详解版苏州市初三数学复习专题研究综述.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流详解版2014年苏州市初三数学复习专题研究综述.精品文档.2014年苏州市初三数学复习专题研究综述严君华 张家港市护漕港中学【复习目标】1.在经历系统梳理数学知识、形成基本的知识体系和基本的数学技能的第一轮复习后，通过第二轮复习，对数学中的重点、难点、热点问题进行专题性的思考和总结，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，优化解题策略，提高思维品质；2.使学生进一步体会初中阶段的重要数学思想：数形结合思想、分类讨论思想、特殊与一般思想、转化思想、类比思想、数学建模思想(方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型等)【课时分布】专题复习在第二轮复

2、习时大约需要13个课时，下表为内容及课时安排(仅供参考)：课时数内 容2开放性问题2操作型问题2动态型问题2阅读理解型问题1数学建模思想1数形结合思想2分类讨论思想1特殊与一般思想第二轮复习基本要控制在五月中旬完成，各地区、各学校的老师可以根据各自班级的实际情况作相应的调整【复习方法】事实上，上述所列的专题和常用的数学思想贯穿于整个初中数学教学中，在第一轮复习中也经常性地、零散地有所体现而第二轮复习的目的是通过分门别类地对数学中的热点问题进行专题性的思考和总结，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，优化解题方法，提高思维品质并使学生进一步感悟常用的数学思想，如数形结合思想、分类讨论思想、特殊

3、与一般思想、转化思想、数学建模思想等等所以专题性研究对所有迎战中考的学生来说是必要的，教师要教给学生思考问题的方法和策略，把握各类专题的关键一、科学定位，分类指导，多角度把握专题的关键1 发散思维，开放探索性问题所谓开放探索性问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少部分解题要素，或者条件、结论有待探求、补充等在解决开放探索问题的时候，需要经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答这类试题已成为近年中考的热点，重在考查学生的分析能力、探索能力、创新意识以及思维的发散性根据其特征大致可分为四类：(1)条件开放型.这类问题是

4、指所给问题中结论明确，需要完备条件的一类题解这类题的一般思路是：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析；(2)结论开放型.是指题目中结论不确定，不唯一解这类题的一般思路是：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)综合开放型.这类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性；(4)存在探索型.是指在一定的前提下，需探索发现某种数

5、学关系是否存在的题目解这类题的一般思路：假设结论存在，由此出发，结合已知条件进行推理论证，得到某个结果，若合理，则假设成立，可得问题的答案；否则假设不成立，所探索的结论不存在例1 一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h.请你根据以上信息,就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题,并写出解答过程.【分析】解决该问题的关键是从这句“就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题”入手，所以思路就从“路程”或

6、“时间”开始思路一 问题：普通公路和高速公路各多少千米？解：设普通公路x千米，高速公路y千米.根据题意得 解得答：普通公路长60千米，高速公路长120千米.思路二 问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶多少小时？解：设汽车在普通公路上行驶了x小时，在高速公路行驶了y小时.根据题意得 解得答：汽车在普通公路上行驶了1小时，在高速公路行驶了1.2小时.【说明】本题是开放性问题颇具新意的一例，但这个开放又是有限制的，而这些限制往往就是解决问题的突破口,这句“就该汽车行驶的“路程”或“时间”为我们解决问题指明了方向，这句“提出一个用二元一次方程组解决的问题” 为我们提供了解决问题的方法.如果将题目中的

7、“用二元一次方程组”改成“用一元一次方程(组)”则更能体现其开放性，思维的空间也会更大.思路一 问题：普通公路和高速公路各多少千米？解：设普通公路长x千米，则高速公路长2x千米.根据题意得.解得x=60，所以2x=120.答：普通公路长60千米，高速公路长120千米.思路二 问题：A、B两地的路程是多少千米？解：设A、B两地的路程是x千米.根据题意得.解得x=180.答：A、B两地的路程是180千米.思路三 问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶多少小时？解：设汽车在普通公路行驶x小时,则在高速公路上行驶(2.2x)小时.根据题意得260x=100(2.2x).解得：x=1，所以2.2x=1.

