第12讲《实际问题与二次函数》（教案）.docx

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1、第 1 页第 12 讲 实际问题与二次函数适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域全国课时时长（分钟）120知识点二次函数应用题教学目标1.掌握二次函数的性质2.能够应用二次函数的性质解决求最值, 利润问题,方案等实际问题教学重点确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题教学难点1.应用题的分析2.性质的应用教学过程一、复习预习第 2 页前面三节课我们学习了二次函数图像和性质，大家都学习的非常认真，今天这节课是二次函数的知识的最后一节课，也是非常重要的一节课，我们将利用二次函数的性质，解决与实际有关的应用问题。大家先来看下面的例子：二、知识讲解引例：在跳大绳时，绳甩到最

2、高处的形状可近似的看作抛物线，如图（1） ，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 米，距地面均为 1 米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1 米和 2.5 米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是 1.5 米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？答案 如图，水平面所在的直线为轴，向右为正方向，以甲学生身体所在的垂线为轴，向上为正方向，建立直角坐xy标系。甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 米，距地面均为 1 米点 A 的坐标为（0,1） ，点 B 的坐标为（4,1）第 3 页学生丙距甲拿绳的手水平距离

3、1 米处，丙的身高是 1.5 米点 C 的坐标为（1,1.5） 。设抛物线为，12bxaxy把 B（4,1）和 C（1,1.5）代入上式的，11416 ba5 . 11 ba解得：，所以抛物线为；61a32b132 612xxy又学生丁站在距甲拿绳的手水平距离 2.5 米处，当时，5 . 2x625. 1132 612xxy学生丁的身高为 1.625 米。总结：1、要解决这个实际问题，关键是如何建立恰当的直角坐标系；2、如何将实际问题中给的数据抽象成二次函数图象上的点的坐标；3、根据总结出来的点的特殊性，设二次函数关系式；4、用“待定系数法” ，解方程组，求出二次函数关系式。第 4 页二次函数

4、的应用-常考题型1.求二次函数的解析式2.利用二次函数的顶点式求最值二次函数，当 x时，.)0(2acbxaxyab 2- abacy442最大（小）值3.根据二次函数图像和性质解决销售利润问题4.根据二次函数图像和性质解决最佳方案问题考点/易错点 1二次函数的应用常用于求解析式、交点坐标等。考点/易错点 2二次函数常用来解决最优化问题考点/易错点 3（1）分析和表示不同背景下实际问题，如利润、面积、动态、数形结合等问题中变量之间的二次函数关系。第 5 页（2）运用二次函数的知识解决实际问题中的最值问题。考点/易错点 4根据题意写出 x 的取值范围考点/易错点 5二次函数的最值求解运算错误，忘

5、记考虑 x 的取值范围三、例题精析【例题 1】【题干】某果园有 100 棵橘子树，平均每一棵树结 600 个橘子根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5 个橘子设果园增种 x 棵橘子树，果园橘子总个数为 y 个，则果园里增种 棵橘子树，橘子总个数最多【答案】解：假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有（x+100）棵橙子树，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子，这时平均每棵树就会少结 5x 个橙子，第 6 页则平均每棵树结（6005x）个橙子果园橙子的总产量为 y，则 y=（x+100） （6005x）=5x2+100x+60000，当 x=10（棵）时，橘子总个数最多故答案为

6、：10【解析】根据题意设多种 x 棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量 y 与 x 之间的关系式，进而求出 x=时，y 最大【例题 2】【题干】某商场购进一批单价为 4 元的日用品若按每件 5 元的价格销售，每月能卖出 3 万件；若按每件 6 元的价格销售，每月能卖出 2 万件，假定每月销售件数 y（件）与价格 x（元/件）之间满足一次函数关系（1）试求 y 与 x 之间的函数关系式；第 7 页（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】解：（1）由题意，可设 y=kx+b，把（5，30000） ， （6，20190）代入得：， bkbk6200005

