流形上的旋度公式证明.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流流形上的旋度公式证明.精品文档.流形上的旋度公式证明杨科中国 成都 610017E-mail: more2010e摘 要：旋度公式(又称Stokes公式)是现代数学、物理体系的核心公式之一.传统的旋度公式证明逻辑体系, 建立了基于空间直角坐标系投影法 (简称投影法) 的曲面积分与空间环路积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法. 但是投影法存在诸多明显的缺陷 (例如计算过程繁琐;不适用于不对称、不规则曲面等),以致于物理、工程领域的许多重要问题(例如电磁学领域的Maxwell方程组实例化和流体力学领域的任意不规则控制面积分)的解决途径

2、, 均建立在直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组求解基础上. 一个多世纪以来的数学、物理和工程实践已经证明, 通过投影法、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组,难于甚至不能获得关于复杂几何对象(流形)的解析解、数值解;传统的流形微积分学,用外微分形式推导出Green公式, -Gauss公式,Stokes公式,乃至关于n维空间积分的广义Stokes公式20,即但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;本稿件通过建立与具体几何对象(流形)匹配的个性化坐标系(即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系;而不再依赖于已有的少数几个

3、直角坐标系、球面坐标系、 柱面坐标系、 广义球面坐标系等),用积分以及和式极限的方法,证明旋度公式在无穷多个任意参数曲面(流形)坐标系包括单连通可定向闭合曲面坐标系(基于Poincare猜想)和复连通可定向闭合曲面坐标系(环面坐标系)的存在, 使旋度公式超越传统的直角坐标系框架, 建立基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联, 并且在无限丰富、 绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证,确立新型的基于参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型.证明流形上的旋度公式本身不是唯一目的,建立基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联,确立新型

4、的基于参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型是根本目的.本稿件相关的数值模型表明,使用基于参数化空间点积法的曲面积分, 能够获得关于复杂几何形体 流形,尤其是不对称、不规则(非闭合)曲面 的解析积分值或任意精度浮点积分值;实现任意曲面积分,实现向量场(电场、磁场、 流体场、引力场等)在任意自由空间区域 (闭合路径、非闭合曲面)的精确积分计算, 确立两种类型积分的逻辑关联关系,实现流形上的旋度公式和工程意义上的流形积分.关键词:微积分学 拓扑学 物理学 Poincare猜想 向量场 自由参数曲面坐标系单连通可定向闭合参数曲面坐标系 复连通可定向闭合参数曲面坐标系 基于参数化空间点

5、积法的曲面积分 流形上的旋度公式 证明 数值模型 和式极限基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联工程意义上流形积分 解析积分值 任意精度浮点数积分值中图分类号：O17/O412.3目录引言1(参见 流形上的散度公式证明 引言1)引言2 证明的前提条件-单连通可定向闭合曲面坐标系的建立 (参见 流形上的散度公式证明 引言2)流形上的旋度公式证明 .2总结 . 6参考书籍.7流形上的旋度公式证明:旋度公式 设光滑或分片光滑的有向曲面S的正向边界L+为光滑或分段光滑的闭合曲线. 如果函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)构成向量场A在有向曲面S上有一阶连续偏导

6、数,则 (1)其中rotA为向量场A的旋度,n为有向曲面S的单位外法向量证明:定义任意单连通、可定向闭合曲面S的参数表达式:a sin(u)cos(v),b sin(u) sin(v),c cos(u) (2)其中a,b,c为非零常数或一阶可导连续函数表达式, 单连通、可定向闭合曲面S决定a,b,c的取值; 设定参数u,v的变化范围0,/n -,0,2,其中n为任意常数,并且n 1;为任意常数或连续函数表达式, 并且/n-,使曲面S非闭合. (参见Poincare猜想:任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚于n维球面)18定义边界曲线L的参数表达式: cos(v), sin(v), (3)

7、其中,为依存于a,b,c的常数(0,0)或一阶可导连续函数表达式; 因为参数v的变化范围为0,2,边界曲线L闭合.(即 cos(v), sin(v), v0,2 构成依存于曲面S的一维单连通闭合流形或若干一维单连通闭合流形的组合)18 向量场A在边界曲线L的环路积分: (4)根据曲面参数表达式(2),定义并计算偏导数矩阵,获取曲面S的切平面法向量:(5)从(5)式分别提取i,j,k项系数,获得曲面S的切平面法向量:, (6) 计算向量场 A 的旋度,并将其从直角坐标形式(7)转变为参数曲面 S坐标形式(8): (7) (8)旋度(8)与曲面S的切平面法向量(6)的空间点积对变量u,v的积分:

