专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)__1.docx

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1、专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)_专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)专题：抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题，综合性强，难度较大，通常都作为“压轴题，解此类题通常需要熟练把握抛物线与圆相关的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路。例1、抛物线2yaxbxc=+交x轴于A、B两点，交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为1x=，(3,0)B,(0,3)C-，1求二次函数2yaxbxc=+的解析式；2在抛物线对称轴上能否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请讲明理由；3平行于x轴的一

2、条直线交抛物线于MN、两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径解：1将(0,3)C-代入cbxaxy+=2，得3-=c将3-=c， (3,0)B代入cbxaxy+=2，得039=+cba1x=是对称轴，12=-ab因而，可得1=a，2-=b二次函数得解析式是322-=xxy2AC与对称轴的交点P即为到BC、的距离之差最大的点C点的坐标为(0,3)-，A点的坐标为(1,0)-，直线AC的解析式是33-=xy，又对称轴为1x=，点P的坐标(1,6)-3设1(,)Mxy、2(,)Nxy，所求圆的半径为r，则rxx212=-，对称轴为1x=，212=+xx。由得：12+=rx。将(1,)N

3、ry+代入解析式322-=xxy，得3)1(2)1(2-+-+=rry。整理得：42-=ry由于圆与x轴相切，即有r=y。当0y时，042=-rr，解得，21711+=r，21712-=r舍去；当0专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)1解法一：一次函数ykxk=-4的图象与x轴交于点A，点A的坐标为4，0。又抛物线cbxaxy+=2经过O、A两点，04160=+=bac，ab4-=解法二：一次函数ykxk=-4的图象与x轴交于点A，点A的坐标为4，0。又抛物线yaxbxc=+2经过O、A两点，抛物线的对称轴为直线x=2，=-=xba22，b=4a。2解：由抛

4、物线的对称性可知，DODA，点O在D上，且DOADAO。又由1知抛物线的解析式为yaxax=-24点D的坐标为24，-a当a0时，如图1，设D被x轴分得的劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA所在的圆与D关于x轴对称，设它的圆心为D。点D与点D也关于x轴对称，点O在D上，且OD与D相切，点O为切点，DOODDOADOA45ADO为等腰直角三角形=OD22点D的纵坐标为-2242124-=-=-=-abaa，抛物线的解析式为xxy2212-=；当a专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)例3、如图，在直角坐标系中，C过原点O，交x轴于点A2，0，

5、交y轴于点B0，。1求圆心的坐标；2抛物线yax2bxc过O、A两点，且顶点在正比例函数yx的图象上，求抛物线的解析式；3过圆心C作平行于x轴的直线DE，交C于D、E两点，试判定D、E两点能否在2中的抛物线上；4若2中的抛物线上存在点Px0，y0，知足APB为钝角，求x0的取值范围。解：1C经过原点O，AB为C的直径。C为AB的中点。过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH12OBOH12OA1。圆心C的坐标为1。2抛物线过O、A两点，抛物线的对称轴为x1。抛物线的顶点在直线yx上，顶点坐标为1把这三点的坐标代入抛物线抛物线yax2bxc，得0420cabcabc?=?+=?+=?解得0abc?=

6、?=?抛物线的解析式为233yxx=-。3OA2，OB4AB=.即C的半径r2。D3，E12yxx=-检验，知点D、E均在抛物线上。4AB为直径，当抛物线上的点P在C的内部时，知足APB为钝角。1x00或2x03。专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)例4、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。1求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；2若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证实四边形CDAN是平行四边形；3点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方能否存

7、在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请讲明理由。解：1由抛物线的顶点是M1，4，设解析式为2yax14a0，又抛物线经过点N2，3，所以23a214解得a1。所以所求抛物线的解析式为y22x14x2x3.令y0，得2x2x30，解得：12x1x3.，得A1，0，B3，0；令x0，得y3，所以C0，3。2直线y=kx+t经过C、M两点，所以t3kt4?即k1，t3。直线解析式为yx3.令y0，得x3，故D3，0，CD。连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F.设过A、N两点的直线的解析式为ymxn，则mn02mn3?解得m1，n1，所

8、以过A、N两点的直线的解析式为yx1。所以DCAN.在RtANF中，AN3，NF3，所以AN所以DCAN。因而四边形CDAN是平行四边形。另：可以以证实CNAD。3假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P1，u其中u0，则PA是圆的半径，且222PAu2过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQPA时以P为圆心的圆与直线CD相切。由第2小题易得：MDE为等腰直角三角形，故PQM也是等腰直角三角形，由P1，u得PEu，PM|4-u|，PQ|4-u|由22PQPA得方程：2224uu22，解得u4u4，符合题意的u4意的点P存在，其坐标为1，4。专题：抛物

