浙江大学01-04级微积分试卷解答.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流浙江大学01-04级微积分试卷解答.精品文档.浙江大学2001级微积分（上）期终考试试卷解答系_ 班级_ 学号_姓名_ 考试教室_题 号一二三四五六七八总分复核得 分评卷人得分一、选择题：（每小题2分，共8分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的代号填入空格中1.设，其中，互不相等，且 ，则的值等于（ ）. （A）. （B）. （C）. （D）.解：（D）.，选（D）2.曲线，当时，它有斜渐进线（ ）.（A）. （B）. （C）. （D）.解：（C）.若直线是曲线的斜渐进线，则当时=，选（C）3.下面的四个论述中正确的是（ ）

2、.（A）.“函数在上有界”是“在上可积”的必要条件；（B）.函数在区间内可导，那末是 在处取到极值的充分条件；（C）.“函数在点处可导”对于“函数在点处可微”而言既非充分也非必要；（D）.“函数在区间上连续”是“在区间上原函数存在”的充要条件.解：（A）.（B）应为必要条件（C）一元函数可导与可微等价（D）应为充分条件，选（A）4.下面四个论述中正确的是（ ）.（A）.若 ，且单调递减，设，则；（B）. 若 ，且极限存在，设，则；（C）. 若，则；（D）. 若，则存在正整数，当时，都有.解：（D）.（A）（B）中，（C）存在，当时， ，选（D）得分二、填空题：（每空格2分，共12分）只填答案1

3、. =_；=_.解：或；.2.函数可导，则=_.解：.3. =_.解：.令，则，4. =_；=_.解：；.事实上：关于中心对称直接得答案为.得分三、求极限：（每小题7分，共14分）1.数列通项，求.解：，2.求.解：原式=得分得分四、求导数：（每小题7分，共21分）1. ，求.解：，2. 求，.解：，3.函数由确定，求解：，得分五、求积分：（每小题7分，共28分）1.求.解：，原式=2.求.解：原式=3.求.解：原式=，令，4.计算.解：记得分六、（6分）下面两题做一题，其中学过常微分方程的专业做第1题，未学常微分方程的专业做第2题.1.求解常微分方程：解：方法1：，=（或）=，解得方法2：令

4、，则，（或），（或）2.有一半径为4米的半球形水池注满了水，现要把水全部抽到距水池水面高6米的水箱内，问至少要做多少功？解：建立坐标如示意图，吨/米3（吨米）（=3.2）（米/秒2）得分七、（6分）在平面上将连结原点与点的线段（即区间）作等分，分点记作，对，过作抛物线的切线，切点为.1.设的面积为，求；2.求极限.解：1.设，切线方程：，切线过，解得，.2. =得分八、证明题（5分）设在上连续，且，.证明：对任意，且，必有.证：令，下面方法1：据台劳公式（在之间）方法2：（在之间）若，则，若，则，也有浙江大学2001级微积分（下）期终考试试卷解答系_ 班级_ 学号_姓名_ 考试教室_题 号一二

5、三四五六总分复核得 分评卷人得分一、填空题：（每小题3分，共15分）只填答案1.设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面的方程是_。解：.令所求平面方程为：由过原点得由过得由与垂直得综上得所求平面方程为2.设，可微，则=_。解：.3. 曲面在点的法线方程是_。解：.即4. 函数关于的幂级数展开式是_，且展开式的收敛区间为_。解：.，收敛半径，收敛区间是5.设则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_。解：.由定理知应收敛于得分二、选择题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的字母填入括号中1.设直线，设平面，则直线（ ）（A）平行于 （B）在

6、上 （C）垂直于 （D）与斜交解：（C）.由平面与平面相交而成与垂直与垂直与、的交线垂直，选（C）2.考虑二元函数的下面4条性质：在点处连续；在点处的两个偏导数连续；在点处可微；在点处的两个偏导数存在，若用“”表示可由性质推出性质，则有（ ）（A） （B） （C） （D）解：（A）.可微必定可导，但导数不一定连续可微必定连续两个偏导数存在且偏导数连续则可微两个偏导数存在且偏导数有界则连续，选（A）3.已知：为某函数的全微分，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）解：（D）.4.设为常数，则级数（ ）（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性与有关解：（C）.当时，而发散本题中

