流形上的散度公式证明.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流流形上的散度公式证明.精品文档.流形上的散度公式证明杨科中国 成都 610017E-mail: more2010e摘 要:散度公式(又称-Gauss公式) 是现代数学、物理体系的核心公式之一.传统的散度公式证明逻辑体系,建立了基于空间直角坐标系投影法 (简称投影法) 的曲面积分与三重积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法. 但是投影法存在诸多明显的缺陷(例如计算过程繁琐,不适用于不对称、不规则曲面等),以致于物理、工程领域的许多重要问题(例如电磁学领域的Maxwell方程组实例化和流体力学领域的任意不规则控制面积分)的解决途径,均建

2、立在直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组求解基础上.一个多世纪以来的数学、物理和工程实践已经证明,通过投影法、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组,难于甚至不能获得关于复杂几何对象流形的解析解、数值解;传统的流形微积分学, 用外微分形式推导出Green公式, -Gauss公式,Stokes公式,乃至关于n维空间积分的广义Stokes公式20,即但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;本稿件通过建立与具体几何对象(流形)匹配的个性化坐标系(即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系,使用什么样几何形体的微元系数; 而不再依

3、赖于已有的少数几个直角坐标系、球面坐标系、 柱面坐标系、 广义球面坐标系及其相关微元系数等),用积分以及和式极限的方法,证明散度公式在无穷多个任意参数曲面(流形)坐标系 包括单连通可定向闭合曲面坐标系(基于Poincare猜想)和复连通可定向闭合曲面坐标系(环面坐标系)的存在, 使散度公式超越传统的直角坐标系框架, 建立基于参数化空间点积法的曲面积分与基于个性化微元系数的三重积分之间的新公式关联, 并且在无限丰富、 绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证,确立两种新型的积分方法的理论逻辑依据和数值模型.证明流形上的散度公式本身不是唯一目的,建立基于参数化空间点积法的曲面积分与基于个性

4、化微元系数的三重积分之间的新公式关联,确立两种新型的积分方法的理论逻辑依据和数值模型是根本目的.本系列稿件相关的数值模型表明, 使用基于参数化空间点积法的曲面积分以及基于个性化微元系数的三重积分, 能够获得关于复杂几何形体流形 (尤其是不对称、不规则曲面及其包含空间区域)的解析积分值或任意精度浮点积分值;实现任意曲面积分以及任意空间区域三重积分, 实现向量场 (电场、磁场、流体场、引力场等) 和数量场 (电位场、温度场、密度场等)在任意自由曲面及其包含空间区域的精确积分计算,确立两种类型积分的逻辑关联关系,实现流形上的散度公式和工程意义上的流形积分.关键词:微积分学 拓扑学 物理学 Poinc

5、are猜想 向量场 数量场 自由参数曲面坐标系单连通可定向闭合参数曲面坐标系 复连通可定向闭合参数曲面坐标系基于参数化空间点积法的曲面积分 基于个性化微元系数的三重积分 流形上的散度公式 证明 数值模型 和式极限 两种类型积分的新公式关联工程意义上的流形积分 解析积分值 任意精度浮点数积分值中图分类号：O17/O412.3目录引言1 .2引言2 证明的前提条件-单连通可定向闭合曲面坐标系的建立.4流形上的散度公式证明.10总结 . 13参考书籍. 14引言1 散度公式(又称-Gauss公式)是现代数学、物理体系的核心公式之一 1234567891011121314151617.传统的散度公式证

6、明逻辑体系,建立了基于空间直角坐标系投影法(简称投影法)的曲面积分与三重积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法.投影法的基本思路是将三维欧氏空间区域中的曲面积分,转化为某一空间直角坐标平面上的二重积分,以间接的方式达到目的. 投影法的缺陷是明显的: 第一,积分曲面在某一坐标平面的投影区域不能有重叠, 这就决定了积分曲面只能是非常简单的函数曲面; 在现实世界和物理、工程领域更为普遍存在复杂参数曲面, 投影法则无能为力;第二,投影法通常要求积分曲面具有某种对称性(点对称、轴对称和面对称等2), 计算诸如以三维坐标原点为中心的球面上侧、下侧、左侧、右侧曲面类型的简单曲面积分,再乘以某一常数