9、线与圆综合探究题(含答案)专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)例5、已知：如图，抛物线mxxy+-=332312与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，ACB90，1求m的值及抛物线顶点坐标；2过A、B、C的三点的M交y轴于另一点D，连结DM并延长交M于点E，过E点的M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；3在条件2下，设P为上的动点P不与C、D重合，连结PA交y轴于点H，问能否存在一个常数k，始终知足AH2APk，假如存在，请写出求解经过；假如不存在，请讲明理由.解：1由抛物线可知，点C的坐标为0，m，且m0.设Ax1，0，Bx2，0.则有x12x23m；又OC是RtABC的斜

10、边上的高，AOCCOBOBOCOCOA=21xmmx-=-，即x12x2m2m23m，解得m0或m3，而m0，故只能取m3。这时，4)3(3133323122-=-=xxxy，因而，抛物线的顶点坐标为3，4。另外，由ACBC，可以以用AC2BC2=AB2来求m。2解法一：由已知可得：M3，0，A3，0，B33，0，C0,3，D0，3抛物线的对称轴是x3，也是M的对称轴，连结CE，DE是M的直径，DCE90，直线x3，垂直平分CE，E点的坐标为23，3。33=ODOMOCOA，AOCDOM90，ACOMDO30，ACDE；ACCB，CBDE又FGDE，FGCB；由B33，0、C0，3两点的坐标易

11、求直线CB的解析式为：yx333可设直线FG的解析式为yx33n，把23，3代入求得n5故直线FG的解析式为yx335解法二：由抛物线解析式可求得：A0，B3，0，D0,3，M(，0)，则有E2，3。再由AO、CO、MO、DO的长度可得：AC0=MDO=30,结合DE=43，DEFG可得：DG=8，G点坐标为0，5。OG=5，OF=OG2，F点的坐标为5，0，再由E、G两点坐标可得直线FG的解析式为y33x5。自解3解法一：存在常数k12，知足AH2AP12连结CP由垂径定理可知?=ACAD，PACH或利用PABCACO又CAHPAC，ACHAPC，ACAPAHAC=即AC2AH2AP在RtA

12、OC中，AC2AO2OC2323212或利用AC2AO2AB334312，AH2AP12。解法二：存在常数k12，知足AH2AP12设AHx，APy由相交弦定理得HD2HCAH2HP即3?x2?33+x2?3=xy?x，化简得：xy12，即AH2AP12。此页面能否是列表页或首页？未找到适宜正文内容。专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)例7、已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于不同的两点A和B4，0，与y轴交于点C0，8，其对称轴为x=1.求此抛物线的解析式；过A、B、C三点作O与y轴的负半轴交于点D,求经过原点O且与直线AD垂直垂足为E的直线O

13、E的方程；设O与抛物线的另一个交点为P，直线OE与直线BC的交点为Q，直线x=m与抛物线的交点为R，直线x=m与直线OE的交点为S。能否存在整数m，使得以点P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请讲明理由。解：(1)由已知，有?=+?+?=-.8044122ccbaab，解得?=-=.821cba抛物线的解析式是y=-x2+2x+8.2令y=0，得方程-x2+2x+80，解得x1=-2，x2=4.点A的坐标为(-2，0).在O中，由相交弦定理，得|OA|2|OB|=|OC|2|OD|，即234=83|OD|，|OD|=1.点D在y轴的负半轴上，点D的坐标为(0

14、，-1).在RtAOD中，|OA|=2，|OD|=1，OEAD，由勾股定理，有AD=2212+=5.又21|OA|2|OD|=21|AD|2|OE|，|OE|=552.|OA|2=|AE|2|AD|，即22=5|AE|，|AE|=554.同理，由|OD|2=|DE|2|AD|，得|DE|=55.设点E(x，y)，且x专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)例8、如图3，已知抛物线y=x2+bx+c，经过点A(0，5)和点B3，21求抛物线的解析式：2现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，问P在运动经过中，能否存在P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的

15、坐标：若不存在，请讲明理由；3若Q的半径为r，点Q在抛物线上、Q与两坐轴都相切时求半径r的值解：1由题意，得；抛物线的解析式为245yxx=-+2当P在运动经过中，存在P与坐标轴相切的情况设点P坐标为(00xy，)，则有：当P与y轴相切时，有|x0|=1，x0=1由01x=-，得20141510y=+?+=1(110)P-，由01x=，得20214152(12)yP=-?+=，当P与x轴相切时有0|1y=抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方01y=由01y=，得200451xx-+=，解得y0=2，P3(2，1).综上所述，符合要求的圆心P有三个，其坐标分别为：3设点Q坐标为(x，y)，则当Q与

