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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流精品推荐北京2013届高三理科试题分类汇编含9区一模及上学期期末试题专题：立体几何.精品文档.北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：立体几何一、选择题 （2013届北京大兴区一模理科）已知平面，直线，下列命题中不正确的是（）A若，则 B若，则C若，则D若，则 （2013届北京海滨一模理科）设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：，使得是直角三角形；，使得是等边三角形；三条直线上存在四点，使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是

2、（）（7题图） ABCD （2013届北京市延庆县一模数学理）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是ABCD （2013届北京西城区一模理科）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为的正方形，该正三棱柱的表面积是（）ABCD （2013届北京西城区一模理科）如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是（）A线段B圆弧C椭圆的一部分D抛物线的一部分 （2013届房山区一模理科数学）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）ABCD主视图1左视图1俯视图1 （2013届门头沟区一模理科）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）

3、ABCD （北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的 来源:Z（）ABCD来源:学|科|网 （北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）平面平面的一个充分条件是（）A存在一条直线B存在一条直线C存在两条平行直线D存在两条异面直线（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是（）ABCD（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理

4、科试题）某四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中，最大的是 ABCD（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是正（主）视图侧（左）视图俯视图（）ABCD（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）ABC1D2（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为ABCD（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知三棱

5、锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为ABC D （【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是（）ABCD（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）ABCD正（主）视图侧（左）视图俯视图223231（北京市房山区20

6、13届高三上学期期末考试数学理试题 ）若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（）AB CD二、填空题（2013届北京丰台区一模理科）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_.（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为_.（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知正方体的棱长为，动点在正方体表面上运动，且（），记点的轨迹的长度为，则_;关于的方程的解的个

7、数可以为_.（填上所有可能的值）.三、解答题（2013届北京大兴区一模理科）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，是等边三角形，D是BC的中点（）求证：A1B/平面ADC1；（）若AB=BB1=2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值（2013届北京丰台区一模理科）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD平面ABCD，NBMD，且NB=1，MD=2；（）求证：AM平面BCN;（）求AN与平面MNC所成角的正弦值；（）E为直线MN上一点，且平面ADE平面MNC，求的值.（2013届北京海滨一模理科）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，点在线段上，且（）求证：；（）求证：平面;

8、（）求二面角的余弦值（2013届北京市延庆县一模数学理） 如图，四棱锥的底面为菱形，侧面是边长为2的正三角形，侧面底面.()设的中点为，求证：平面；（）求斜线与平面所成角的正弦值；（）在侧棱上存在一点，使得二面角的大小为，求的值.（2013届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，/，（）求证：平面；（）求与平面所成角的正弦值；（）线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论（2013届东城区一模理科）如图，已知是直角梯形，且，平面平面， 是的中点（）求证：平面；（）求平面与平面所成锐二面角大小的余弦值（2013届房山区一模理科数学）在四棱锥中，侧面底面， 为直角梯形

9、，/，为的中点（）求证：PA/平面BEF；（）若PC与AB所成角为，求的长；（）在（）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值（2013届门头沟区一模理科）在等腰梯形ABCD中，N是BC的中点将梯形ABCD绕AB旋转，得到梯形（如图）（）求证：平面； （）求证：平面；（）求二面角的余弦值（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 在四棱锥中，底面为矩形，分别为的中点（1）求证：；（2）求证：平面；（3）线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知

10、几何体ABCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（）求此几何体的体积V的大小;（）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得AQBQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由.侧视图俯视图正视图1444（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）ABCDENM如图，在菱形中，是的中点， 平面，且在矩形中，（）求证：；（）求证： / 平面；（）求二面角的大小.（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点E为的中点。（）求证： () 求证：（）在线段A

11、B上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为棱的中点（）求证：/ 平面；（）求证：平面平面； （）求二面角的余弦值（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1底面ABC，AC=BC=2，CC1=4，M是棱CC1上一点（）求证：BCAM；（）若N是AB上一点，且，求证：CN /平面AB1M；（）若，求二面角A-MB1-C的大小（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，在三棱锥P-ABC中，PA=