7、30000解得：，1000 80000k b 所以 y 与 x 之间的关系式为：y=10000x+80000；（2）设利润为 W，则 W=（x4） （10000x+80000）=10000（x4） （x8）=10000（x212x+32）=10000（x6）24=10000（x6）2+40000第 8 页所以当 x=6 时，W 取得最大值，最大值为 40000 元答：当销售价格定为 6 元时，每月的利润最大，每月的最大利润为 40000 元【解析】 （1）利用待定系数法求得 y 与 x 之间的一次函数关系式；（2）根据“利润=（售价成本）售出件数” ，可得利润 W 与销售价格 x 之间的二次函

8、数关系式，然后求出其最大值【变式练习】【题干】为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯已知这种节能灯的成本价为每件 10 元，出厂价为每件 12 元，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=10x+500（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为 w（元） ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？第 9 页（3）物价部门规定，这种节

9、能灯的销售单价不得高于 25 元如果李明想要每月获得的利润不低于 300 元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？【答案】解：（1）当 x=20 时，y=10x+500=1020+500=300，300（1210）=3002=600，即政府这个月为他承担的总差价为 600 元（2）依题意得，w=（x10） （10x+500）=10x2+600x5000=10（x30）2+4000a=100，当 x=30 时，w 有最大值 4000即当销售单价定为 30 元时，每月可获得最大利润 4000(3)由题意得：10+600x5000=3000，2x第 10 页解得：x1=20，x2=40a=100，

10、抛物线开口向下，结合图象可知：当 20x40 时，w3000又x25，当 20x25 时，w3000设政府每个月为他承担的总差价为 p 元，p=（1210）（10x+500）=20x+1000k=200第 11 页p 随 x 的增大而减小，当 x=25 时，p 有最小值 500即销售单价定为 25 元时，政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元【解析】 （1）把 x=20 代入 y=10x+500 求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由利润=销售价成本价，得 w=（x10） （10x+500） ，把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）令

11、10x2+600x5000=3000，求出 x 的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为 p 元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值【例题 3】【题干】某商场购进一种每件价格为 100 元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出y与x之间的函数关系式；第 12 页（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】 （1）设y与x之间的函数关系式为ykxb（k0）.由所给函数图象得 解得 x=-1b=180函数关系式为yx

12、180. (2)W(x100) y(x100)( x180) x2280x18000 (x140) 21600 y(件) x(元/件) 30 50 130 150 O 第 13 页当售价定为 140 元, W最大1600.售价定为 140 元/件时,每天最大利润W1600 元 【例题 4】【题干】某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形其中，抽屉底面周长为 180cm，高为20cm请通过计算说明，当底面的宽 x 为何值时，抽屉的体积 y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）【答案】解：已知抽屉底面宽为 x cm，则底面长为 1802x=（90x）cm由题意得：y=x（

13、90x）20=20（x290x）=20（x45）2+40500当 x=45 时，y 有最大值，最大值为 40500第 14 页答：当抽屉底面宽为 45cm 时，抽屉的体积最大，最大体积为 40500cm3 【解析】根据题意列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求最大值【例题 5】【题干】 某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元，试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为250 件，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润

14、最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了 A、B 两种营销方案方案 A：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元；方案 B：每天销售量不少于 10 件，且每件文具的利润至少为 25 元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由【答案】选择方案 A第 15 页【解析】 （1）w（x20） （25010x250）10x2700x10000（2）w10x2700x1000010（x35）22250所以，当 x35 时，w 有最大值 2250，即销售单价为 35 元时，该文具每天的销售利润最大（3）方案 A：由题可得 20x30，因为 a100，对称轴为 x35，抛物线开口向下，在对称轴左侧，w