8、2.答：汽车在普通公路上行驶了1小时，在高速公路行驶了1.2小时.2 重视实践，解决操作型问题操作型问题是指通过动手操作、作图、计算等、对某种现象获得感性认识，再利用数学知识进行思考、探索、归纳概括、验证等来解决的一类问题它既考查学生的动手能力、空间想象能力、分析和解决问题的能力，更能培养学生的实践能力及创新能力，也有助于培养学生勤于实践的意识和习惯，符合新课程的“做中学”的新理念操作型问题常见的有：(1)折叠剪拼类操作，图形折叠问题，就是通过图形的折叠来研究它的相关结论；图形剪拼问题，就是将已知的图形分成若干个图形重新拼合成符合条件的新图形；(2)图形变换类操作，此类操作题常与轴对称、平移、

9、旋转、相(位)似等变换有关，掌握图形变换的性质是解这类题的关键；(3)方案设计类操作，此类题是近几年来中考出现的新题型，它融计算、设计、作图于一体，独特新颖，是中考的热点之一，主要考查观察能力、图形的组合能力、设计能力等例2 问题探究:(1)请在图中作出两条直线，使它们将圆面积四等分；(2)如图，M是正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)，使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.问题解决:(3)如图，在四边形ABCD中，ABCD，AB+CD=BC，点P是AD的中点.如果AB=a，CD=b，且ba，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形A

10、BCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.【分析】(1)问比较简单，圆内两条互相垂直的直径即达到目的；(2)问中联想平行四边形过对角线的交点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分，而在正方形中就更特殊，常见的是将正方形重叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查；(3)问中可以考虑构造(1)(2)中出现的特殊四边形来解决，或用中点的性质来解决.【解】(1)如图所示.OPQEF图(2)如图，连接AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点，则直线PQ、EF将正方形ABCD的面积四等分.图理由如下：点O是

11、正方形ABCD对角线的交点，OA=OB，OAP=OBE=45.PQEF，ACBD，AOP+AOE=90，BOE+AOE=90.AOP =BOE.POAEOB(ASA).SPOA= SEOB.即S四边形APOE= SPOA+ SEOA= SEOB+ SEOA= SAOB=S正方形ABCD.同理S四边形BEOQ=S四边形CQOF=S四边形DFOP=S正方形ABCD.直线PQ、EF将正方形ABCD的面积四等分.(3)存在.当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD面积二等分.理由如下：如图，延长BA到E，使AE=b，延长CD到点F，使DF=a，连接EF.BE=a+b=CF，BECF.四边形BCFE是平

12、行四边形.QEFM图BE =a+b=BC，四边形BCFE是菱形.连接BF交AD于点M，则MABMDF.AM=DM，即点P、M重合.点P是菱形BCFE对角线的交点.在BC上截取BQ=CD=b，则CQ=AB=a,设点P到菱形BCFE一边的距离为d，SABP+SQBP =(AB+BQ)d=(CQ+CD) d= SCQP+S CDP.即：S四边形ABQP=S四边形CDPQ.所以当BQ =b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.或者：如图，连接BP并延长交CD的延长线于点F，连接CP.QF图ABCD， ABP=F.APB=DPF,AP=DP，ABPDFP.AB=DF.PB=PF，即CP是B

13、CF的中线，SBCP= SFCP.AB+CD=BC，DF+CD=BC，即CB=CF.CBF=F.ABP=CBF，即PB平分ABC.点P到AB、CB的距离相等.BC =a+b，BQ=b，CQ=AB=a.SABP= SCPQ.S四边形ABQP=S四边形CDPQ.所以，当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.【说明】这是一道集操作、探索于一体的试题，从特殊图形到一般的过渡，从特殊中发现关系到一般知识迁徙的过程，考查学生的图形分析能力、动手操作能力，问题转化能力及知识的迁徙能力.3以静制动，解决动态型问题动态型问题是以各种几何图形为载体，用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题这