12、PB=AB=2，,平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点.（）求证：DE平面PBC;（）求证：ABPE；（）求二面角A-PB-E的大小. （北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分14分）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点. （）求证：平面；（）求证：；（）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在长方体中，点在棱上，且（）求证：平面；（）在棱上是否存在点，使平面？ 若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由； （）若二面角的余弦值为，求棱的长（【解析】北京市海淀区201

13、3届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图，在直三棱柱中，是中点.（I）求证：平面；（II）若棱上存在一点，满足，求的长；（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图1，在Rt中，D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2（）求证： 平面；（）若，求与平面所成角的正弦值；（） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值 ABCDE图1图2A1BCDE（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分14分）在长方体中，为中点.（）证明：；（）求与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求

14、的长；若不存在，说明理由.北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：立体几何参考答案一、选择题 C B D C A C C C D 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体上部分是一个圆锥，下部分是个半球，球半径为1，圆锥的高为，所以圆锥的体积为，半球的体积为，所以几何体的总体积为，选A. 【答案】C 解：由三视图可知该四面体为,其中,.所以六条棱中，最大的为或者.,所以，此时。,所以，所以棱长最大的为，选C. 【答案】B【 解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的底面积为，侧面积为，所以表面

15、积为，选B. 【答案】A解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以四个面中面积最大的为，且是边长为为2的正三角形，所以，选A. 【答案】B解：根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥来源:Zxxk.Com其中ABCD是直角梯形，ABAD， AB=AD=2，BC=4，即PA平面ABCD，PA=2。且,，,底面梯形的面积为，,侧面三角形中的高，所以，所以该几何体的总面积为，选B. 【答案】C 解：由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C. 【答案】A解：过做底面于O

16、,连结,则，即为三棱锥的高，设，则由题意知,所以有，即。三角形，所以四面体的体积为，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选A. 【答案】C解：C中，当，所以，或当，所以，所以正确。 【答案】B解：由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选B. D二、填空题 ； 【答案】解：由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，底面梯形的上底为4，下底为5，腰,所以梯形的面积为，梯形的周长为，所以四个侧面积为，所以该几何体的表面积为。 【答案】解：取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知.且.所以

17、，即。 【答案】解：由定义可知当，点P的轨迹是半径为的圆周长，此时点P分别在三个侧面上运动，所以。由正方体可知，当，点在三个面上运动，此时递增，当时，递减，当时，递增，当时，递减，如草图，所以方程的解的个数可能为0,2,3,4个。三、解答题证明：（I）因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是矩形。连结交于O，则O是的中点，又D是BC的中点，所以在中，。因为平面，平面，所以平面。（II）因为是等边三角形，D是BC的中点，所以。以D为原点，建立如图所示空间坐标系。由已知，得：则，设平面的法向量为。由，得到，令，则，所以.又，得。所以设与平面所成角为，则。所以与平面所成角的正弦值为。解：（）ABCD是正方

18、形,BCAD.BC平面AMD,AD平面AMD,BC平面AMD.NBMD,NB平面AMD,MD平面AMD,NB平面AMD.NBBC=B,NB平面BCN, BC平面BCN,平面AMD平面BCN3分AM平面AMD,AM平面BCN4分(也可建立直角坐标系，证明AM垂直平面BCN的法向量，酌情给分)（）平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可选点D为原点，DA,DC,DM所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（如图）5分则，,., 6分设平面MNC的法向量,则，令，则 7分设AN与平面MNC所成角为,. 9分（）设，又，E点的坐标为， 11分面MDC,，欲使平面ADE平面MNC，只要， . 14

19、分证明：(I) 因为是正三角形，是中点，所以,即1分又因为，平面，2分又，所以平面3分又平面，所以4分（）在正三角形中，5分在中，因为为中点，所以，所以，所以6分在等腰直角三角形中，所以，所以8分又平面，平面，所以平面9分（）因为，所以，分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，所以由（）可知，为平面的法向量10分设平面的一个法向量为,则，即，令则平面的一个法向量为12分设二面角的大小为， 则所以二面角余弦值为14分 ()证明：因为侧面是正三角形，的中点为，所以，因为侧面底面，侧面底面，侧面，所以平面. 3分（）连结，设，建立空间直角坐标系， 则，5分,平面的法向量，设斜线与平面所成角的