7、级数发散，选（C）5.设则div(grad )为（ ）（A） （B） （C） （D）解：（C）.grad div(grad )=，选（C）得分三、（每小题8分，共24分）1.设，其中具有二阶连续的偏导数，具有二阶导数，求，通项.解：2.设由方程所确定，其中为可微函数，求，.解：对方程两边同时对求偏导得对求偏导数得3.在第一卦限内作球面的切平面，使得该切平面与三坐标平面所围成的区域的体积最小，求切点坐标.解：在球面上任取一点则球面在的法矢量过的切平面方程为即故切平面与三个坐标平面所围成的四面体的体积是为求的最小值，只需求出的最大值，其中即求在约束条件下的最大值令由（1）（2）（3）得代入（4）有

8、，同理，由实际问题知，一定存在最大值，故所求切点坐标为得分得分四、（每小题8分，共16分）1. 求二重积分，其中是由曲线，直线，所围成的平面区域.解：=2.求三重积分，其中是由曲线绕轴旋转所成的曲面与平面所围成的空间区域.解：由绕轴旋转所得的曲面方程为，于是得分五、（每小题8分，共16分）1.求曲线积分，其中是抛物线上自点到点的一段有向弧.解：，在全平面上成立，故积分若用参数，原积分2.求曲面积分，其中是曲面介于平面与平面之间的部分，法线朝上，为连续函数.解：由指向上侧的单位法向量于是原积分得分六、（第1小题8分，第2小题6分，共14分）1.求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域及和函数.解：

9、收敛半径，收敛区间，收敛域当 设，设，于是，又在处连续故 2.证明级数当时收敛，当，且时发散.证：（i） 当时即 为正项级数为负项级数由发散得原级数发散（ii） 当时即 由收敛得原级数收敛浙江大学2002级微积分（上）期终考试试卷解答学院_ 班级_ 学号_姓名_ 考试教室_题 号一二三四五六七八总分复核得 分评卷人得分一、填空题：（每题4分，共12分）只填答案1.举出符合各题要求的一例，并将其填入空格内。（1）在点不连续，但当时极限存在的函数有_；（2）属“”或“”未定型，且其极限存在，但极限不能用洛必达法则求得的极限有_；（3）原函数不存在，但其原函数不能用初等函数表示的函数有_;（4）有界

10、，但不可积的函数有_；解：（1）等；（2）等；（3）或；（4）狄里克雷函数2.已知抛物线过点，且在该点的曲率圆方程是：.则=_，=_，=_,曲线在（1，2）处的曲率k_.解：；.过点得抛物线在的切向与过和两点的直线垂直得曲率半径由、得（由于抛物线与曲率圆有相同凹向得抛物线开口向上，舍去）3. 设.（1）=_；（2）=_；（3）=_；解：；.（1）；（2）；（3）得分二、选择题：（每题3分，共12分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的字母填入括号中1.设，且在内二阶可导，又，则在内的单调性和图形的凹向是（ ）. A.单调增，向下凹 B.单调减，向下凹 C.单调增，向上凹 D.单

11、调减，向上凹解：B.在单调增在向下凹由于关于轴对称在单调减，向下凹，选B.2.函数在点的以下结论正确的是（ ）A.若，则必是一极值；B.若，则点必是曲线的拐点；C.若极限存在（为正整数），则在点可导，且有；D.若在处可微，则在的某领域内有界。解：D.A 不一定，例当时但此点是驻点不是极值；B 不一定，在点两侧需异号；C 仅仅在子列上收敛是不够的，选D.3.设当时，都是无穷小（），则当时，下列表达式中不一定为无穷小的是（ ）.A.； B.； C.； D. .解：A.无穷小量的积、和、差、绝对值都还是无穷小量，选A.4.设函数在处（ ）.A.不连续； B.连续，但不可导； C.可导，但导数不连续；