7、, 得到整个球面的积分值; 在现实世界和物理、工程领域更为普遍存在的不对称、不规则曲面, 用投影法计算非常繁琐, 在绝大多数情况下不能计算123456789;以致于物理、工程领域的许多重要问题(例如电磁学领域的Maxwell方程组实例化和流体力学领域的任意不规则控制面积分)的解决途径,均建立在直角坐标系或其它坐标系(例如贴体坐标系等)的偏微分方程组求解(例如有限元法、边界元法、有限差分法等18)基础上.一个多世纪以来的数学、物理、工程实践已经证明,通过投影法、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组,难于甚至不能获得关于复杂几何对象(流形)的解析解、数值解; 第三,因不同积分曲面的几何差异,投影的

8、方向、投影的次数千差万别尤其是分面投影法.有100计算实例,就可能有100种投影方案.计算过程不可能标准化、模块化,不利于电子计算机编程; 第四,不论积分曲面复杂程度,投影法实际计算过程普遍繁琐;第五,在物理、数学分析领域至关重要的Gauss公式,Stokes公式(在某种意义上也包括Green公式),投影法几乎没有直接计算实例(即使有,也是极个别的特例,没有代表性.如正方体、长方体表面外观的闭合“曲面”1213151617,数条正方体不同表面截线段围成的闭合“曲线”12131516,平面“x+y+z=1”与三个直角坐标平面的相交三角形构成的闭合“曲线”1213141516等). 通常的思路是,

9、 先用符号逻辑的方式证明在直角坐标系中三大公式的存在, 然后是如何应用这三大公式简化计算. 非常遗憾、困惑的是没有这三大公式的丰富而绚丽的直接计算实例. 在球面坐标系,有向量场参数曲面积分13、球体空间区域三重积分即通过三阶Jaccobi行列式变量变换;在极坐标系,有平面区域二重积分即通过二阶Jaccobi行列式变量变换等计算方法1213141617.但是存在下列问题: 第一,在球面坐标系内,向量场闭合曲面积分与数量场闭合空间区域三重积分彼此孤立, 没有通过散度公式关联,并且两者的计算结果不能相互验证; 第二,向量场闭合曲面积分与数量场闭合空间区域三重积分局限于正交曲线坐标系即球面坐标系和柱面

10、坐标系 1213141617 或广义球面坐标系14, 没有扩展到无穷多个任意参数曲面坐标系; 第三,在极坐标系内,向量场环路积分与数量场平面区域二重积分彼此孤立,没有通过Green公式关联,并且两者的计算结果也不能相互验证;第四,数量场二元函数闭合平面区域二重积分局限于正交曲线坐标系即极坐标系11,没有扩展到无穷多个任意单连通闭合曲线坐标系.传统的流形微积分学, 用外微分形式推导出Green公式, -Gauss公式,Stokes公式,乃至关于n维空间积分的广义Stokes公式20,即但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言. 认识

11、,无止境.引言2 证明的前提条件单连通可定向闭合曲面坐标系的建立 (一)考察证明的对象-散度公式:“散度公式 设空间闭区域是由光滑或分片光滑的闭曲面S围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 构成向量场A 及其偏导数在空间闭区域上连续,则 (1)其中曲面S为空间闭区域的整个边界曲面外侧, n为曲面S的单位外法向量, divA为向量场A的散度”.在公式的定义中,强调空间闭区域的边界闭合曲面S必须是能够区分其”内侧”、”外侧”的可定向曲面.在传统的直角坐标系-Gauss公式证明中,”抽象可定向闭合曲面”是这样定义的:抽象可定向闭合曲面由三个子曲面 分片包围而成,其中曲面皆为抽

12、象二元函数.(参见高等数学(第六版)(下册) 同济大学数学系 高等教育版 2007 P168-170) 也就是说,散度公式客观上要求,不论在空间直角坐标系,或者在其它坐标系,被证明的相关曲面S必须具有两种属性:(1)闭合性;(2)可定向性. 离开传统的空间直角坐标系,怎样刻画抽象的、具有普遍意义的”可定向闭合曲面”并且进一步建立”可定向闭合曲面坐标系”? 并没有现成的答案.Poincare猜想19断定任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚于n维球面,在散度或旋度公式涉及的三维欧氏空间, 其对应的判断为 任何单连通、可定向2维闭合流形必定同胚于2维球面.也就是说, 根据Poincare 猜想,