20、为，则. 8分（）设，则， 10分设平面的法向量为，则，取，得，又平面的法向量12分所以，所以，解得（舍去）或.所以，此时. 14分 （）证明：因为，在中，由余弦定理可得 ，所以 2分又因为 ， 所以平面 4分（）解：因为平面，所以因为，所以平面 5分所以两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系 6分在等腰梯形中，可得 设，所以所以 ，设平面的法向量为，则有所以 取，得 8分设与平面所成的角为，则 ，所以 与平面所成角的正弦值为 9分（）解：线段上不存在点，使平面平面证明如下： 10分假设线段上存在点，设 ，所以 设平面的法向量为，则有 所以 取 ，得 12分要使平面平面，只需， 13分即 ，

21、此方程无解所以线段上不存在点，使平面平面 14分证明（）取的中点，连结， 因为是的中点，所以， 因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形 所以因为平面，平面，所以平面 （）因为，平面平面，所以以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则轴在平面内由已知可得，所以， 设平面的法向量为由所以取，所以 又因为平面的一个法向量为所以 即平面与平面所成锐二面角大小的余弦值为 （）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO / , 为中点 AE/BC，且AE=BC 四边形ABCE为平行四边形 O为AC中点 .1分又 F为AD中点 / .2分 .3分 /平面 .4分（）解法一：.6分易

22、知 BCDE为正方形建立如图空间直角坐标系，（）则，.8分解得： .9分解法二：由BCDE为正方形可得 由ABCE为平行四边形 可得 /为 即.5分 .7分 .8分 .9分（）为的中点，所以 ，设是平面BEF的法向量则 取，则，得 .11分是平面ABE的法向量 .12分 .13分由图可知二面角的平面角是钝角， 所以二面角的余弦值为.14分 （）证明：因为，N是BC的中点所以，又所以四边形是平行四边形，所以又因为等腰梯形，xzy所以 ，所以四边形是菱形，所以所以，即由已知可知 平面平面，因为 平面平面所以平面 4分（）证明：因为， 所以平面平面又因为平面，所以 平面 8分（）因为平面同理平面，建

23、立如图如示坐标系设， 则, ， 9分则，设平面的法向量为，有 ，得 11分因为平面，所以平面平面又，平面平面所以平面与交于点O，O则为AN的中点，O所以平面的法向量 12分所以 13分由图形可知二面角为钝角所以二面角的余弦值为14分 （1）证明：底面为矩形 4分（2）证明：取，连接 是平行四边形，/ 8分(3) ，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，假设在线段上存在一点，使得平面平面，设，设平面的法向量为令 设平面的法向量为 令 ，解得 线段上存在点，且当时，使得平面平面. 13分解：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，即该几何体的体积V

24、为-4分（2）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）异面直线DE与AB所成的角的余弦值为-4分（3） 点Q在棱DE上，存在使得同理,即，满足题设的点Q存在，DQ的长为1 -14分解：（）连结，则.由已知平面，因为FABCDENMyxz，所以平面.2分又因为平面，所以.4分（）与交于，连结.由已知可得四边形是平行四边形，所以是的中点.因为是的中点，所以.7分又平面，平面，所以平面. 9分（）由于四边形是菱形，是的中点，可得.如图建立空间直角坐标系，则，, ，.10分设平面的法向量为.则 所以

25、令.所以.12分又平面的法向量，所以.所以二面角的大小是60. 14分 （） , 点E为的中点,连接。的中位线 / 2分又 4分（II） 正方形中, 由已知可得：， .6分, .7分 .8分（）由题意可得：,以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，9分 设 10分设平面的法向量为则 得 11分取是平面的一个法向量，而平面的一个法向量为 12分要使二面角的大小为 而 解得：当=时，二面角的大小为 13分 （）证明：连接与相交于点，连结因为四边形为正方形，所以为中点因为 为棱中点 所以 3分因为 平面，平面， 所以直线/平面 4分 （）证明

