线性代数矩阵.ppt

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1、华南农业大学数学系,线性代数,多媒体教学教程,前言,线性代数是中学代数的延续。线性代数理论是由研究有多个未知量的一次线性方程组的问题发展起来的。为了研究方程的个数等于未知量个数的线性方程组，引进了行列式理论。为了研究方程的个数不等于未知量个数的线性方程组，又引进了矩阵理论。随着线性代数自身的不断发展，尤其是计算机科学的飞速发展，使得线性化的问题越来越突出，代数学的内容正在经历一次又一次的变革，而且在科学技术和科学研究方面将起到更加重要的作用。,第一章 线性代数矩阵,1 矩阵及其运算,3 行列式,2 初等变换与初等矩阵,4 行列式和逆矩阵的应用,1.1 矩阵及其运算,1.1.1 线性方程组和矩阵

2、,1.1.2 矩阵的基本运算及性质 (重点),1.1.4 逆矩阵 （难点）,1.1.3 分块矩阵及其运算,定义1.1,称为m行n列矩阵，简称,其中诸,叫做该矩阵的元素，矩阵可以简记,矩阵,1.1 矩阵及其运算,元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记为O,矩阵的行数和列数相等，称之为方阵。把n行n列矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵，简称n阶阵,单位矩阵,对角矩阵,上三角形矩阵,下三角形矩阵,行矩阵,列矩阵,定义1.2,求,1.1.2 矩阵的基本运算及性质,定义1.3,那么矩阵A与矩阵B的和记作A+B,规定为,对应元素相加,两个矩阵行数相等，列数也相等时，就称它们是同型矩阵,一 矩阵的加减法,矩阵的加法满足下列

3、运算规律,(i)A+B=B+A (交换律）,(ii) (A+B)+C=A+(B+C) (结合律）,(iii) A+O=O+A=A,-A称为矩阵A的负矩阵，显然有,A+(-A)=(-A)+A=O,矩阵的减法：A-B=A+(-B),对应元素相减,定义1.4,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,二 矩阵的数乘运算,例,定义1.5,并记作,三 矩阵的乘法,矩阵乘法的法则：乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素,等于前矩阵A的第i行的各元素与后矩阵B的第j列中顺次对应的各个元素的乘积之和。,例：矩阵乘法,2.,1.,线性方程组及其矩阵表示,m个方程，n个未知数,线性方程组(system of l

4、inear equations)的一般形式为,当常数项 全为零时，式（1.1）称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。,第i个方程中未知量 的系数，第i个方程的常数项。,m个方程，n个未知数,线性方程组(system of linear equations)的一般形式为,系数矩阵,增广矩阵,为方便存储和计算，我们来研究下面的数表,由此定义可见，如果记则线性方程组（1.1）可以通过矩阵的乘法表示成矩阵方程：,事实上，矩阵不仅能用于描述线性方程组，在工业、农业、经济等许多领域都有着广泛的应用，比如,设两个商店销售三种电视机的数量由矩阵A表示,三星,康佳,创维,百佳,华润,三种电视机的零售单

5、价由矩阵B表示,三星,康佳,创维,例：矩阵乘法的其它应用之一,则两个商店获得的毛利润为,百佳,华润,矩阵A表示两车间生产三种产品的数量,矩阵B表示三种产品的单位产品消耗两种原料的数量,车间一,车间二,面包,蛋糕,饼干,面包,蛋糕,饼干,糖,面粉,例：矩阵乘法的其它应用之二,则各车间消耗的原料为,一,二,糖,面粉,矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律,(1),(2),(3),(4),与数的乘法相比，矩阵乘法具有以下特点：,乘积AB中A的列数必须与B的行数相同，否则无意义；,2. 矩阵的乘法一般不可交换，即一般情况下，ABBA；,AB有意义时，BA不一定有意义,如果AB、BA都有意

6、义，是否有AB=BA?,例,设,求AB,矩阵与矩阵相乘不满足交换律，AB有意义，但BA不一定有意义,例,设,AB,求AB和BA,BA,AB和BA都意义，但不同型,32,(,),例,求AB和BA,AB,BA,(1)AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等 (2)两个非零矩阵相乘可能是零矩阵,即不满足消去率,所以，对于任意两矩阵A、B，AB不一定等于BA！,AB与BA都有意义，且同型，AB与BA相等,只有同阶方阵才有可能满足AB=BA!如果同阶方阵A和B满足AB=BA,则称A与B可交换。,两个非零矩阵相乘有可能变为零矩阵。因而，由AB0不能推出A0或B0；同样的道理，由ABAC且A0，并不能

7、推出BC。,上例中我们看到,而两个因子矩阵均不为零。从而可知,矩阵的加减法、数乘、乘法运算统称为矩阵代数运算。,定义1.6 把矩阵A的各行变成同序数的列得到一个新的矩阵，称之为A的转置(transpose)，记作,转置矩阵,行列对调,例如：,运算律：,计算,解法1,则,解法2,1.1.2 分块矩阵,设矩阵A与B的行数相同，列数相同，采用相同的分块法,有,其中 与 的行数相同，列数相同，那么,设,为数，那么,其中,求:AB,详细过程见教材P8-9。,定义,设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都是零距阵，且非零子块都是方阵，即,其中,都是方阵，称A为分块对角矩阵,1.

8、1.3 逆矩阵,AB,BA,称B为A的逆矩阵,定义1.7,设A为n阶方阵，,AB=BA=I,就称为A可逆矩阵，,如果存在n阶方阵B，使得,并称B为A的逆矩阵（简称逆),定理1.1,如果A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一,证明,设B和C都是A的逆矩阵，,则AB=BA=I, AC=CA=I,B =BI=B(AC) =(BA)C=IC =C,记作,性质1.1,如果矩阵A可逆，且AB=I ，则BA=I,证明,BA=I（BA）,同理可以证明：若A可逆，且BA=I，则AB=I.,启示: 如果已知一个矩阵可逆,则可以通过直接验证法说明B是A的逆矩阵。,性质1.2,(1)如果A是可逆矩阵，则A的逆矩阵也可逆，且,性质1.3,如果A和B为同阶可逆矩阵，则AB可逆，且,证明,故AB可逆，且,推广: 若n阶方阵Ai(i=1,，l)都可逆，则,逆矩阵的应用,记,方程组的矩阵形式,