8、(9)即(4)式=(9)式:亦可表述为 (1), 证毕环面旋度公式证明和流形上的旋度公式数值模型,参见”附件1 流形上的旋度公式证明和数值模型(分析与说明)”流形上的旋度公式和式极限证明及其数值模型, 参见”附件3 流形上的旋度公式和式极限证明和数值模型分析与说明”总结传统的旋度公式证明逻辑体系, 建立了基于空间直角坐标系投影法 (简称投影法)的曲面积分与空间环路积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法. 但是投影法存在诸多明显的缺陷 (例如计算过程繁琐,不适用于不对称、不规则曲面等),以致于物理、工程领域的许多重要问题 (例如电磁学领域的 Maxwell方程组实例化和流体力学领域的任

9、意不规则控制面积分)的解决途径, 均建立在直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组求解基础上.一个多世纪以来的数学、物理和工程实践已经证明,通过投影法、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组, 难于甚至不能获得关于复杂几何对象 (流形) 的解析解、数值解;传统的流形微积分学, 用外微分形式推导出Green公式, -Gauss公式,Stokes公式,乃至关于n维空间积分的广义Stokes公式20,即但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;建立与具体几何对象(流形)匹配的个性化坐标系(即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系;而

10、不再依赖于已有的少数几个直角坐标系、球面坐标系、柱面坐标系、广义球面坐标系等),证明旋度公式在无穷多个任意参数曲面(流形)坐标系包括单连通可定向闭合曲面坐标系(基于Poincare猜想)和复连通可定向闭合曲面坐标系(环面坐标系)的存在, 使旋度公式超越传统的直角坐标系框架, 建立基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联, 并且在无限丰富、绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证, 确立新型的基于参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型.证明流形上的旋度公式本身不是唯一目的,建立基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联,确立新型的基于

11、参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型是根本目的.本稿件相关的数值模型表明, 通过基于参数化空间点积法的曲面积分, 能够获得关于复杂几何形体 (流形) 尤其是不对称、不规则(非闭合) 曲面的解析积分值或任意精度浮点积分值;实现任意曲面积分、任意空间环路积分,甚至实现积分区间的艺术化;寻找向量场(电场、磁场、流体场、引力场等)在任意自由空间区域(非闭合曲面,闭合路径)的积分计算途径和关联关系,寻找微积分学、拓扑学和工程计算三者的直接衔接点, 实现流形上的旋度公式和工程意义上的流形积分, 实现更广大、更自由的物理、数学探索和工程实践.参考书籍:1基础物理述评教程潘根 科学版 200

12、2.1 (P363-364,P385,P401)2费恩曼物理学讲义(第2卷) The Feynman Lectures on Physics by Richard Feynman, Robert B. Leighton, Matthew L. SandsPearson Education 1989 上海世纪出版股份有限公司/上海科学技术版 2005.6 第1版 2009.10 第6次印刷 (P36-38,P213-229,P230-242,P259-289)3电磁学 高等教育版 2001.1 (P172-175)4电动力学及其计算机辅助教学科学版 2007.8 (P1-47)5场论 原子能版

13、2006.10 (2008.8 重印) (P13-17)6流体力学 冶金工业版 2010.2(P37-39)7应用流体力学 清华大学版 2006.3 (P46)8工程流体力学 人民交通版 2010.1(P88-96)9多维气体动力学基础(第2版)北京航空航天大学版 2008.6 (P15)10数学分析简明教程(下册) 前苏联 . 高等教育版 1956.8 (P650-653)11工程数学: 矢量分析与场论谢树艺 高等教育版 1978.12 第1版 1985.3 第2版 2002.3 第23次印刷 (P53-57,P85,P90-91)12微积分(下册) 同济大学应用数学系 高等教育版 2002

14、.1 (P239-246)13高等数学 多元微积分及其教学软件上海市教委 组编 上海交通大学 同济大学 华东理工大学 上海大学 编 科学版 1999.6 (P403-412) 14工科微积分(下册) 丁晓庆 科学版 2002.9 (P319-321)15高等数学(第六版)(下册) 同济大学数学系 高等教育版 1978.10 第1版 2007.6 第6版 2009.8 第9次印刷 (P175-177,P178-179)16托马斯微积分(第10版) Thomass Calculus(Tenth Edition) 高等教育版 2003.8 (P1137-1145)17微积分 M.R.Spiegel

