抛物线与圆综合探究题_.docx

《抛物线与圆综合探究题_.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抛物线与圆综合探究题_.docx（35页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、抛物线与圆综合探究题_抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题专题：抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题，综合性强，难度较大，通常都作为“压轴题，解此类题通常需要熟练把握抛物线与圆相关的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路。例1、抛物线2yaxbxc=+交x轴于A、B两点，交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为1x=，(3,0)B,(0,3)C-，求二次函数2yaxbxc=+的解析式；在抛物线对称轴上能否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请讲明理由；平行于x轴的一条直线交抛物线于MN、两点，若以MN为直径的圆恰好与x

2、轴相切，求此圆的半径解：1将(0,3)C-代入cbxaxy+=2，得3-=c将3-=c，(3,0)B代入cbxaxy+=2，得039=+cba1x=是对称轴，12=-ab将2代入1得1=a，2-=b二次函数得解析式是322-=xxy2AC与对称轴的交点P即为到BC、的距离之差最大的点C点的坐标为(0,3)-，A点的坐标为(1,0)-，直线AC的解析式是33-=xy，又对称轴为1x=，点P的坐标(1,6)-3设1(,)Mxy、2(,)Nxy，所求圆的半径为r，则rxx212=-，.(1)对称轴为1x=，212=+xx.(2)由1、2得：12+=rx.(3)将(1,)Nry+代入解析式322-=x

3、xy，得3)1(2)1(2-+-+=rry，.(4)整理得：42-=ry由于r=y，当0y时，042=-rr，解得，21711+=r，21712-=r舍去，当0抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题例2、已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，抛物线yaxbxc=+2经过O、A两点。试用含a的代数式表示b；设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在D内，它所在的圆恰与OD相切，求D半径的长及抛物线的解析式；设点B是知足中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上能否存在这样的点P，使

4、得POAOBA=43？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请讲明理由。1解法一：一次函数ykxk=-4的图象与x轴交于点A点A的坐标为4，0抛物线cbxaxy+=2经过O、A两点04160=+=bac，ab4-=解法二：一次函数ykxk=-4的图象与x轴交于点A点A的坐标为4，0抛物线yaxbxc=+2经过O、A两点抛物线的对称轴为直线x=2=-=xba222解：由抛物线的对称性可知，DODA点O在D上，且DOADAO又由1知抛物线的解析式为yaxax=-24点D的坐标为24，-a当a0时，如图1，设D被x轴分得的劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA所在的圆与D关于x轴对称，

5、设它的圆心为D点D与点D也关于x轴对称点O在D上，且OD与D相切点O为切点DOODDOADOA45ADO为等腰直角三角形=OD22点D的纵坐标为-2242124-=-=-=-abaa，抛物线的解析式为xxy2212-=当a抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题?+-=xxyxy22132解得：?=?+-=-=003463242211yxyx，舍去点P的坐标为()346324+-，综上，存在知足条件的点P，点P的坐标为()346324+，或()346324+-，抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题例3、如图，在直角坐标系中，C过原点O，交x轴于点A2，0，交y轴于点B0，。求圆心的坐标；抛

6、物线yax2bxc过O、A两点，且顶点在正比例函数y3x的图象上，求抛物线的解析式；过圆心C作平行于x轴的直线DE，交C于D、E两点，试判定D、E两点能否在中的抛物线上；若中的抛物线上存在点Px0，y0，知足APB为钝角，求x0的取值范围。解：1C经过原点O，AB为C的直径。C为AB的中点。过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH12OBOH12OA1。圆心C的坐标为1。2抛物线过O、A两点，抛物线的对称轴为x1。抛物线的顶点在直线y3上，顶点坐标为13把这三点的坐标代入抛物线抛物线yax2bxc，得04203cabcabc?=?+=?+=?解得0abc?=?=?=?抛物线的解析式为233yxx=

7、-。3OA2，OB4AB=.即C的半径r2。D3，E1，233yxx=-检验，知点D、E均在抛物线上4AB为直径，当抛物线上的点P在C的内部时，知足APB为钝角。1x00，或2x03。抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题例4、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证实四边形CDAN是平行四边形；点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方能否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若

8、存在，请求出点P的坐标；若不存在，请讲明理由。解：1由抛物线的顶点是M1，4，设解析式为2yax14a0又抛物线经过点N2，3，所以23a214解得a1所以所求抛物线的解析式为y22x14x2x3.令y0，得2x2x30，解得：12x1x3.，得A1，0B3，0；令x0，得y3，所以C0，3.2直线y=kx+t经过C、M两点，所以t3kt4?即k1，t3直线解析式为yx3.令y0，得x3，故D3，0CD连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F.设过A、N两点的直线的解析式为ymxn，则mn02mn3?解得m1，n1所以过A、N两点的直线的解析式为yx1所以DCAN.在RtANF中，AN3，NF3，