26、：因为平面，所以 5分因为四边形为正方形，所以， 所以平面 7分 所以平面平面 8分 （）解法一：在平面内过作直线因为平面平面，所以平面由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 9分设，则 所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得 11分 易知平面的法向量为 12分 所以 13分由图可知二面角的平面角是钝角， 所以二面角的余弦值为 14分解法二：取中点，中点，连结，因为为正方形，所以由（）可得平面因为，所以由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 9分设，则 所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得 11分 易知平面的法向量为 12分 所以 13分由图可知二面角的平面角是钝角， 所以二

27、面角的余弦值为 14分证明：（）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1平面ABC，所以 CC1BC 1分因为AC=BC=2， 所以由勾股定理的逆定理知BCAC 2分又因为ACCC1=C，所以BC平面ACC1A1 3分因为AM平面ACC1A1，所以BCAM 4分 （）过N作NPBB1交AB1于P，连结MP ，则NPCC1，且 5分于是有 由已知，有因为BB1=CC1所以NP=CM所以四边形MCNP是平行四边形 6分所以CN/MP 7分因为CN平面AB1M，MP平面AB1M， 8分所以CN /平面AB1 M 9分（）因为 BCAC，且CC1平面ABC，所以 以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴

28、，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz10分因为 ，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)， 11分设平面的法向量，则，即 令，则，即 12分又平面MB1C的一个法向量是， 所以 13分由图可知二面角A-MB1-C为锐角，所以 二面角A-MB1-C的大小为 14分解：（） D、E分别为AB、AC中点，_E_D_B_C_A_P DE/BC DE平面PBC，BC平面PBC，DE/平面PBC 4分（）连结PD，PA=PB， PD AB .5分，BC AB， DE AB . .6分又 ，AB平面PDE.8分PE平面PDE，ABPE .9分（）平面PAB平面ABC，平面PAB平面A

29、BC=AB，PD AB， PD平面ABC.10分如图,以D为原点建立空间直角坐标系_E_D_B_C_A_Pzyx B(1,0,0)，P(0,0,)，E(0,0) ,=(1,0, )，=(0, , ） 设平面PBE的法向量，令得 .11分DE平面PAB，平面PAB的法向量为.12分设二面角的大小为，由图知，来源:学&科&网Z&X&X&K所以即二面角的大小为 .14分解：（I）连接. 由是正方形可知,点为中点. 又为的中点，所以.2分又 所以平面.4分(II) 证明：由所以由是正方形可知, 又所以.8分 又所以.9分(III)解法一：在线段上存在点，使. 理由如下：如图，取中点，连接.在四棱锥中，

30、所以.11分由（II）可知，而所以，因为所以. 13分故在线段上存在点，使.由为中点，得 14分来源:学科网ZXXK解法二：由且底面是正方形，如图，建立空间直角坐标系由已知设，则设为线段上一点，且，则.12分由题意，若线段上存在点，使，则，.所以，故在线段上存在点，使，且 14分 证明：（）在长方体中，因为面， 所以 2分在矩形中，因为，所以 所以面 4分（）A1B1CBD1C1ADxyEz如图，在长方体 中，以为原点建立空间直角坐标系依题意可知， 设的长为，则，假设在棱上存在点，使得平面设点，则，易知设平面的一个法向量为，则，即7分令得，所以因为平面，等价于且平面得，所以所以，所以的长为9分（）因为，且点，所以平面、平面与面是同一个平面由（）可知，面，所以是平面的一个法向量 11分由（）可知，平面的一个法向量为因为二面角的余弦值为，所以，解得故的长为 14分 (I) 连接交于点，连接因为为正方形，所以为中点，又为中点，所以为的中位线，所以 2分又平面，平面所以平面 4分（）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系所以设，所以，因为，所以 ，解得，所以 8分（）因为，设平面的法向量为，则有，得，令则，所以可以取， 10分因为平面,取平面的法向量为 11分所以 13分来源:Zxxk.Com平面与平面所成锐二面角的余弦值为