15、随 x 的增大而增大，所以，当 x30 时，w 取最大值为 2019 元，方案 B：由题意得45 250 10(25)10x x，解得：4549x，在对称轴右侧，w 随 x 的增大而减小，所以，当 x45 时，w 取最大值为 1250 元，因为 2019 元1250 元，第 16 页所以选择方案 A。【例题 6】【题干】某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完该公司的年产量为 6 千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润 y1（元）与国内销售量 x（千件）的关系为：y1= 1590 05130 26xxxx 若在国外销售，平均每件产品的利润 y2（元）与

16、国外的销售数量 t（千件）的关系为（1）用 x 的代数式表示 t 为：t= ；当 0x4 时，y2与 x 的函数关系为：y2= ；当 x 时，y2=100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润 w（千元）与国内销售数量 x（千件）的函数关系式，并指出 x 的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？【答案】第 17 页解：（1）由题意，得 x+t=6，t=6x；当 0x4 时，26x6，即 2t6，此时 y2与 x 的函数关系为：y2=5（6x）+110=5x+80；当 4x6 时，06x2，即 0t2，此时 y2=100故答案为 6

17、x；5x+80；4，6；（2）分三种情况：当 0x2 时，2159058061040480wxxxxxx当 2x4 时，2513058061080480wxxxxxx 当 4x6 时，25130100 6530600wxxxxx 第 18 页综上可知， 2221040480 021080480 24530600 46xxxwxxxxxx （3）当 0x2 时，此时 x=2 时，w最大=600；21040480wxx4402102x当 2x4 时，此时 x=4 时，w最大=640；21080480wxx4064-102x当 4x6 时，4x6 时，w640；2530480wxx 6453-52x

18、x=4 时，w最大=640故该公司每年国内、国外的销售量各为 4 千件、2 千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为 64 万元【解析】 （1）由该公司的年产量为 6 千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6 千件，即 x+t=6，变形即为 t=6x；根据平均每件产品的利润 y2（元）与国外的销售数量 t（千件）的关系及 t=6x 即可求出 y2 2100 025110 26tytt 与 x 的函数关系：当 0x4 时，y2=5x+80；当 4x6 时，y2=100；第 19 页（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：0x

19、2；2x4；4x6；（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可【例题 7】【题干】某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元（x40） ，请你分别用 x 的代数式来表示销售量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 w 元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x销售量 y（件）销售玩具获得利润w（元）第 20 页（2）在（1）问条件下，若商场获得了 10000 元销售利润，求

20、该玩具销售单价 x 应定为多少元（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于 44 元，且商场要完成不少于 540 件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】解：（1）销售单价（元）x销售量 y（件）100010x销售玩具获得利润w（元） 10x2+1300x30000（2）10x2+1300x30000=10000解之得：x1=50，x2=80答：玩具销售单价为 50 元或 80 元时，可获得 10000 元销售利润，第 21 页（3）根据题意得解之得：44x46 w=10x2+1300x30000=10（x65）2+12250 a=100，对称轴 x=

21、65当 44x46 时，y 随 x 增大而增大当 x=46 时，W最大值=8640（元） 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为 8640 元【解析】 （1）由销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具得 y=600（x40）x=1000x，利润=（1000x）（x30）=10x2+1300x30000；（2）令10x2+1300x30000=10000，求出 x 的值即可；（3）首先求出 x 的取值范围，然后把 w=10x2+1300x30000 转化成 y=10（x65）2+12250，结合 x 的取值范围，求出最大利润第 22 页【例题 8】【题干】某公司在固定线路上运输，拟用运营指

22、数Q量化考核司机的工作业绩Q = W + 100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素） ，W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比试行中得到了表中的数据（1）用含x和n的式子表示Q；（2）当x = 70，Q = 450 时，求n的值；（3）若n = 3，要使Q最大，确定x的值；（4）设n = 2，x = 40，能否在n增加m%（m0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为 420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由参考公式：抛物线yax2+bx+c(a0)的顶点坐标是（，） b2a4acb24a【答案】次数n21速度x4060指数Q4