12、 D.可导，且导数连续。解：C.连续可导.不存在不连续，选C.得分三、求极限：（每小题7分，共14分）1. .解：.2. .解：=其中得分得分四、求导数：（每小题6分，共18分）1. 设.求.解：2. 求，.解：，3.函数由所确定，求，.解：由.有，.得分五、求积分：（每小题6分，共24分）1. .解：2. .解：3. .解：令， .，.4. .解：而，所以所以 原积分得分六、（10分）下面两题做一题，其中学微积分（甲）的专业做第甲题，学微积分（乙）的专业做第乙题。（甲）：（1）在抛物线上找一点，过点作抛物线的切线，使此切线与抛物线及两坐标轴所围成的区域面积最小，求点坐标。 （2）设函数在区间

13、内连续，极限，存在，且两者异号，证明方程在内至少有一个实根。解：（1）过点的切线方程为与两坐标轴的交点，则所围成的面积.（其中为抛物线与坐标轴所围在第一象限中的面积） 令, ，因为在中只有唯一驻点，且存在最小值，所以当，时，取到最小值。（2）证：因为，存在，设，.并设 则在闭区间上连续，且.由介值定理.在内至少存在一点，有，而在内.也即在内至少有一个实根.（乙）：设有一边界有两条抛物线与所围成的平板。 （1）画出平板的图形，并计算其面积； （2）将此平板铅直置于水中，水平面在处，试求平板一侧所受到的水的静压力。解：（1） 解得交点面积（2）静压力（其中为水的比重）得分七、（5分）设数列由下式给

14、出：， 证明数列极限存在，并求解：因为，所以有下界；又（因为）所以单调减，所以极限存在.设由 有 有得，（因为，舍有）得，即.得分八、证明题（5分）设在内二阶可导，且，证明：对于任意的，且及，恒有证法1：记由，可知由泰勒公式，在与之间，在与之间，于是（其中，）所以有证法2：记，不妨设，则有由拉格朗日中值定理（1），（2），将（1）式乘以减去（2）式乘以得因为，所以上式有即浙江大学2002级微积分（下）期终考试试卷解答系_ 班级_ 学号_姓名_ 考试教室_题 号一二三四五六总分复核得 分评卷人得分一、选择题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项

15、的字母填入括号中。1.二元函数在点处可微是在该点两个偏导数都存在的（ ）（A）充分条件而非必要条件 （B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件解：（A）.只有两个偏导数都存在且连续才有可微，选A.2.二元函数，在点处（ ）（A）连续、偏导数存在 （B）连续、偏导数不存在（C）不连续、偏导数存在 （D）不连续、偏导数不存在解：（C）.当动点沿直线而趋于定点时，说明动点沿不同斜率直线趋向原点对应极限值也不同，故不连续又同理，故偏导数存在，选C3.设直线与，则与的夹角为（ ）（A） （B） （C） （D）解：（C）.的方向是的方向是与的夹角的余弦，选C4.下列级数中

16、收敛的级数是（ ）（A） （B） （C） （D）解：（D）. 收敛，故原级数收敛，选D5.设力作用在一质点上，该质点从点沿直线移动到点，则此力所作的功为（ ）（A） （B） （C） （D）解：（C）.功，其中为位移，为与的夹角.，选C得分二、填空题：（每小题3分，共24分）只填答案1.设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面的方程是_。解：.令方程为，过原点，又过 .又与垂直，综上得：，.所求平面方程为2.与矢量，矢量都垂直的单位矢量是_。解：.所求为3.设方程确定，则_。解：.对方程分别对求导得：4.曲面在点处的切平面方程是_。解：.设，在全空间上处处连续，在处，切平面为即5._。解：.

17、令，.则原式6.设曲线，则=_。解：.由第一型曲线积分公式知：7.设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为_。解：.首先说明与有相同得收敛区间.设且是得一个收敛点，则必有也是收敛点.存在，有（记）（记）是收敛的也是收敛的的收敛区间为，即为.8.设，则的麦克劳林级数展开式为_。解：.令，则得分三、计算（每小题8分，共16分）1.设，具有连续的二阶偏导数，求，。解：2.设函数，（1）在点处沿哪个方向的方向导数最大；（2）求在点处的最大方向导数。解：（1），故沿方向，方向导数最大（2）由grad grad 得分得分四、计算（每小题8分，共16分）1. 计算三重积分，其中是由与所围成的区域。解：关