14、类题的特点是：图形中的某些元素(如点、线段、角等)或整个图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中相互依存，相互制约解题时，要对几何元素的运动的全过程有一个清晰、完整的认识，不管点动、线动还是形动，都要从特殊情形入手，过渡到一般情形，注意临界位置，变中求不变，动中求静，以静制动，化动为静解答这类题常常根据需要建立函数、不等式、方程等模型，考查学生的分类讨论、转化、数形结合、函数与方程等思想方法.例3 如图，在梯形ABCD中，ABDC，B=90，且AB=10，BC=6，CD=2点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EFAD交边AB于点F将BEF沿EF所在的直线折叠得到GEF，直线FG、E

15、G分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动设BE=x，GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y(1)证明AMF是等腰三角形；(2)当EG过点D时(如图(3)，求x的值；CABCDMGEFAFBCEDGMNABD(N)FEMG图（1）图（2）图（3）(3)将y表示成x的函数，并求y的最大值【分析】(1)由条件EFAD就可以得出A=EFB，GFE=AMF，由GFE与BFE关于EF对称可以得出GFE=BFE，就可以得出A=AMF，从而得出结论；(2)当EG过点D时在RtEDC中由勾股定理建立方程求出其解即可；(3)分情况讨论当点G不在梯形外时和点G在梯形之外两种情况求出x的值就可以求出y

16、与x之间的函数关系式，在自变量的取值范围内就可以求出相应的最大值，从而求出结论；【解】(1)证明：如图1，EFAD，A=EFB，GFE=AMFGFE与BFE关于EF对称，GFEBFE.GFE=BFE.A=AMF.AMF是等腰三角形.(2)解：如图1，作DQAB于点Q，AQD=DQB=90.ABDC，CDQ=90B=90，四边形CDQB是矩形CD=QB=2，QD=CB=6AQ=102=8在RtADQ中，得：AD=10，tanA=，tanEFB=.如图3，EB=x，FB=x，CE=6x，AF=MF=10x.GM=.GD=2x.DE=x.在RtCED中，得：(x)2(6x)2=4.解得：x=.当EG

17、过点D时x=；(3)解：当点G在梯形ABCD内部或边AD上时，y=xx=x2.当点G在边AD上时，易求得x=，此时0x.则当x=时，y最大值为当点G在梯形ABCD外时，GMNGFE，即由(2)知，x.y2x2+20x=2(x5)2+(x)，当x=5时，y最大值为.由于，故当x=5时，y最大值为.CABCDMGEFAFBCEDGMNABD(N)FEMG图（1）图（2）图（3）Q【说明】本题虽然只有一个动点(E)，但在运动过程中同时带动了线动(EF)及形动(EFG)，所以动态问题中的点动、线动、形动往往不是孤立的，很多时候都是相互关联的，随着运动状态的变化，往往会出现不同的情况，这类题突出了数形结

18、合、分类讨论等数学思想.本题考查了等腰三角形的判定及性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的性质的运用，轴对称的性质的运用，函数的解析式的性质的运用，分段函数的运用，三角函数值的运用，解答时求分段函数的解析式是难点.4.注重理解，解决阅读型问题阅读理解题是近几年出现的一种新题型，考查学生的阅读理解能力、自主探索能力，同时考查学生的数学意识和数学应用能力，这类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律阅读理解题一般是提供一定的材料，或介绍一个概念，或给出一种解法等，在阅读材料、理解材料的基础上，获得探索解决问题的思想、方法、途径，进而解决后面的问题.解决阅读理解问题的基本思路

19、是“阅读分析理解解决问题”，在这一过程中，阅读是基础，分析、理解是关键，解决问题是目的。例4 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了以下探索：设(其中a、b、m、n均为整数)，则有 a=m2+2n2，b=2mn这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + =( +)2；(3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值.【分析】(1)根据完全平方公式

20、运算法则，即可得出a、b的表达式；(2)首先确定好m、n的正整数值，然后根据(1)的结论即可求出a、b的值；(3)根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值解：(1)，a=m2+3n2，b=2mn故答案为m2+3n2，2mn(2)设m=1，n=1，a=m2+3n2=4，b=2mn=2故答案为4、2、1、1(3)由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn.4=2mn，且m、n为正整数，m=2，n=1或者m=1，n=2.a=22+312=7，或a=12+322=13【说明】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练运算完全平方公式