23、20100第 23 页（1）设，2 12=k x +kxW2 12Q=k x +kx+100由表中数据，得，解得2 122 12420402 40100100601 60100kkkk 121 10 6kk （2）由题意，得21450=-70 +6 70 +10010n=2 （3）当 n=3 时，21Q=-x +18x+10010由可知，要使 Q 最大，1a=-010189012 ()10x 1.由题意，得即，解得，或（舍去）200002()0mm001 2m000mm=50【解析】本题考查了二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题目中所给的信息，读懂题意列出函数关系式，要求同学们掌握

24、求二次函数最值的方法，此题较麻烦，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力 第 24 页四、课堂运用【基础】1.在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为 20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲经试验发现，若每件按 24 元的价格销售时，每天能卖出 36 件；若每件按 29 元的价格销售时，每天能卖出 21 件假定每天销售件数 y（件）与销售价格 x（元/件）满足一个以 x 为自变量的一次函数（1）求 y 与 x 满足的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围） ；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使

25、每天获得的利润 P 最大？【答案】解：（1）设 y 与 x 满足的函数关系式为：y=kx+b 由题意可得： bkbk 29212436第 25 页解得 1083k b故 y 与 x 的函数关系式为：y=3x+108 （2）每天获得的利润为：P=（3x+108） （x20）=3x2+168x2160=3（x28）2+192 故当销售价定为 28 元时，每天获得的利润最大【解析】本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值得求法，此题难度不大2.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为 40 元经过市场调查，一周的销售量 y 件与销售单价x（x50）元

26、/件的关系如下表：销售单价 x（元/件）55 60 70 75 一周的销售量y（件）450 400 300 250 第 26 页（1）直接写出 y 与 x 的函数关系式： y=10x+1000 （2）设一周的销售利润为 S 元，请求出 S 与 x 的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000 元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？【答案】解：（1）设 y=kx+b，由题意得， bkbk6040055450解得：， 001010k

27、b则函数关系式为：y=10x+1000；（2）由题意得，S=（x40）y=（x40） （10x+1000）第 27 页=10x2+1400x40000=10（x70）2+9000，100，函数图象开口向下，对称轴为 x=70，当 40x70 时，销售利润随着销售单价的增大而增大；（3）当购进该商品的贷款为 10000 元时，y=250（件） ，此时 x=75，由（2）得当 x70 时，S 随 x 的增大4010000而减小，当 x=70 时，销售利润最大，此时 S=9000，即该商家最大捐款数额是 9000 元【解析】 （1）设 y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出 k、b 的值，即可得出

28、函数解析式；（2）根据利润=（售价进价）销售量，列出函数关系式，继而确定销第 28 页售利润随着销售单价的增大而增大的销售单价的范围；（3）根据购进该商品的贷款不超过 10000 元，求出进货量，然后求最大销售额即可3.科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度x/420244.5植物每天高度增长量y/mm414949412519.75由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，

29、并简要说明不选择另外两种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？第 29 页（3）如果实验室温度保持不变，在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果【答案】（1）选择二次函数，设cbxaxy2，得 4124492449cbacbac ，解得 4921cbay关于x的函数关系式是4922xxy不选另外两个函数的理由：注意到点（0，49）不可能在任何反比例函数图象上，所以y不是x的反比例函数；点（4，41） ， （2，49） ， （2，41）不在同一直线上，所以y不是x的一次函数（2）由（1） ，得4922

30、xxy，5012xy， 01a，当1x时，y有最大值为 50即当温度为1时，这种植物每天高度增长量最大【解析】本题考查的是二次函数的应用以及二次函数的性质 第 30 页4. 在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 边向点 B 以 1cms 的速度移动，同时点 Q从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cms 的速度移动，如果 P、Q 两点同时出发，分别到达 B、C 两点后就停止移动（1）运动第 t 秒时，PBQ 的面积 y(cm)是多少？（2）此时五边形 APQCD 的面积是 S(cm)，写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围（3