18、于平面对称，关于是奇函数，知故原式=2.求平面含在椭圆柱面内的面积。解：，原式=得分五、计算（每小题8分，共16分）1.计算，其中沿上半圆周从点到点。解：原式=2.求曲面积分，其中为球面的外侧。解：原式=得分六、（第1小题7分，第2小题6分，共13分）1.求幂级数的和函数，并指出收敛域。解：=2.就的不同取值，讨论级数的收敛性。解：由该级数为正项级数且当时，知原级数收敛.当时，知原级数收敛.当时，令，知，且=，设递增，且=，知有上界.由单调有界定理知知故发散.浙江大学20032004学年第一学期期末考试微积分试卷解答开课学院： 理学院 任课教师：_姓名：_专业：_学号：_考试时间：120分钟题

19、序一二三四五六总分得分评卷人复评人得分评阅人一、填空题（本大题24分，每个空格4分）、1设若在处可导，则_，_；解：；.可导连续可导2.函数的图形有铅直渐近线_和斜渐近线_；解：；.铅直渐近线充要条件为铅直渐近线为设斜渐近线为3. _；解：.用洛比塔法则4.设在连续，且，则=_.解：.即当时，,又在处连续，得分评阅人二、（本大题9分）、设，.求常数，使，. 解：由，得又因为得得分评阅人三、计算题（本大题40分，每小题5分）、1. 解：原式=2. 解：原式=3. 解：原式=4. 设，求解：原式=5. 解：原式=6. 设满足，求曲线在处的切线方程.解：，切线方程7. ，求解：=8. 解：原式=得分

20、评阅人四、（本大题12分）设为曲线在点处的切线，为曲线的另一条切线，且与直线垂直.（1）求直线和的交点坐标；（2）求曲线与切线和所围成的平面图形的面积，试问当为何值时，该面积最小？解：设切线的切点坐标为，则切线方程：且（1）交点坐标为（2）令，则得分评阅人五、（本大题8分）、设在上连续，、分别是在上的最大值和最小值.证明：存在，使得解：由假设，则由在上连续，从而，存在，使，即.得分评阅人六、（本大题7分）、设，. 证明：在中有唯一的零点，即存在唯一的，使.解：令则而所以在处取极小值，由连续性，在中有一个零点另外，在单调下降在单调上升，故这样的零点是唯一的.浙江大学20032004学年第二学期期

21、末考试微积分试卷解答开课学院： 理学院 任课教师：_姓名：_专业：_学号：_考试时间：120分钟题序一二三四五六总分评卷人得分一、填空题（每个空格5分，满分30分）（1）点到直线的距离_.解：.设原点为，为，垂足为则（2）设，则_.解：.由对成性知：（3）幂级数的收敛范围是_.解：.当时，发散当时，收敛收敛范围是（4）设一个矢量场，它在某点的矢量大小与该点到原点的距离平方成正比（比例常数为），方向指向原点，则=_.解：.div （5）设，且是的傅里叶级数，则系数_，_.解：；.的傅里叶级数是正弦级数，这里后半题解答略二、（10分）求通过直线且与抛物面在的切平面垂直的平面方程。解：设所求平面为.

22、即：其法向量为，抛物面在的切平面法向为，所以由题设得：解得于是所求平面为：（平面不符合条件）三、（12分）设，其中具有连续的二阶导数，具有连续的二阶偏导数，试求.解：四、（12分）求，其中.解：积分区域：，所以五、（16分）设半球体的密度为，试求：（1）半球体的质量；（2）矢量场沿轴正向通过半球面的流量.解：（1）其中为半球体：（如图）（i）用截面法计算：（ii）用柱面坐标计算：（iii）设有，所以.（2），其中为半球面：，法向向上。设为圆盘面：.法向向下。则由高斯公式得.六、（10分）计算曲线积分，其中为从沿抛物线到.解法一：设，有：，因此积分与路径无关，取折线：解法二：同解法一得积分与路径无关，取椭圆，有：，所以：.解法三：直接计算七、（10分）设一半径为的圆，为其任一外切三角形（如图），试证明，在所有的这些外切三角形中，当时，的面积最小。证明：的面积：由得，所以，又因为当时，.于是，且.因此当时，面积最小。另证：的面积：.且，此为一个条件极值问题。设由，解得，所以当时，最小。