 2设函数具有一阶连续偏导数，则 3二重积分，改变积分次序后= .4直角坐标系下的三次积分化为球坐标系下的三次积分= 5若区域，则三重积分= 6当= 时，为某二元函数的全微分.7曲线积分，其

3、中L是抛物线上从点到的一段弧，则= .8当为面内的一个闭区域D时，曲面积分与二重积分的关系为9二阶常系数齐次线性微分方程的通解为y= 10. 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式为y*= 二（10分）具有连续偏导数，证明由方程 所确定的函数满足三（10分）由锥面及抛物面所围立体体积四（10分）求螺旋线在处的切线方程及法平面方程.五、（10分）利用高斯公式计算曲面积分，其中具有二阶连续导数，为上半球面与所围成空间闭区域的整个边界曲面的外侧.六（10分）设曲线积分在右半平面内与路径无关，其中可导且，求.七（10分）二阶常系数非齐次线性微分方程，求其通解.河南理工大学2010级高等数学下期末试卷一

4、填空题（每小题4分，共32分）1设函数，则 ， .2曲线在处的切线方程为.3交换二次积分次序， . 4设L为右半圆周：，则曲线积分 .5设为平面在第一卦限中的部分，则曲面积分 .8求微分方程的通解为 .二解答下列各题（每小题7分，共35分）1设.2讨论函数是否有极值4求微分方程的特解.5求微分方程的通解.三（11分）利用格林公式计算曲线积分，其中为从原点的正弦曲线.四（11分）利用高斯公式计算曲面积分，其中是球面的内侧.五（11分）求由锥面及旋转抛物面所围成的立体的体积.河南理工大学2009级高等数学下期末试卷一填空题（每小题4分，共32分）1设函数，则 .2曲线处的法平面方程为： .3设区域

5、D由及所围，则化二重积分为先的二次积分后的结果为 .4设L为圆弧：，则曲线积分 .5设，则曲面积分= .8二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式为y*= .（不要求计算）二解答下列各题（每小题7分，共28分）1求函数z=，其中具有一阶连续偏导数，求.2讨论的极值.4求微分方程的通解.三（10分）设L为沿顺时针方向的上半圆，计算曲线积分.四（10分）求由球面及所围成的立体的体积.五（10分）利用高斯公式计算曲面积分，其中是球面外侧的上半部分.六、（10分）求，使曲线积分与路径无关，其中具有二阶连续导数，且.河南理工大学2008级高等数学下期末试卷一填空题（每小题4分，共32分）1设函数则 .2设

6、，则 .3曲线处的法平面方程为 .4交换二次积分次序，则 .5设L为圆周：，则曲线积分 .6当为平面内的一个闭区域D时，则曲面积分 .7微分方程的通解为 .8微分方程的的通解为 .二解答下列各题（每小题7分，共28分）1由方程所确定，其中具有连续的偏导数，求.2计算二重积分其中D是由所围成的闭区域.3利用高斯公式计算曲面积分，其中是球面的外侧.4求微分方程的通解.三（10分）某厂要用铁板做成一个体积为的无盖长方形水箱，问长、宽、高各取多少时，才能使用料最省.四（10分）求由曲面及所围成的立体的体积.五（10分）微分方程的通解.六（10分）曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，计算.河南理

7、工大学2007级高等数学下期末试卷一、填空题（每小题3分，共30分）（1）设，则.（2）设，则全微分.（3）曲线在处的切线方程为 .（4）交换二次积分次序，则 .（5）设有曲线：的起点为（0，0），终点为（1，1）则曲线积分： .（6）设曲面是锥面在柱面内部那一部分上侧，则曲面积分 .（7）设具有连续偏导数，且则 .（8）当 时，为某二元函数的全微分.(9) 微分方程的通解为 (10) 微分方程的通解为 二（7分）设.三（7分）利用拉格朗日乘数法求解问题：从斜边之长为 的一切直 角三角形中，求有最大周长的直角三角形.四 （7分）利用适当的坐标计算积分 其中D 是由直线： 及曲线 所围城的闭区域

