三角函数图像变换顺序详解(全面)_.docx

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1、三角函数图像变换顺序详解(全面)_三角函数图像变换顺序详解(全面)三角函数图像变换顺序详解(全面)（图象变换的顺序寻根）题根研究一、图象变换的四种类型从函数y=f(x)到函数y=Af()+m，其间经过4种变换：1.纵向平移m变换2.纵向伸缩A变换3.横向平移变换4.横向伸缩变换一般讲来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能到达目的，只是在不同的变换顺序中，“变换量可不尽一样，解题的“风险性也不一样.下面以y=sinx到y=Asin()+m为例，讨论4种变换的顺序问题.【例1】函数的图象可由y=sinx的图象经过如何的平移和伸缩变换而得到？【解法1】第1步，横向平移：将y=sinx向右平移，得第2步

2、，横向伸缩：Array将的横坐标缩短倍，得第3步：纵向伸缩：Array将的纵坐标扩大3倍，得第4步：纵向平移：Array将向上平移1，得【解法2】第1步，横向伸缩：将y=sinx的横坐标缩短倍，得y=sin2x第2步，横向平移：1三角函数图像变换顺序详解(全面)三角函数图像变换顺序详解(全面)将y=sin2x向右平移，得第3步，纵向平移：将向上平移，得第4步，纵向伸缩：将的纵坐标扩大3倍，得【讲明】解法1的“变换量如右移与参数值对应，而解法2中有的变换量如右移与参数值不对应，因而解法1的“可靠性大，而解法2的“风险性大.【质疑】对以上变换，提出如下疑问：1在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量

3、不变，而“平移量有变？2在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反如当1时对应着“缩，而|A|1时，对应着“扩？【答疑】对于2，3两道疑问的回答是：这是由于在函数表达式y=Af()+m中x和y的地位在形式上“不平等所至.假如把函数式变为方程式(y+)=f()，则x、y在形式上就“地位平等了.如将例1中的变成它们的变换“方向就“统一了.对于疑问1：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变，而“平移量有变？这是由于在“一次替代：x中，平移是对x进行的.故先平移x对后伸缩没有影响；但先收缩x对后平移却存在着“平移相关.这三角函数图像变换顺序详解(全面)三角函数图像变换顺序详解(全面)就是为什么在例

4、1的解法2中后平移时，有的原因.【讲明】为了使得4种变换量与4个参数A，m对应，降低“解题风险，在由sinx变到Asin()(0)的途中，采用如下顺序：1横向平移：x2横向伸缩：x+3纵向伸缩：sin()Asin()4纵向平移：Asin()Asin()+m这正是例1中解法1的顺序.二、正向变换与逆向变换假如把由sinx到Asin ()+m的变换称作正向变换，那么反过来，由Asin()+m到sinx变换则称逆向变换.显然，逆向变换的“顺序是正向变换的“逆.由于正向变换的一般顺序是：1横向平移，2横向伸缩，3纵向伸缩，4纵向平移.所以逆向变换的一般顺序则是：1纵向平移，2纵向伸缩，3横向伸缩，4横

5、向平移.如将函数y=2sin(2)+1的图像下移1个单位得y=2sin(2x)，再将纵坐标缩小一半得y=sin(2x),再将横坐标扩大2倍得y=sin(x),最后将图象左移得函数y=sinx.【例2】将y=f(x)cosx的图象向右平移,再向上平移1,所得的函数为y=2sin2x.试求f(x)的表达式.【分析】这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果，求“原函数.我们考虑将“正向变换的经过倒逆回去而得“逆向变换的顺序.【解析】将y=2sin2x下移1个单位与正向变换上移1个单位相反，3三角函数图像变换顺序详解(全面)三角函数图像变换顺序详解(全面)得y=2sin2x1，再将2sin2x1左

6、移与正向变换右移相反得令f(x)cosx=2sinxcosx得f(x)=2sinx【讲明】由此得原函数为y=f(x)cosx=2sinxcosx=sin2x.正向变换为sin2x2sin2x,其逆变换为2sin2xsin2x.由于2sin2x=1+sin(2x),所下面移1个单位得sin(2x),左移得sin2x.三、翻折变换使0平移变换x是“对x而言，由于x过于简单而易被忽略.强调一下，这里x的系数是+1.千万不要误以为是由sin(-x)左移而得.其实，x或y的系数变-1，也对应着两种不同的图象变换：由x-x对应着关于y轴的对称变换,即沿y轴的翻折变换；由f(x)-f(x)对应着关于x轴的对

7、称变换,即沿x轴的翻折变换.【例3】求函数的单调减区间.【分析】先变换-3x3x,即沿y轴的翻折变换.【解析1】，转化为求g(x)=sin(3x)的增区间令xf(x)减区间主解又函数的f(x)周期为，故函数f(x)减区间的通解为三角函数图像变换顺序详解(全面)三角函数图像变换顺序详解(全面)x【解析2】的减区间为即是x【讲明】从图象变换的角度看问题,比拟解析1和解析2可知,求f(x)的减区间,实际上分两步进行:(1)先求得f(x)减区间的主解x(2)再利用主解进行横向平移(的整数倍)即得f(x)减区间的通解.【考虑】本解先将“正数化，使0是本解成功的关键.否则，假如去解不等式组将会使你陷入歧途，不防试试！5