13、 在散度或旋度公式涉及的三维欧氏空间, 任何单连通、可定向的闭合曲面(虽然仅仅是单连通),不论其几何外观如何千变万化,必定有同胚于”球面”这一普遍属性.进一步的问题自然是”在三维欧氏空间,能否根据Poincare 猜想这一普遍属性,定义单连通、可定向的闭合曲面的抽象的、普遍意义的表达式?” 这也正是本”引言”讨论的中心内容.在空间解析几何学中,上述2维球面的参数表达式为sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),其中参数u的变化范围0,Pi,参数v的变化范围0,2*Pi(在严格意义上, 该参数表达式是 ”2维球面” 在”空间直角坐标系”和”球面坐标系”之间的转换式; ”二

14、维球面” 在球面坐标系的表达式是常数1). 在拓扑学领域,同胚的定义为两个流形,如果可以通过弯曲、延展、剪切等操作把其中一个变为另一个,则认为两者是同胚的.从解析几何学和拓扑学的角度再理解Poincare猜想,既然2维球面的参数方程为sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),其中参数变化范围u0,Pi,v0,2*Pi,则其变形a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v),c*cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi(其中待定系数a,b,c为任意非零常数) 即为任意椭球面的参数方程. 在三维欧氏空间,任意椭球面皆同胚于球面,这是拓扑学的常识,无需讨论;如果a

15、,b,c为任意一阶可导连续函数,可能出现怎样的情况? 参见下列图例:图例1:假设任意待定系数a=sin(u)+cos(v), b=cos(u),c=cos(v/2),则目标参数曲面a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)(其中u0, v0,2)为(sin(u)+cos(v)*sin(u)*cos(v),cos(u)*sin(u)*sin(v),cos(v/2)*cos(u)(其中u0, v0,2) 其实际参数图形为:图例1 由待定系数a,b,c输入任意一阶可导连续函数,输出参数曲面呈非单连通、非闭合状态,与”Poincare猜想”及”流形上的散度或旋度公

16、式”讨论的内容无关图例2:假设任意待定系数a=sin(u+v)+cos(v), b=cos(v),c=cos(v/2),则目标参数曲面a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)(其中u0, v0,2)为(sin(u+v)+cos(v)*sin(u)*cos(v),cos(v)*sin(u)*sin(v),cos(v/2)*cos(u)(其中u0, v0,2) 其实际参数图形为:图例2 由待定系数a,b,c输入任意一阶可导连续函数,输出参数曲面呈非单连通、不可定向状态,与”Poincare猜想”及”流形上的散度或旋度公式”讨论的内容无关图例3:假设任意待定系

17、数a=sin(u),b=cos(u)+cos(u+3*v)/3,c= cos(u),则目标参数曲面a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)(其中u0,v0,2)为sin(u)*sin(u)*cos(v),(cos(u)+cos(u+3*v)/3)*sin(u)*sin(v),cos(u)*cos(u)(其中u0, v0,2) 其实际参数图形为:图例3 由待定系数a,b,c输入任意一阶可导连续函数,输出曲面呈单连通可定向闭合状态 可以作为”Poincare猜想”及”流形上的散度或旋度公式”讨论的对象实验数据从原始现象表明,同样属于参数曲面a sin(u)c

18、os(v),b sin(u)sin(v),c cos(u), u0,Pi,v0,2*Pi, 因待定系数a,b,c的不同取值, 一部份曲面属于单连通、可定向闭合曲面,一部分曲面则例外.也就是说,参数曲面a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u), u0,Pi,v0,2*Pi存在两种情况: (1)在待定系数a,b,c为任意非零常数的情况下,参数曲面为椭球面(自然同胚于球面);(2)在待定系数a,b,c为任意一阶可导连续函数的情况下,参数曲面可以为单连通可定向闭合曲面(同胚于球面),也可以为非单连通可定向闭合曲面(不同胚于球面).进一步的问题自然是“在参数曲面a s

19、in(u)cos(v), b sin(u)sin(v), c cos(u), u0,Pi,v0,2*Pi模式中, 能否通过某种定义将非单连通可定向闭合曲面(不同胚于球面)的情况排除?” (二)设定“任意曲面”为一集合,则“任意单连通、可定向闭合曲面” 是前者的子集合. Poincare猜想是这一子集合的属性, 本论文“流形上的散度或旋度公式证明”及其”和式极限证明”则讨论散度或旋度公式是否适用于这一子集合. Poincare猜想为用参数方程方法描述“任意单连通、可定向闭合曲面”的某种属性(即“同胚于2维球面”这一属性)提供了实现途径. 参考丘成桐院士2006年观点: 庞加莱猜想和三维空间几何化