15、Schaums Outline of Theory and Problems of Advanced CalculusMcGraw-Hill Companies, Inc Copyright 1963, 37thPrinting, 1998 科学版 2002.1 (P192-195) 18庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明A complete proof of the Poincare and geometrization conjectures-Application of the Hamilton-Perelman theory of the RICCI flow . . 朱熹平 曹怀东 A

16、sian J. MathJune 2006, P165-49219流形上的微积分 M.Spivak 人民邮电版 2006.1 (P114-143)20Maple指令参考手册 国防工业版 2002.1Proof of Curl Theorem at ManifoldYangkeChina Chengdu 610017 E-mail: more2010eAbstract:Curl Theorem( i.e. Stokes Theorem) is one of the hard core in modern mathematical and physical system. The logic sy

17、stem of Curl Theorems traditional proof, established formular association between Surface Integral (Based on projective method in 3-Dimensional Cartesian coordinates) and Space Closed Curve Integral, radicated that projective method in 3-dimensional Cartesian coordinates (shortened form as projectiv

18、e method) was primary method of surface integral. But projective method possesses many obvious defects (e.g. complicated and tedious calculating course, be disable to calculate on asymmetrical、irregular surfaces etc.), so that resolvents of many important questions in physics、engineering field (e.g.

19、 instantiation of Maxwells equations in electromagnetism and integral at discretional irregular control surface in hydrodynamics) are built on solving partial differential equations in Cartesian coordinates or other coordinates. For more than a century, countless mathematical、physical and engineerin

20、g practices have proved: Depend on projective method、 partial differential equations in Cartesian coordinates or other coordinates, it is difficult or disable to obtain analytical solution or numerical solution about complicated geometric objects (Manifold) ;Traditional manifold calculus deducts out

21、 Green Theorem、 - Gauss Theorem and Stokes Theorem by exterior differential form, and even generalized Stokes Theorem about n-dimensional space integral 20, viz.But these theorems (deducted by exterior differential form), scantly possess abstract academic meaning, and cant reveal idiographic course

22、of integrals, leave alone idiographic numerical models;In this manuscript, constitute individual coordinates that matches with idiographic geometric object Manifold (Viz. What idiographic geometric shape, what coordinates of idiographic geometric shape; no longer rely on a few existent coordinates:

23、Cartesian coordinates、Spherical coordinates、Cylindrical coordinates and generalized spherical coordinates etc.), by methods of integral and finite sums limits, prove the presence of Curl Theorem in countless free parametrized surface Manifold coordinates Include simply connected orientable closed su

24、rface coordinates (Bases on Poincare conjecture) and multiple connected orientable closed surface (Torus) coordinates, enable Curl Theorem surpass traditional architecture of 3-Dimensional Cartesian coordinates, establish new formular association between surface integral (Bases on parameterized dot

25、product method) and spacial closed curve integral, and realize mutual validation between two types of integral in infinitely plentiful and gorgeous formular numerical model operations, radicate theoretical logic basis and numerical model of new surface integral (Bases on parameterized dot product me

26、thod).Prove Curl Theorem at Manifold itself is not sole purpose, Establish new formular association between surface integral (Bases on parameterized dot product method) and spacial closed curve integral, radicate theoretical logic basis and numerical model of new surface integral (Bases on parameter

27、ized dot product method) is prime purpose.Correlative numerical models of these series manuscripts have indicated, by surface integral (Bases on parameterized dot product method), we can obtain analytic integral value and float integral value in discretional precision about complicated geometric obj

28、ects (Manifold, irregular、asymmetrical、unclosed surface especially). Realize free surface integral, realize exact integral calculation of vector field electric field、magnetic field、hydromechanical field、gravitational field etc. in discretional free space region(closed route、unclosed surface), radica

29、te logic relationship of two integral methods, realize Curl Theorem at Manifold and Manifold Integral in Engineering Meaning.Keywords:Calculus, Topology, Physics, Poincare Conjecture, Vector Field,Free Parametrized Surface Coordinates,Simply Connected Surface Coordinates, Multiple Connected Surface

30、Coordinates,Surface Integral (Bases on Parameterized Dot Product Method),Curl Theorem at Manifold, Proof, Numerical Models, Finite Sums Limits,New Formular Association between Surface Integral (Bases on Parameterized Dot Product Method) and Space Closed Curve Integral,Manifold Integral in Engineering Meaning,Analytic Integral Value, Float Integral Value in Discretional PrecisionCLC number: O17/O412.3