21、和二次根式的运算法则解题的关键在于通过对材料的阅读，找到解决问题的方法5重视建模，应对应用性问题应用性问题是指有实际背景或现实意义的数学问题，它贴近生活实际，具有时代气息和教育价值应用性问题呈现的方式多样，往往将文字语言、图形、表格、图像融为一体主要考查学生的数学建模思想和应用数学的意识和能力解决应用性问题的关键是把实际问题转化为数学问题，构建合适的数学模型，常用的数学模型有方程(组)、不等式(组)、函数、统计、几何图形等例5 “绿色出行，低碳健身“已成为广大市民的共识某旅游景点新增了一个公共自行车停车场，6：00至18：00市民可在此借用自行车，也可将在各停车场借用的自行车还于此地林华同学统

22、计了周六该停车场各时段的借、还自行车数，以及停车场整点时刻的自行车总数(称为存量)情况，表格中x=1时的y值表示7：00时的存量，x=2时的y值表示8：00时的存量依此类推，他发现存量y(辆)与x(x为整数)满足如图所示的一个二次函数关系时段还车数(辆)借车数(辆)存量y(辆)6：007：004551007：008：004311n根据所给图表信息，解决下列问题：(1)m=，解释m的实际意义： ；(2)求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；(3)已知9：0010：00这个时段的还车数比借车数的3倍少4，求此时段的借车数【分析】(1)根据题意m+455=100，说明6点之前的存量为

23、60；(2)先求出n的值，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式；(3)设9：0010：00这个时段的借车数为x辆，则还车数为(3x4)辆，把x=3代入y=4x2+44x+60得到8：009：00的存量为156；把x=4代入y=4x2+44x+60得到9：0010：00的存量为172，所以156x+(3x4)=172，然后解方程即可【解】(1) m+455=100，解得m=60，即6点之前的存量为60m表示该停车场当日6：00时的自行车数；(2) n=100+4311=132，设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把(1，100)，(2，132)、(0，60)代入得：，解得.所以二次函数的

24、解析式为y=4x2+44x+60(x为112的整数)；(3) 设9：0010：O0这个时段的借车数为x辆，则还车数为(3x4)辆，把x=3代入y=4x2+44x+60得y=432+443+60=156，把x=4代入y=4x2+44x+60得y=442+444+60=172，即此时段的存量为172.所以156x+(3x4)=172，解得x=10.答：此时段借出自行车10辆【说明】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题中的数量关系找出三对对应值，再利用待定系数法确定二次函数的解析式，然后运用二次函数的性质解决问题.解决本题的关键是审清题意，抓住题中的等量关系，建立方程模型，本题对学生的阅读理解能力

25、、数学思维品质有比较高的要求从实际问题情境中构建数学模型的能力已成为中考的重中之重如果实际问题中呈现不等关系，常建立不等式(组)模型；如果问题刻画的是变化过程中变量之间关系，那就要用函数模型6渗透思想，挑战选拔性问题数学思想是数学的精髓，感悟思想方法，可以以不变应万变类比思想是解决类似问题的捷径，如全等形和相似形、数和式、方程和不等式的类比等等；方程思想是利用已知量与未知量之间的等量关系，通过建立方程把未知量转化为已知量；若知道一个变化过程中的两个变量之间的变化关系，则要用函数的思想；数形结合思想是沟通代数与几何的桥梁；分类讨论思想可以体现在许多问题中，它是中考的热点和难点ABCDQPABCD

26、PQABCDEPQ图（1）图（2）图（3）例6 已知梯形ABCD，ADBC，ABBC，AD=1，AB=2，BC=3.问题1：如图(1)，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？问题2：如图(2)，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由；问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DEPD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题4：如图(3)，若

27、P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.【分析】问题1：若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，设PB=x，可得x2+32+(2x)2+1=8，此方程无实数根，所以对角线PQ，DC的长不可能相等本题也可以证ADPBPC，然后利用对应边成比例得方程.问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QHBC，交BC的延长线于H，易证RtADPRtHCQ，即可求得BH4，则可得当PQAB时，PQ的长最小，