20、的问题是几何领域的主流，它的证明将会对流形性质的认识，甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响.基于上述情况,将无数具体的单连通、可定向闭合曲面抽象化为一个统一的表达式:a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi(其中待定系数a,b,c不能任意指定, 而必须服从于曲面的 ”单连通、可定向闭合” 的拓扑学属性)也就是说, 如果待定系数a,b,c能够任意指定, 则目标曲面 a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v), c*cos(u), u0,Pi,v0,2*Pi 可能是”单连通、可定向闭合曲面”,也可能不是; 如果预先

21、设定目标曲面 a sin(u)cos(v), b sin(u) sin(v), c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi 本身就是”单连通、可定向闭合曲面”, 则待定系数a,b,c就不能任意指定了.从几何意义解释上述现象 - 在空间直角坐标系, 球面( 即sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi) 沿x,y,z轴三个方向任意连续变化(即a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi,其中 待定系数a,b,c为任意一阶可导连续函数),不一定产生单连通、可定向闭合曲面;反过来,在空间

22、直角坐标系,任一单连通、可定向闭合曲面-必定由球面( 即sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi)沿x,y,z轴三个方向连续变化而成(也必定能够沿x,y,z轴三个方向连续变回球面)- Poincare 猜想为依据.例如,正六面体(即正方体)表面也可以被视为单连通、可定向闭合曲面-但是正六面体表面难于甚至不能用参数方程描述-但是不能否认,根据Poincare猜想, 正六面体表面必定同胚于球面,必定由球面(即sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi)沿x,y,z轴三个方向连续变化而成(也必定能够

23、沿x,y,z轴三个方向连续变回球面);根据Poincare猜想,正六面体表面同样可以用a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi参数模式描述.用a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi 模式描述抽象的、具有普遍意义的单连通、可定向闭合曲面,实际上是用Poincare猜想来描述单连通、可定向闭合曲面的某种内在结构和属性(即同胚于球面这一属性),为进一步的公式推导设定一个恰当的前提条件.需要特别指出,在具体曲面为“复连通、可定向闭合曲面”(例如环面及其同胚曲面)情况下还

24、不能实现抽象化,还没有相关的理论依据为支持. 在实际操作层面,用Plot3D属于Waterloo Maple计算机代数系统指令指令绘画出某一参数曲面,必须在直观视觉上判定该曲面是否为单连通、可定向闭合曲面以后, 才能决定是否适用于流形上的散度或旋度公式数值模型;从参数表达式本身无法判断曲面是否为单连通、可定向闭合曲面;“参数曲面是否为单连通、可定向闭合曲面” 的决定因素在拓扑学领域而不在解析几何领域;单凭解析几何的参数方程方法并不能够推导、演绎出某一曲面的单连通、可定向闭合属性.(三)a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi 只

25、是基于Poincare猜想定义的抽象的、普遍意义的单连通可定向闭合曲面表达式, 还不属于坐标系;抽象单连通可定向闭合曲面坐标系为r a sin(u)cos(v),r b sin(u) sin(v),r c cos(u), r0, ,u0,Pi,v0,2*Pi, 其中r为向径, a,b,c为待定系数(因为a,b,c既可以为非零常数,也可以为一阶可导连续函数),具有不确定性.实际上,抽象单连通可定向闭合曲面表达式a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u),u0,Pi,v0,2*Pi与椭球面表达式a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c co

26、s(u),u0,Pi,v0,2*Pi在形式上是完全一致的,只是两者对待定系数a,b,c的解释不同:前者将a,b,c解释为任意非零常数或一阶连续可导函数(非任意,受曲面的单连通可定向闭合属性限制)”,而后者将a,b,c解释为只是任意非零常数;故抽象单连通可定向闭合曲面坐标系与直角坐标系的对应关系是x=r*a sin(u)cos(v),y=r*b sin(u) sin(v),z=r*c cos(u)(与椭球面坐标系-直角坐标系转换式是相同的).流形上的散度公式证明:散度公式 设空间闭区域是由光滑或分片光滑的闭曲面S围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 构成向量场A 及其偏