31、）t 为何值时 s 最小，最小值时多少？【答案】（1）第 t 秒钟时， AP=tcm，故 PB=（6-t）cm，BQ=2tcm故 SPBQ=（6-t）2t=-t2+6t21S矩形 ABCD=612=72S=72-SPBQ=t2-6t+72（0t6） ；（2）S=t2-6t+72=（t-3）2+63，当 t=3 秒时， S 有最小值 63cm2 【解析】 （1）根据 t 秒时， P、Q 两点的运动路程，分别表示PB、BQ 的长度，可得 BPQ 的面积，用第 31 页S=S矩形 ABCD-SPBQ求面积即可；（2）将（ 1）中所求函数式配方，可得函数的最小值 5.5. 小明的家门前有一块空地，空地

32、外有一面长 10 米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个 1 米宽的门（木质） 花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？【答案】解：设花圃的宽为米，面积为平方米xS则长为：(米)xx4342432则：)434(xxS，与的二次函数的顶点不在自变量的范围内，6417Sxx而当内，随的增大而减小，2176 xSx当时，(平方米)6x604289)4176(42 maxS第 32 页答：可设计成宽米，长 10 米的矩形花圃，这样的花圃面积最大

33、6【解析】表示出花圃的边长是解决本题的易错点 【巩固】1. 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图） ，其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积 【答案】解：设矩形 PNDM 的边 DN=x，NP=y，则矩形 PNDM 的面积 S=xy（2x4）易知 CN=4-x，EM=4-y过点 B 作 BHPN 于点 H 则有AFBBHP，即， PHBH BFAF34 12 yx此二次函数的图象开口向下，对称轴为 x=5，当 x5 时，函数值随的增大而增大，yx对于来说，当 x=4 时，42 x12454212最大S【解析】本题考查了二次函数

34、的最值的运用关键是设线段的长，利用相似的性质表示矩形的面积，用二次函数第 33 页的方法解题 2. 某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为 0.4 米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为 30 元、20 元、10 元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？【答案】解：(1) 四边形EFGH是正方形图(2)可

35、以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转 90后得到的，故CE=CF =CGCEF是等腰直角三角形因此四边形EFGH是正方形 (2)设CE=x, 则BE=0.4x，每块地砖的费用为y元那么：y=x30+0.4(0.4-x)20+0.16-x-0.4(0.4-x)10当x=0.1 时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1第 34 页答：当CE=CF=0.1 米时，总费用最省【解析】图（2）可以看作是由四块图（1）所示地砖绕 C 点按顺（逆）时针方向旋转 90后得到的，故CE=CF=CG所以CEF 是等腰直角三角形因此四边形 EFGH 是正方形 （2）费用由三部分的费

36、用组成，因此需求各个部分的面积因为 CE=CF，所以可设 CE=x，用含 x 的式子表示各部分的面积，得出费用的表达式，再运用函数性质解答3.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 7000 千克，购进价格为每千克 30 元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克 70 元，也不得低于 30 元。市场调查发现：单价定为 70 元时，日均销售 60 千克；单价每降低 1 元，日均多售出 2 千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用 500 元（天数不足一天时，按整天计算） 。设销售单价为 x 元，日均获利为 y 元。（1）求 y 关于 x 的二次函数关系式，并注明 x 的取值范围；（2）将（1）中

37、所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标，指出单价定为多少元时日abac abxay44)2(2 2均获利最多，是多少？第 35 页【答案】解：若销售单价为 x 元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出 2（70-x）千克，日均销售量为60+2（70-x）千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式（1）根据题意，得(30x70)。650026022xx（2）。y650026022xx1950)65(22x顶点坐标为（65，1950） 。二次函数草图略。经观察可知，当单价定为 65 元时，日均获利最多，是 1950 元。【解析】本题主要考察应用分析和最值求法4.某公司生产的某种产

