2.3 求解线性方程组.ppt

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1、线性方程组的求解,线性方程组的一般形式,（1）,记,则有矩阵形式,（1）,则方程组有向量形式,线性方程组的向量形式,记,线性方程组的一般形式,（1）,当 时，称方程组（1）为齐次线性方程组；当 ，称方程组（1）为非齐次线性方程组。,齐次线性方程组的解的性质,解向量：方程组的解构成向量 称为解向量。,结论：齐次线性方程组的解的任意线性组合还是该方程组的解。,1、如果 是齐次线性方程组的解，则 也是 方程组的解。,2、如果 是齐次线性方程组的解，则 也是方程组的解。,基础解系的概念,如果齐次线性方程组 的解向量组 线性无关，方程组的任意解可由该向量组线性表示，则该组解向量称为方程组的一个基础解系。

2、,注：基础解系是不惟一的。,齐次线性方程组的解的结构,定理 如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩 ，则齐次线性方程组有基础解系，基础解系中含有 个解向量。,证明：见书 P46.,例 求解齐次线性方程组，用基础解系表示通解。,解 将系数矩阵A作行初等变换,方程组的一般解为,所以,（其中 为自由未知量）,依次令,得 即为方程组的基础解系,方程组的一般解为,所以原方程组的解为,改写为向量形式，得,其中 即为基础解系,方程组的一般解为,解法2,非齐次线性方程组的解的性质,非齐次线性方程组,对应的齐次线性方程组,如果 是（1）的解，则 是（2）的解。,如果 是（1）的解， 是（2）的解，则 是（1）的解。,

3、证明,证明,非齐次线性方程组的解的结构定理,如果 是非齐次线性方程组的特解， 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，则非齐次线性方程组的通解可表示为 。,例 设三元非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵A的秩为 2，且它的三个解向量 满足 ，求AX=b的通解。,解,由题设知：方程组AX=0的基础解系中只含有一个解向量,即为一基础解系,即为一特解,所以原方程组的通解为,非齐次线性方程组有解的充要条件,非齐次线性方程组AX=b有解,向量b可由矩阵A的列向量组 线性表示,向量组 与向量组 等价,其中 ，称为增广矩阵,定理 线性方程组AX=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即 。 当

4、时，方程组有惟一解； 当 时，方程组有无穷多解； 当 时，方程组无解。,例 求解线性方程组,解 将增广矩阵作行初等变换,所以,方程组有无穷多解,一般解为,（其中Z为自由未知量）,令Z=K，将一般解改写为向量形式，得,其中 为基础解系,例 求解线性方程组，当 K 为何值时，方程组有（1）唯一解？（2）无解？（3）无穷多解？并用基础解系表示通解。,解 方程组的系数行列式为,（1）当 且 时，方程组有唯一解。,（2）当 时，增广矩阵为,此时，方程组无解。,（3）当 时，增广矩阵为,此时方程组有无穷多解，一般解为,（ 为自由未知量）,即,为基础解系,课堂练习,为何值时，方程组有唯一解？有无穷多解？无解？有无穷多解时，求解方程组。,解,方程组的系数行列式为,（1）当 且 时，方程组有唯一解,（2）当 时，方程组的增广矩阵为,方程组无解,解,（3）当 时，方程组的增广矩阵为,方程组无解,作业,