16、两条坐标轴都相切时，有y=x由y=x得2245550xxxxx-+=-+=，即，解得x=；由yx=-，得2245350xxxxx-+=-+=，即，此方程无解；O的半径为r=。5392cbc=?+=?b=-4解得c=5123(1,10),(1,2),(2,1)PPP-专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)例9、已知：如图，抛物线233yxx=-x轴分别交于AB，两点，与y轴交于C点，M经过原点O及点AC，点D是劣弧OA上一动点D点与AO，1求抛物线的顶点E的坐标；2求M的面积；3连CD交AO于点F，延长CD至G，使2FG=，试探究当点D运动到何处时，直线GA与M

17、相切，并请讲明理由解：1抛物线233yxx=-)22133xx=-+)21x=+，E的坐标为1?-?。2连AC；M过90AOCAOC=，AC为M的直径可求得A点坐标为3，0，B点坐标为1，0，3OAOC=，AC=22ACr=23MSr=。3当点D运动到OA的中点时，直线GA与M相切。理由：在RtACO中，3OAOC=，tanACO=6030ACOCAO=，点D是OA的中点，AD=DO，30ACGDCO=tan301OFOC=，60CFO=。在GAF中，22AFFG=，60AFGCFO=，AGF为等边三角形。60GAF=90CAGGAFCAO=+=，又AC为直径，GA与M相切。综上，当D为OA的

18、中点时，GA是M的切线。3正面推：可得A3，0，B1，0，C0，易得CAO=BCO=30，BCAC.又GA与M相切，GAAC，GAC=90，且GABC，因而，怎么推？此页面能否是列表页或首页？未找到适宜正文内容。此页面能否是列表页或首页？未找到适宜正文内容。专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)例11、若抛物线y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，以OA、OB为直径分别作O1、O2。(1)试证：无论m取何实数，抛物线与x轴总有两个交点；(2)当两圆相等时，求m的值；(3)假如两圆外切，求m的范围；(4)点B能否在原点的左侧？请讲明

19、理由；(5)两圆内切时，求m的范围；(6)若两圆内切时，当M点的坐标为(1，0)，试证：OAOMOB；(7)假如两圆外切,且O1、O2的周长之比为2:1，求m的值；(8)若两圆面积之和为47，求m的值；(9)若两圆外切时，外公切线长为3，求m之值。解：设y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交于A(x1，0)、B(x2,0)，显然x1x2。(1)由于抛物线y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交点的横坐标，即为所对应的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0的两根。所以，要证实抛物线与x轴总有两个交点，就是要证实方程x2-(m+3)x+m+1=0的根的判别式0=-(m+3)2-4(m+1)=m2

20、+2m+5=(m+1)2+40显然，问题可证。(2)由(1)可知，点A、点B是两个不同的点，若两圆相等，则OA=OB，且点A，点B分布在原点的两侧，又由于x1x2，x10，x20则OA=|x1|=-x1OB=|x2|=x2，-x1=x2，即x1+x2=0。所以，m+3=0，m=-3。另：由OA=OB可得抛物线顶点在y轴上，可知-(m+3)=0.(3)以OA、OB为直径的两圆，若外切，则A点和B点必然分布在原点O的两侧。所以有x12x20,即m+10,则m-1.(4)这是一道开放题。该命题可转化成：要确定点B能否在原点的左侧，就是要确定x2能否取负数？若x2能取负数的话，则下列不等式组必有解集。

21、?+=?+=+.01,032121mxxmxx显然上述不等式组的解集为空集，故x2不可能取负数，即点B不可能在x轴的左侧。(5)两圆内切时，其切点必为原点O，且点A、点B必在原点的同侧。故要分点A、点B都在原点的左侧或都在原点的右侧两种情况进行讨论。若点A、点B都在原点的左侧,由(4)可知,该种情况不存在。若点A、点B都在原点的右侧，显然有x10，x20，则?+=?+=+01032121mxxmxxm-1.(6)由(5)知，若两圆内切,则点A、点B必在原点O的右侧，x10，x20则有OA=|x1|=x1；OB=|x2|=x2；OM=1.要证实OAOMOB，即证x11x2；就是要证实：x11且x

22、21；即证：x1-10且x2-10；即证：(x1-1)(x2-1)0；专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)而(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=m+1-(m+3)+1=-10故本小问可证。(7)由于两圆外切时，CO1=OA=|x1|=-x1；CO2=OB=|x2|=x2；所以12212121=-=-=xxxxoCCO；即x1+2x2=0.则可由方程组?+=?+=+=+1,3,02212121mxxmxxxx求出参数m的值。(8)当两圆面积之和为74时，则S224)2(1OAOAO=；S224)2(2OBOBO=；则47)(422=+OBOA；OA2+OB2=7；即x12+x22=7.则根据根与系数的关系，此时的m值可求。(9)由于相切两圆的外公切线的长为：2Rr(其中R、r分别为O1、O2的半径)所以232121=?OBOA；即3=?OBOA；OA2OB=9；-x12x2=9；则-(m+1)=9；即有；m=-10.