28、即为4问题3：设PQ与DC相交于点G，PECQ，PD=DE，可得，易证RtADPRtHCQ，继而求得BH的长，即可求得答案问题4：作QHCD，交CB的延长线于H，过点C作CKCD，交QH的延长线于K，易证与ADPBHQ，又由DCB=45，可得CKH是等腰直角三角形，继而可求得CK的值，即可求得答案【解】问题1：对角线PQ，DC的长不可能相等(略).ABCDPQHG图2问题2：存在理由如下：如右图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，则G是DC的中点过点Q作QHBC，交BC的延长线于H可证RtADPRtHCQ(AAS)ADHCAD=1，BC=3，BH=4，当PQAB时，PQ的

29、长最小，即为4问题3：存在理由如下：如右图3，设PQ与DC相交于点G，PECQ，PDDE，.图3ABCDEPQGHG是DC上一定点作QHBC，交BC的延长线于H，可证RtADPRtHCQ.AD=1，CH=2BH=BC+CH=3+2=5.当PQAB时，PQ的长最小，即为5问题4：如右图4，设PQ与AB相交于点G，图4KABCDEPQMGHPEBQ，AEnPA，G是AB上一定点作QHDC，交CB的延长线于H，过点C作CKCD，交QH的延长线于K可证ADPBHQ，AD1， BHn1CH=BHBC=3n1=n4过点D作DMBC于M，则四边形ABMD是矩形.BM=AD=1，DM=AB=2.CM=BCBM

30、=DM=2.当PQCD时，PQ的长最小，最小值为：.【说明】本题是一个动态几何题，考查的知识点比较多，综合运用了反证思想、相似三角形、一元二次方程、全等三角形、勾股定理、平行四边形、矩形、等腰直角三角形的相关知识也主要考查学生的图感，利用点P的运动变化，确定PQ的最小值时，需要同学们利用全等三角形和相似三角形的性质确定PQ的最小值是否存在本题的亮点是由三角形全等到三角形相似而引出一般情况，很好地融合了数形结合、特殊到一般、类比、转化等数学思想方法.二、因地制宜，创新思路，多渠道提高复习的效益1.例题教学，重方法的总结对于第二轮的专题复习，课堂上仍需把握好典型例题的价值例题的处理，除了先练后讲、

31、讲在关键点之外，还要注重例题的价值分析，即对例题解法的提炼、策略的引导、思想的感悟，要强调方法的重要性，要给予学生多归纳、多总结、多反思的时间和空间，使学生形成特定的解题策略和方法只有不断总结，并适时适度进行一题多解、一题多变的训练，才能举一反三，融会贯通.2.巩固练习，重典题的选择无论是课内的还是课外的巩固性练习，教师一定要选好题，可以利用经典问题改编成一些难度适中的练习题练习的布置要有针对性、层次性，要照顾到各层次的学生，不仅要考虑学习困难生的收获，更要让优等生发展得更好，题目跨度不妨适当增大一点，从而使问题更具有挑战性同时可以采用多样的问题呈现方式，因为活泼多样的题型更有利于激发学生的探

32、究欲望.3.习题讲评，重思路的点拨在第二轮复习时，课堂教学模式主要是讲练结合型，而讲评要注重讲关键处，讲疑难点，切忌泛泛而谈，面面俱到讲评时还是要重视引导学生自我发现、自我总结、自我反思老师的讲解重心放在教学生如何审题、分析和思路的点拨上，而不是停留在就题论题教学生怎么做的层面.4.情感教育，重非智力因素中考是学生面临的第一次考验，各层次的学生都会有点紧张情绪而基础教育要面向全体学生，老师不仅要注重对尖子生的培养，力求使他们解题完美，还要注重对学困生的关注和个别辅导，使他们掌握必备的数学知识，更要关注大量的中等学生的发展教师在关注学生学习的同时，更需要花点时间、投点感情和学生多接触、多了解学生的心理状况，以便为他们进行心理疏导，帮助他们减压，努力开发学生的非智力因素，使每个学生发展得更好.当然因地区、学校、班级甚至学生个体的差异，专题复习的宽度和深度需要老师合理把握，我们必须遵循因材施教的教学原则，使不同的学生在数学上得到不同的发展.