8、.五 （10分）利用高斯公式计算曲面积分：其中是曲面上侧.六(10分) 利用格林公式，计算曲线积分：其中L为三顶点分别为（0，0）、（3，0）和（3，2）的三角形正向边界.七(10分) 求由抛物面与平面 所围成空间闭区域内的立体的质量，已知此立体的体密度为八(10分) 二阶常系数非齐次线性微分方程 ，求其通解.九（9分）设曲线积分与路径无关, 其中具有连续的一阶导数,且当其为起点在O（0，0）终点为B（1，1）的有向曲线时，该曲线积分值等于求函数.河南理工大学2006级高等数学下期末试卷一、填空题（每小题3分，共30分）（1）设,，,具有一阶连续偏导数，则 （2）设，则全微分 （3）曲面在点处

9、的切平面方程为 （4）交换二次积分次序，则 （5）计算二重积分的值 ，其中（6）曲线L为球面与平面相交的圆周，其中，则曲线积分 （7）设曲面是在柱面 上介于的部分，则曲面积分 （8）当 时，曲线积分 与路径无关.（9）微分方程（b为常数）的通解为 （10）微分方程的通解为 二、（8分）已知三个正数之和为12，求的最大值.三、（8分）计算二重积分的值，其中D是由直线及曲线所围成的闭区域.四、（10分）求旋转抛物面与锥面所围立体的体积.五、（10分）求，其中L为顶点坐标分别是，的三角形的正向边界.六、（10分）利用高斯公式计算曲面积分：，其中是曲面的上侧.七、（10分）求二阶常系数非齐次线性微分方

10、程的通解（其中a为常数）.八、（10分）设具有一阶连续导数，且，又是全微分方程，求.九、（6分）已知，且，其中可微，连续，且，连续，求.河南理工大学2005级高等数学下期末试卷一填空题（每小题4分，共40分）1.由曲线与直线及围成的图形的面积为若以x为积分变量,面积可用定积分表示为 .2.设为连续函数，则交换二次积分次序后3. ,其中L是圆弧.4. ，其中为平面在第一卦限中的部分.5.设为面上的闭区域,取下侧, 表示在面的投影,将化为上的二重积分,则9.全微分方程的通解为 .10.一阶线性非齐次方程:的通解为 .二、计算下列各题(每小题5分，共10分)1.求曲线与所围成的平面图形绕轴旋转一周所

11、成旋转体的体积.2.三、（7分）计算三重积分所围成的闭区域。四、（7分）计算，其中L为圆周（按逆时针方向绕行） 五、(8分)计算，其中是锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面.六、(8分)利用高斯公式计算曲面积分其中是曲面的上侧.为常数）.八、计算下列各题（每题6分 共12分）1.如果可微函数满足关系式，求.2.求微分方程的通解.各年期末试卷参考解答2012级高等数学下期末试卷参考解答一填空（每小题4分，共24分）1. ,; 2. ，3 略 ; 4. ; 5.; 6. 通 .二解答下列各题（每小题6分，共18分）1. 解：;2. 解：切平面的法向量为,故切平面方程为，法线3. 解：分离变量得:

12、,积分得: ,即微分方程的通解为.三解答下列各题（每小题6分，共18分）1. 解： ,故2. 解：由交线，由柱面坐标 3. 解：由于关于面对称,而被积函数关于为奇函数,故.四. 解：对应齐次方程通解为.由于不是特征方程的根，可设特解：,代入原方程得:,故：,故所求通解为：.五. 解：(1)由于不包含奇点,由格林公式并注意到得：(2) 由于包含奇点,不能直接使用格林公式，由于，故由连续变形原理可以将压缩为小圆（较小），积分的值不变，即：，此时，则可以使用格林公式得.六. 解：设长、宽、高分别为，则体积,且由拉格朗日乘数法作辅助函数，其中为参数，解方程组由对称性,即当长、宽、高都取 时，才能使体积