9、所以AN所以DCAN。因而四边形CDAN是平行四边形.3假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P1，u其中u0，则PA是圆的半径且222PAu2过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQPA时以P为圆心的圆与直线CD相切。由第2小题易得：MDE为等腰直角三角形，故PQM也是等腰直角三角形，由P1，u得PEu，PM|4-u|，PQ|4-u|由22PQPA得方程：2224uu22，解得u4u4，符合题意的u4P存在，其坐标为1，4.抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题例5、已知：如图，抛物线mxxy+-=332312与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点

10、，ACB90，求m的值及抛物线顶点坐标；过A、B、C的三点的M交y轴于另一点D，连结DM并延长交M于点E，过E点的M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；在条件下，设P为上的动点P不与C、D重合，连结PA交y轴于点H，问能否存在一个常数k，始终知足AH2APk，假如存在，请写出求解经过；假如不存在，请讲明理由.解：由抛物线可知，点C的坐标为0，m，且m0.设Ax1，0，Bx2，0.则有x12x23m又OC是RtABC的斜边上的高，AOCCOBOBOCOCOA=21xmmx-=-，即x12x2m2m23m，解得m0或m3而m0，故只能取m3这时，4)3(3133323122-=-

11、=xxxy故抛物线的顶点坐标为3，4解法一：由已知可得：M3，0，A3，0，B33，0，C0,3，D0，3抛物线的对称轴是x3，也是M的对称轴，连结CEDE是M的直径，DCE90，直线x3，垂直平分CE，E点的坐标为23，333=ODOMOCOA，AOCDOM90，ACOMDO30，ACDEACCB，CBDE又FGDE，FGCB由B33，0、C0，3两点的坐标易求直线CB的解析式为：yx333可设直线FG的解析式为yx33n，把23，3代入求得n5故直线FG的解析式为yx335解法二：令y0，解xx332312-30得x13，x233，即A3，0，B33，0根据圆的对称性，易知：M半径为23，

12、M3，0在RtBOC中，BOC90，OB33，OC3CBO30，同理，ODM30。而BMEDMO，DOM90，DEBCDEFG，BCFGEFMCBO30在RtEFM中，MEF90，ME23，FEM30，MF43，OFOMMF53，F点的坐标为53，0在RtOFG中，OGOF2tan30533335G点的坐标为0，5直线FG的解析式为yx335解法二的评分标准参照解法一酌定抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题解法一：存在常数k12，知足AH2AP12连结CP由垂径定理可知?=ACAD，PACH或利用PABCACO又CAHPAC，ACHAPCACAPAHAC=即AC2AH2AP在RtAOC中，

13、AC2AO2OC2323212或利用AC2AO2AB334312AH2AP12解法二：存在常数k12，知足AH2AP12设AHx，APy由相交弦定理得HD2HCAH2HP即)()33)(33(2xyxxx-=-+-化简得：xy12即AH2AP12抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题例6、抛物线cbxaxy+=2(0下一页抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题例7、已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于不同的两点A和B4，0，与y轴交于点C0，8，其对称轴为x=1.求此抛物线的解析式；过A、B、C三点作O与y轴的负半轴交于点D,求经过原点O且与直线AD垂直垂足为E的直线OE的方程

14、；设O与抛物线的另一个交点为P，直线OE与直线BC的交点为Q，直线x=m与抛物线的交点为R，直线x=m与直线OE的交点为S。能否存在整数m，使得以点P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请讲明理由。解：(1)由已知，有?=+?+?=-.8044122ccbaab，解得?=-=.821cba抛物线的解析式是y=-x2+2x+8.(2)令y=0，得方程-x2+2x+80，解得x1=-2，x2=4.点A的坐标为(-2，0).在O中，由相交弦定理，得OA|2|OB|=|OC|2|OD|，即234=83|OD|，|OD|=1.点D在y轴的负半轴上，点D的坐标为(0，-1

15、).在RtAOD中，|OA|=2，|OD|=1，OEAD，由勾股定理，有AD=2212+=5.又21|OA|2|OD|=21|AD|2|OE|，|OE|=552.|OA|2=|AE|2|AD|，即22=5|AE|，|AE|=54.同理，由|OD|2=|DE|2|AD|，得|DE|=55.设点E(x，y)，且x抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题例8、如图3已知抛物线2yaxbxc=+，经过点A(0，5)和点B3，2(1)求抛物线的解析式：(2)现有一半径为l，圆心P在抛物线上运动的动圆，问P在运动经过中，能否存在P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标：若不存在，请讲明理由；(3)