27、导数在空间闭区域上连续,则 (1)其中曲面S为空间闭区域的整个边界曲面外侧,n为曲面S的单位外法向量, divA为向量场A的散度证明:定义任意单连通、可定向闭合曲面S的参数表达式:a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u) (2)其中a,b,c为非零常数或一阶可导连续函数表达式, 单连通、可定向闭合曲面S决定a,b,c的取值;设定参数u,v的变化范围0,0,2,使曲面S闭合.(参见Poincare猜想: 任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚于n维球面)19根据曲面参数表达式(2),定义并计算第一偏导数矩阵,获取曲面S的切平面法向量:(3)从(3)式分别提取

28、i,j,k项系数,获得曲面S的切平面法向量:, (4)向量场A与曲面S的切平面法向量(4)的空间点积对曲面参数u,v的积分: (5)将曲面S的参数表达式(2)各项通乘以向径r(设定r0),将x,y,z轴方向上的曲面坐标参数转化为空间区域坐标参数:ra sin(u)cos(v),rb sin(u) sin(v),rc cos(u) (6)根据空间区域坐标参数(6),定义并计算第二偏导数矩阵,获取空间闭区域微元系数的一般表达式:= (7)计算向量场A的散度,并将其从直角坐标形式(8)转变为空间闭区域 坐标形式(9): (8) (9)散度(9)与空间闭区域微元的乘积对变量r,u,v的三重积分: (1

29、0)其中,即设定空间闭区域微元本身对参数r,u,v的三重积分不能为零,也可以理解为设定空间闭区域不能为零体积即(5)式=(10)式: 亦可表述为 (1), 证毕环面散度公式证明和流形上的散度公式数值模型,参见”附件1 流形上的散度公式证明和数值模型(分析与说明)”;流形上的散度公式和式极限证明及其数值模型, 参见”流形上的散度公式和式极限证明和数值模型附件3 分析与说明”总结传统的散度公式证明逻辑体系, 建立了基于空间直角坐标系投影法 (简称投影法) 的曲面积分与三重积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法. 但是投影法存在诸多明显的缺陷 (例如计算过程繁琐,不适用于不对称、不规则曲面

30、等),以致于物理、工程领域的许多重要问题 (例如电磁学领域的 Maxwell方程组实例化和流体力学领域的任意不规则控制面积分)的解决途径, 均建立在直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组求解基础上. 一个多世纪以来的数学、物理和工程实践已经证明, 通过投影法、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组,难于甚至不能获得关于复杂几何对象(流形)解析解、数值解;传统的流形微积分学,用外微分形式推导出Green公式,-Gauss公式,Stokes公式,乃至关于n维空间积分的广义Stokes公式20,即但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;建

31、立与具体几何对象(流形)匹配的个性化坐标系(即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系,使用什么样几何形体的微元系数;而不再依赖于已有的少数几个直角坐标系、球面坐标系、柱面坐标系、广义球面坐标系及其相关微元系数),证明散度公式在无穷多个任意参数曲面(流形)坐标系包括单连通可定向闭合曲面坐标系(基于Poincare猜想)和复连通可定向闭合曲面坐标系(环面坐标系)的存在, 使散度公式超越传统的直角坐标系框架, 建立基于参数化空间点积法的曲面积分与基于个性化微元系数的三重积分之间的新公式关联, 并且在无限丰富、绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证,确立两种新型的积分方法的理论逻辑

32、依据和数值模型.证明流形上的散度公式本身不是唯一目的,建立基于参数化空间点积法的曲面积分与基于个性化微元系数的三重积分之间的新公式关联,确立两种新型的积分方法的理论逻辑依据和数值模型是根本目的.本系列稿件相关的数值模型表明,通过基于参数化空间点积法的曲面积分和基于个性化微元系数的三重积分,能够获得关于复杂几何形体(流形)(尤其是不对称、不规则曲面及其包含空间区域) 的解析积分值或任意精度浮点积分值; 实现任意曲面积分、任意空间区域三重积分 (甚至实现积分区间的艺术化); 寻找向量场 (电场、磁场、流体场、引力场等)和数量场(电位场、温度场、密度场等) 在任意自由曲面及其包含空间区域的积分计算途

33、径和关联关系, 寻找微积分学、拓扑学和工程计算三者的直接衔接点,实现流形上的散度公式和工程意义上的流形积分,实现更广大、更自由的物理、数学探索和工程实践.参考书籍:1基础物理述评教程潘根 科学版 2002.1 (P360-361,P385,P401)2费恩曼物理学讲义(第2卷) The Feynman Lectures on Physics by Richard Feynman, Robert B. Leighton, Matthew L. SandsPearson Education 1989 上海世纪出版股份有限公司/上海科学技术版 2005.6 第1版 2009.10 第6次印刷 (P3