13、为最大, 最大体积为. 七略.2011级高等数学下期末试题参考解答一填空：1. 2. 3. 4.； 5.0； 6. 2； 7. ; 8. ； 9. ； 10. 二.解:由隐函数求导公式得 ，左边右边.三.解法一:（用三重积分），由交线由柱面坐标 解法二:（用二重积分）四.解:当时,=0, ，切线方程或,法平面方程为. 五.解:由Guass公式(球体积的一半)六.解:,，由得 （一阶线性微分方程），两端同乘，得，积分得，再由 得， .七解：对应齐次方程通解为.由于不是特征根，设特解,代入原方程求得,所求通解为.2010级高等数学下期末试卷参考解答一填空题（每小题4分，共32分）1、 2、 3、

14、4、0; 5、; 6、略； 7、略； 8、二解答下列各题（每小题7分，共35分）1.解：微分得即.2.解:，故由知函数无极值. 3略4.解：由得，积分得，由得，故原微分方程的特解为.5.解：对应齐次方程通解为.由于不是特征根，观察易得特解,所求通解为三.解：，其中为从原点的直线段，利用格林公式得 .四.解:由高斯公式.五.解法一:（用三重积分），由交线由柱面坐标 解法二:（用二重积分）由极坐标 2009级高等数学下期末试卷参考解答一填空题（每小题4分，共32分） 1、0； 2、 3、; 4、 5 6略; 7略. 8二 1求函数z=，其中具有一阶连续偏导数，求.解：,.22由于知该函数没有极值。

15、4解可变为，此为一阶线性方程，同乘以得，积分得通解三解：，其中为从原点的直线段，利用格林公式得四解：,由交线,由极坐标.五解：，其中，高斯公式.六解：由条件得，即，此为二阶非齐次线性微分方程，又由，得，对应齐次方程通解：，又不是特征根，故设：，代入方程得，故非齐次线性微分方程通解为 由，得2008级高等数学下期末试卷参考解答一 1; 2; 3;4 5； 6=区域D面积. 7.8.二1解:由隐函数求导公式得 ，.2解：.3解：由高斯公式.4解可变为，此为一阶线性方程，同乘以得，积分得通解.三解：设长、宽、高分别为，则用料,由拉格朗日乘数法作辅助函数，其中为参数，解方程组，由对称性,得.，即当长、

16、宽、高各取时，才能使用料最省.四,由交线,由极坐标五解：对应齐次方程通解为.由于不是特征方程的根，可设特解,代入得，故所求通解为.六解：由条件得，即，此为一阶可分离变量的微分方程，解得由得，故.从而 2007级高等数学下期末试卷参考解答及评分标准一. 填空题(每题3分,共30分) （1） （2），（3） （4）交换二次积分的积分秩序有： (5) . (6) . (7) （注：对两边对求全导数有 （8） （9） （10） 二（7分）解：设再一次对 求偏导数，得三 （7分）解 设两直角边 则周长 且 记 （3分） （2分）得当 时，有最大周长 （2分）四（7分）解：五 （10分）解 :记为曲面下侧

17、，（1分）则有：所以：六（10分）解：或法2：七 （10分）解 ：由柱坐标：八、（10分）解：先解得 （2分）故对应齐次方程的通解为 （2分）不是特征根， 设 代入原方程有 （2分） （2分）所以 非齐次方程的通解为： （2分）九（9分）解：因为曲线积分与路径无关，所以记点 则代回（1）得,2006级高等数学下期末试卷参考解答一、（1）； （2）；（3）； （4）； （5） 1 ； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）二、解：.设，令，解得：，所以点为唯一驻点，则所求最大值为6912.三、解：五、解：,由格林公式得=或六、解：补：取下侧七、解：特征方程为：，所以当时，通解为：当时，通解为：八、解：因为,由得：，通解为：，又得所以：九、解：设，所以： ，则，所以：2005级高等数学下期末试卷参考解答及评分标准一、（每小题4分）1. 2. 3.4. . 5.6. .7. .8. 收敛. 9. 10. 二、1. 3分 5分2. 3分 5分三、 5分 7分四、 2分 5分 7分五、 4分 6分 8分六、 1分补取下侧 3分 6分 8分七、1.收敛区间； 4分2.设，则 所以 8分八、1. 4分 6分2微分方程的特征方程其特征根为，故对应齐次方程的通解为 3分因为，不是特征方程的根，故原方程的特解设为：，代入原方程得因此，原方程的通解为 6分