16、若Q的半径为r，点Q在抛物线上、Q与两坐轴都相切时求半径r的值解析(1)由题意，得；5392cbc=?+=?b=-4解得c=5抛物线的解析式为245yxx=-+(2)当P在运动经过中，存在P与坐标轴相切的情况设点P坐标为(00xy，)，则则当P与y轴相切时，有|x0|=1，x0=1由01x=-，得20141510y=+?+=1(110)P-，由01x=，得20214152(12)yP=-?+=，当P与x轴相切时有0|1y=抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方01y=由01y=，得200451xx-+=，解得y0=2，B(2，1)综上所述，符合要求的圆心P有三个，其坐标分别为：123(1,10),

17、(1,2),(2,1)PPP-(3)设点Q坐标为(x，y)，则当Q与两条坐标轴都相切时，有y=x由y=x得2245550xxxxx-+=-+=，即，解得2x=由yx=-，得2245350xxxxx-+=-+=，即，此方程无解O的半径为2r=此页面能否是列表页或首页？未找到适宜正文内容。抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题tan301OFOC=，60CFO=在GAF中，22AFFG=，60AFGCFO=AGF为等边三角形60GAF=90CAGGAFCAO=+=又AC为直径，当D为OA的中点时，GA为M的切线此页面能否是列表页或首页？未找到适宜正文内容。此页面能否是列表页或首页？未找到适宜正文

18、内容。抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题为直径分别作O1、O2。(1)试证：无论m取何实数，抛物线与x轴总有两个交点；(2)当两圆相等时，求m的值；(3)假如两圆外切，求m的范围；(4)点B能否在原点的左侧？请讲明理由；(5)两圆内切时，求m的范围；(6)若两圆内切时，当M点的坐标为(1，0)，试证：OAOMOB；(7)假如两圆外切,且O1、O2的周长之比为2:1，求m的值；(8)若两圆面积之和为47，求m的值；(9)若两圆外切时，外公切线长为3，求m之值。分析若设y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交于A(x1，0)、B(x2,0)，显然x1x2。(1)由于抛物线y=x2-(m+3)x

19、+m+1与x轴交点的横坐标，即为所对应的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0的两根。所以，要证实抛物线与x轴总有两个交点，就是要证实方程x2-(m+3)x+m+1=0的根的判别式0=-(m+3)2-4(m+1)=m2+2m+5=(m+1)2+40显然，问题可证。(2)由(1)可知，点A、点B是两个不同的点，若两圆相等，则OA=OB，且点A，点B分布在原点的两侧，又由于x1x2x10，x20则OA=|x1|=-x1OB=|x2|=x2-x1=x2即x1+x2=0则m+3=0m=-3.考虑：此时为何不需要考虑“对m取值的制约(下同)？(3)以OA、OB为直径的两圆，若外切，则A点和B点必然分

20、布在原点O的两侧。所以有x12x20,即m+10,则m-1.(4)这是一道开放题。该命题可转化成：要确定点B能否在原点的左侧，就是要确定x2能否取负数？抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题若x2能取负数的话，则下列不等式组必有解集。?+=?+=+.01,032121mxxmxx显然上述不等式组的解集为空集，故x2不可能取负数，即点B不可能在x轴的左侧。(5)两圆内切时，其切点必为原点O，且点A、点B必在原点的同侧。故要分点A、点B都在原点的左侧或都在原点的右侧两种情况进行讨论。若点A、点B都在原点的左侧,由(4)可知,该种情况不存在。若点A、点B都在原点的右侧，显然有x10，x20，则?+

21、=?+=+01032121mxxmxxm-1.(6)由(5)知，若两圆内切,则点A、点B必在原点O的右侧，x10，x20则有OA=|x1|=x1；OB=|x2|=x2；OM=1.要证实OAOMOB，即证x11x2；就是要证实：x11且x21；即证：x1-10且x2-10；即证：(x1-1)(x2-1)0；而(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=m+1-(m+3)+1=-10故本小问可证。(7)由于两圆外切时，CO1=OA=|x1|=-x1；CO2=OB=|x2|=x2；所以12212121=-=-=xxxxoCCO；即x1+2x2=0.则可由方程组?+=?+=+=+1,3,02212121mxxmxxxx求出参数m的值。(8)当两圆面积之和为74时，则S224)2(1OAOAO=；抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题S224)2(2OBOBO=；则47)(422=+OBOA；OA2+OB2=7；即x12+x22=7.则根据根与系数的关系，此时的m值可求。(9)由于相切两圆的外公切线的长为：2Rr(其中R、r分别为O1、O2的半径)所以232121=?OBOA；即3=?OBOA；OA2OB=9；-x12x2=9；则-(m+1)=9；m=-10.