34、1-32,P48-54,P55-65,P159-165,P230-242,P259-289)3电磁学 高等教育版 2001.1 (P33-43)4电动力学及其计算机辅助教学科学版 2007.8 (P1-47)5场论 原子能版 2006.10 (2008.8 重印) (P9-13,P147-150,P184-186)6流体力学 冶金工业版 2010.2 (P40-80)7应用流体力学 清华大学版 2006.3 (P21-32)8工程流体力学 人民交通版 2010.1 (P28-46,P57-59)9多维气体动力学基础(第2版)北京航空航天大学版 2008.6 (P15,P36-43)10数学分析

35、简明教程(下册) 前苏联 . 高等教育版 1956.8 (P644-649)11工程数学: 矢量分析与场论谢树艺 高等教育版 1978.12 第1版 1985.3 第2版 2002.3 第23次印刷 (P41-45,P85,P90-91)12微积分(下册) 同济大学应用数学系 高等教育版 2002.1 (P163-165, P234-238,P242-243,P247-248)13高等数学 多元微积分及其教学软件上海市教委 组编 上海交通大学 同济大学 华东理工大学 上海大学 编 科学版 1999.6 (P388-390,P291-294,P312-313, P393-402,P407)14工

36、科微积分(下册) 丁晓庆 科学版 2002.9 (P288-296, P309-315,P317-318) 15高等数学(第六版)(下册) 同济大学数学系 高等教育版 1978.10 第1版 2007.6 第6版 2009.8 第9次印刷 (P168-170,P174-175)16托马斯微积分(第10版) Thomass Calculus(Tenth Edition) 高等教育版 2003.8 (P1048-1056, P1137-1147,P1147-1157)17微积分 M.R.Spiegel Schaums Outline of Theory and Problems of Advanc

37、ed CalculusMcGraw-Hill Companies, Inc Copyright 1963, 37thPrinting, 1998 科学版 2002.1 (P169-170, P180,P190-201)18现代数值计算方法刘继军 科学版 2010.3 (P62-136)19庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明A complete proof of the Poincare and geometrization conjectures-Application of the Hamilton-Perelman theory of the RICCI flow . . 朱熹平 曹怀东 A

38、sian J. MathJune 2006, P165-49220流形上的微积分 M.Spivak 人民邮电版 2006.1 (P114-143)21Maple指令参考手册 国防工业版 2002.1 Proof of Divergence Theorem at ManifoldYangkeChina Chengdu 610017E-mail: more2010eAbstract:Divergence Theorem( i.e. -Gauss Theorem) is one of the hard core in modern mathematical and physical system.

39、The logic system of Divergence Theorems traditional proof, established formular association between surface integral (Based on projective method in 3-Dimensional Cartesian coordinates, shortened form as projective method) and triple integrals, radicated that projective method was primary method of s

40、urface integral. But projective method possesses many obvious defects (e.g. complicated and tedious calculating course, be disable to calculate on asymmetrical、irregular surfaces etc.), so that resolvents of many important questions in physics、engineering field (e.g. instantiation of Maxwells equati

41、ons in electromagnetism and integral at discretional irregular control surface in hydrodynamics) are built on solving partial differential equations in Cartesian coordinates or other coordinates. For more than a century, countless mathematical、physical and engineering practices have proved: Depend o

42、n projective method、partial differential equations in Cartesian coordinates or other coordinates, it is difficult or disable to obtain analytical solution or numerical solution about complicated geometric objects (Manifold);Traditional manifold calculus deducts out Green Theorem、-Gauss Theorem and S

43、tokes Theorem by exterior differential form, and even generalized Stokes Theorem about n-dimensional space integral 20, viz.But these theorems (deducted by exterior differential form), scantly possess abstract academic meaning, and cant reveal idiographic course of integrals, leave alone idiographic

44、 numerical models.In this manuscript, constitute individual coordinates that matches with idiographic geometric object Manifold (Viz. What idiographic geometric shape, what coordinates of idiographic geometric shape, what element coefficient of idiographic geometric shape; no longer rely on a few existent coordinates: Cartesian coordinates、Spherical coordinates、Cylindrical coordinates and generalized spherical coordinates and their correlative element coefficients etc.), by methods of integral and finite sums limits, prove the presence of