38、品，它的成本是 2 元，售价是 3 元，年销售量为 100 万件为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告根据经验，每年投入的广告费是 x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 y是 x 的二次函数，它们的关系如下表：X（十万元）012第 36 页y11518（1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润 S（十万元）与广告费 x（十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为 1030 万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？【答案】解 （1）设二次函数关系式为。cbxaxy2由表中数据，得

39、 解得 8 . 1245 . 11cbacbac153101cba所以所求二次函数关系式为。153 1012xxy（2）根据题意，得。105)23(102xxxyS（3）。465)25(10522xxxS第 37 页由于 1x3，所以当 1x2。5 时，S 随 x 的增大而增大【解析】本题主要考察了应用题的分析，待定系数法，和配方法的应用【拔高】1.某幢建筑物，从 10 m 高的窗口 A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m，离地面m，则水流落地点 B 离墙的距离 OB 是( )340A2 m B3 m C4 m D5

40、m【答案】B【解析】解：顶点为，设，将点代入，)340, 1 (340) 1(2xay)10, 0(310a令，得：，所以 OB=30340) 1(3102xy4) 1(2x2.在等腰梯形 ABCD 中，AB=4，CD=9，动点 P 从点 C 出发沿 C 求 D 方向向终点 D 运动，动点 Q 同时60C以相同速度从点 D 出发沿 DA 方向向终点 A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。（1）求 AD 的长；第 38 页（2）设 CP=，问当为何值时，的面积达到最大？求出最大值。xxPDQ【答案】（1）过点 A 作 AEBC 交 CD 于点 E，则 CE=AB=4， 是等

41、边三角形60ADEC 60CDAED（2）为 PD 边上的高，则CPxh，3 2hx根据题意得：113(9)222SPD hxx23(9)4xx23981 3()4216x 由题意可知，当时（满足），。05x9 2x 50 x81 3 16S最大【解析】本题考查了学生的分析作图能力和考查学生综合运用平行线、等腰梯形、等边三角形、菱形、二次函数等知识这里设计了一个开放的、动态的数学情境，为学生灵活运用基础知识、分析问题、解决问题留下了广阔的探索、创新的思维空间 3. 如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面 1 米的处飞出（在轴上） ，运动员乙在距点 6 米的OAAyO处发现球在自己头的正

42、上方达到最高点，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起据实验，足球在草坪上弹起后BM第 39 页的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）C4 37（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取）D2 65【答案】（1）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为 2(6)4ya x 由已知：当时 即 0x 1y 1136412aa ，表达式为 （或）21(6)412yx 21112yxx （2）令210(6)4012yx，（舍去） 2 12(6)484 36134 360

43、xxx ，足球第一次落地距守门员约 13 米 （3）如图，第二次足球弹出后的距离为CDyOBCD1Mx24AEFN第 40 页根据题意：（即相当于将抛物线向下平移了 2 个单位长度）CDEFAEMFC解得 212(6)412x 1262 662 6xx，124 610CDxx（米） 136 1017BD【解析】这是一道比较新颖的二次函数应用问题，解题的关键是要有建模思想，将题目中的语句转化为数学语言，这样才能较好的领会题意并运用自己的知识解决问题 课程小结利用二次函数的性质解决应用题的一般步骤：1.设定实际问题中的变量2.建立变量与变量之间的函数关系式3.确定自变量的取值范围，保证自变量具有实

44、际意义课后作业第 41 页【基础】1. 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长 15m)的空地上修建一个矩形花园 ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成若设花园的宽为 x(m) ，花园的面积为 y(m)(1)求 y 与 x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当 x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？【答案】解：)240(xxy)20(22xx 二次函数的顶点不在自变量的范围内，x而当内，随的增大而减小，205 .12 xyx当时，5 .12x(平方米)5 .187200)105 .12(22 maxy第 42 页答：当米时花园的面积最大，最大面积是 187.5 平方米5 .12x【解析】此题考查了二次函数的实际应用问题此题难度较大，解题的关键是理解题意，能根据题意求得函数解析式，然后根据二次函数的性质求解2. 如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有n(n是大于 1 的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得