4垂径定理(优选).ppt

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1、罗定第一中学 赖芷蕴问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.27.2m m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实践探究实践探究把一个把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重圆沿着它

2、的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？么结论？判断：任意一条直径都是圆的对称轴（判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）X观察并回答观察并回答 （1）两条直径）两条直径AB、CD，CD平分平分AB吗？吗？（2）若把直径）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，向下平移，变成非直径的弦，弦弦AB是否一定被直径是否一定被直径CD平分？平分？ A D O C B A D O C B思考：当非直径的弦思考：当非直径的弦AB与直径与直径CD有什么位置关系时，弦有什么位置关系时，弦AB有可能被直径有可能被直径CD平分？平分？OABCDE 如图，如

3、图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E . 条件条件CD为直径为直径CDAB垂径定理的几何语言叙述垂径定理的几何语言叙述:CD为直径，为直径，AE=BE，AC=BC，AD=BD（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？（1 1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？结论结论AE=BEAC=BCAD=BD垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧CDAB引申定理 定理中的

4、定理中的径径可以是可以是直径、半径、弦心距等直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理。从而得到垂径定理的变式：的变式： 一条直线具有：一条直线具有： 平分弦平分弦 经过圆心经过圆心垂直于弦垂直于弦可推得可推得 平分弦所对的劣平分弦所对的劣（优）弧（优）弧判断下列图形，能否使用判断下列图形，能否使用垂径定理垂径定理？定理辨析定理辨析EDCOAB D C O A B E E O C D A BECOAB E D O A B E O A BABCDEABDC条件条件CDCD为直径为直径结论结论AC=BCAD=BDCDABCDABAE=BE平分弦平分弦 的直径的直径垂

5、直于弦，并且平分垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧（不是直径不是直径）垂径定理的推论垂径定理的推论: :CDABCDAB吗？吗？(E)(E)合作探究合作探究双基训练双基训练判断：判断：( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧. ( )(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ( )(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. 解：如图，设半径为解：如图，设半径为R，ABAD21, 7 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在tAODtA

6、OD中，中，由勾股定理，得由勾股定理，得,222ODADOA.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（m）.答：赵州桥的主桥拱半径约为答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OABCD37.47.2例：赵州桥例：赵州桥主桥拱的主桥拱的跨度跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m, 拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m，你能求出赵州桥，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）AB=37.4,CD=7.2R R18.7R-7.2R-7.21如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的

7、距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径应用新知识应用新知识解：解：OEAB222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半径为的半径为5cm.118422AEAB 在RtAOE中在在 O中中 E O A B变式：变式：图中两圆为同心圆图中两圆为同心圆变式变式3：隐去（变式：隐去（变式1）中的大圆，得）中的大圆，得右图连接右图连接OA，OB，设，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？ D C O A B变式变式4：隐去（变式：隐去（变式1）中的大）中的大圆，得右图，连接圆，得右图，连接OC，OD，设，设OC=OD，AC、BD有什么关系？

8、有什么关系？为什么？为什么？ D C O A B变式变式1 1：ACAC与与BDBD有什么关系？有什么关系？ D C O A B变式变式2 2：ACBD依然成立吗依然成立吗 N M D C O A B2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.课堂小结：课堂小结：别忘记还有我哟！别忘记还有我哟！1、教材、教材88页习题页习题24.1 第第8题；题；2、教辅书、教辅书48-51页页作业：作业：某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2 m ，过，过O 作作OC AB 于于D， 交圆弧于交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO