抛物线与圆综合探究题(含答案)_.docx

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1、抛物线与圆综合探究题(含答案)_抛物线与圆综合探究题(含答案)抛物线与圆综合探究题(含答案)专题：抛物线与圆综合探究题例1、抛物线2yaxbxc=+交x轴于A、B两点，交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为1x=，(3,0)B,(0,3)C-，求二次函数2yaxbxc=+的解析式；在抛物线对称轴上能否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请讲明理由；平行于x轴的一条直线交抛物线于MN、两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径解：1将(0,3)C-代入cbxaxy+=2，得3-=c将3-=c，(3,0)B代入cbxaxy+=2，得039=+cba1x

2、=是对称轴，12=-ab将2代入1得1=a，2-=b二次函数得解析式是322-=xxy2AC与对称轴的交点P即为到BC、的距离之差最大的点C点的坐标为(0,3)-，A点的坐标为(1,0)-，直线AC的解析式是33-=xy，又对称轴为1x=，点P的坐标(1,6)-3设1(,)Mxy、2(,)Nxy，所求圆的半径为r，则rxx212=-，.(1)对称轴为1x=，212=+xx(2)由1、2得：12+=rx(3)将(1,)Nry+代入解析式322-=xxy，得3)1(2)1(2-+-+=rry，.(4)整理得：42-=ry由于r=y，当0y时，042=-rr，解得，21711+=r，21712-=r

3、舍去，当0抛物线与圆综合探究题(含答案)抛物线与圆综合探究题(含答案)点A，抛物线yaxbxc=+2经过O、A两点。试用含a的代数式表示b；设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在D内，它所在的圆恰与OD相切，求D半径的长及抛物线的解析式；设点B是知足中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上能否存在这样的点P，使得POAOBA=43？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请讲明理由。1解法一：一次函数ykxk=-4的图象与x轴交于点A点A的坐标为4，0抛物线cbxaxy+=2经过O、A两点04160=+=bac，ab4

4、-=解法二：一次函数ykxk=-4的图象与x轴交于点A点A的坐标为4，0抛物线yaxbxc=+2经过O、A两点抛物线的对称轴为直线x=2=-=xba222解：由抛物线的对称性可知，DODA点O在D上，且DOADAO又由1知抛物线的解析式为yaxax=-24点D的坐标为24，-a当a0时，如图1，设D被x轴分得的劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA所在的圆与D关于x轴对称，设它的圆心为D点D与点D也关于x轴对称点O在D上，且OD与D相切点O为切点DOODDOADOA45ADO为等腰直角三角形=OD22点D的纵坐标为-2242124-=-=-=-abaa，抛物线的解析式为xxy

5、2212-=当a抛物线与圆综合探究题(含答案)抛物线与圆综合探究题(含答案)例3、如图，在直角坐标系中，C过原点O，交x轴于点A2，0，交y轴于点B0，23。求圆心的坐标；抛物线yax2bxc过O、A两点，且顶点在正比例函数y33x的图象上，求抛物线的解析式；过圆心C作平行于x轴的直线DE，抛物线与圆综合探究题(含答案)抛物线与圆综合探究题(含答案)交C于D、E两点，试判定D、E两点能否在中的抛物线上；若中的抛物线上存在点Px0，y0，知足APB为钝角，求x0的取值范围。解：1C经过原点O，AB为C的直径。C为AB的中点。过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH12OB3，OH12OA1。圆心C的

6、坐标为13。2抛物线过O、A两点，抛物线的对称轴为x1。抛物线的顶点在直线y33x上，顶点坐标为1，33把这三点的坐标代入抛物线抛物线yax2bxc，得04203cabcabc?=?+=?+=?解得3230abc?=?=?抛物线的解析式为2323yxx=。3OA2，OB3222(23)4AB=+=.即C的半径r2。D33，E13代入2323yxx=-检验，知点D、E均在抛物线上4AB为直径，当抛物线上的点P在C的内部时，知足APB为钝角。1x00，或2x03。例4、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。求抛物线的

7、解析式及点A、B、C的坐标；若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证实四边形CDAN是平行四边形；点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方能否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相ABCDEFOHxy抛物线与圆综合探究题(含答案)抛物线与圆综合探究题(含答案)切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请讲明理由。解：1由抛物线的顶点是M1，4，设解析式为2yax14a0又抛物线经过点N2，3，所以23a214解得a1所以所求抛物线的解析式为y22x14x2x3.令y0，得2x2x30，解得：12x1x3.，得A1，0B3，0；令x0，得y3，

8、所以C0，3.2直线y=kx+t经过C、M两点，所以t3kt4?即k1，t3直线解析式为yx3.令y0，得x3，故D3，0CD32连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F.设过A、N两点的直线的解析式为ymxn，则mn02mn3?解得m1，n1所以过A、N两点的直线的解析式为yx1所以DCAN.在RtANF中，AN3，NF3，所以AN32所以DCAN。因而四边形CDAN是平行四边形.3假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P1，u其中u0，则PA是圆的半径且222PAu2过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQPA时以P为圆心的圆与直线CD相切。由第2小

9、题易得：MDE为等腰直角三角形，故PQM也是等腰直角三角形，由P1，u得PEu，PM|4-u|，PQ2|4-u|2由22PQPA得方程：2224uu22，解得u426，舍去负值u426，符合题意的u426，所以，知足题意的点P存在，其坐标为1，426.例5、已知：如图，抛物线mxxy+-=332312与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，ACB90，求m的值及抛物线顶点坐标；过A、B、C的三点的M交y轴于另一点D，连结DM并延长交M于点E，过E点的M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；在条件下，设P为上的动点P不与C、D重合，连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终知

10、足AHAPk，假如存在，请写出求解经过；假如不存在，请讲明理由.抛物线与圆综合探究题(含答案)抛物线与圆综合探究题(含答案)解：由抛物线可知，点C的坐标为0，m，且m0.设Ax1，0，Bx2，0.则有x1x23m又OC是RtABC的斜边上的高，AOCCOBOBOCOCOA=21xmmx-=-，即x1x2m2m23m，解得m0或m3而m0，故只能取m3这时，4)3(3133323122-=-=xxxy故抛物线的顶点坐标为3，4解法一：由已知可得：M3，0，A3，0，B33，0，C0,3，D0，3抛物线的对称轴是x3，也是M的对称轴，连结CEDE是M的直径，DCE90，直线x3，垂直平分CE，E点

11、的坐标为23，333=ODOMOCOA，AOCDOM90，ACOMDO30，ACDEACCB，CBDE又FGDE，FGCB由B33，0、C0，3两点的坐标易求直线CB的解析式为：yx333可设直线FG的解析式为yx33n，把23，3代入求得n5故直线FG的解析式为yx335解法二：令y0，解xx332312-30得x13，x233，即A3，0，B33，0根据圆的对称性，易知：M半径为23，M3，0在RtBOC中，BOC90，OB33，OC3CBO30，同理，ODM30。而BMEDMO，DOM90，DEBCDEFG，BCFGEFMCBO30在RtEFM中，MEF90，ME23，FEM30，MF4

12、3，OFOMMF53，F点的坐标为53，0在RtOFG中，OGOFtan3053335G点的坐标为0，5直线FG的解析式为yx335解法二的评分标准参照解法一酌定解法一：存在常数k12，知足AHAP12连结CP由垂径定理可知?=ACAD，PACH或利用PABCACO又CAHPAC，ACHAPCACAPAHAC=即AC2AHAP在RtAOC中，AC2AO2OC2323212或利用AC2AOAB34312AHAP12抛物线与圆综合探究题(含答案)抛物线与圆综合探究题(含答案)解法二：存在常数k12，知足AHAP12设AHx，APy由相交弦定理得HDHCAHHP即)()33)(33(2xyxxx-=

13、-+-化简得：xy12即AHAP12例6、抛物线cbxaxy+=2(0下一页抛物线与圆综合探究题(含答案)抛物线与圆综合探究题(含答案)方法二由题意：?=+=+-0390cbacba，解得?-=-=acab32aaxaxy322-=下同方法一2方法一过点D作DEy轴于点E，易证DECCOBOBCEOCDE=331aa-=-12=a0下一页抛物线与圆综合探究题(含答案)抛物线与圆综合探究题(含答案)解：(1)由已知，有?=+?+?=-.8044122ccbaab，解得?=-=.821cba抛物线的解析式是y=-x2+2x+8.(2)令y=0，得方程-x2+2x+80，解得x1=-2，x2=4.点

14、A的坐标为(-2，0).在O中，由相交弦定理，得OA|OB|=|OC|OD|，即24=8|OD|，|OD|=1.点D在y轴的负半轴上，点D的坐标为(0，-1).在RtAOD中，|OA|=2，|OD|=1，OEAD，由勾股定理，有AD=2212+=5.又21|OA|OD|=21|AD|OE|，|OE|=552.|OA|2=|AE|AD|，即22=5|AE|，|AE|=554.同理，由|OD|2=|DE|AD|，得|DE|=55.设点E(x，y)，且x抛物线与圆综合探究题(含答案)抛物线与圆综合探究题(含答案)中，能否存在P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标：若不存在，请讲明理由；(3

15、)若Q的半径为r，点Q在抛物线上、Q与两坐轴都相切时求半径r的值解析(1)由题意，得；5392cbc=?+=?b=-4解得c=5抛物线的解析式为245yxx=-+(2)当P在运动经过中，存在P与坐标轴相切的情况设点P坐标为(00xy，)，则则当P与y轴相切时，有|x0|=1，x0=1由01x=-，得20141510y=+?+=1(110)P-，由01x=，得20214152(12)yP=-?+=，当P与x轴相切时有0|1y=抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方01y=由01y=，得200451xx-+=，解得y0=2，B(2，1)综上所述，符合要求的圆心P有三个，其坐标分别为：123(1,10),(1,2),(2,1)PPP-(3)设点Q坐标为(x，y)，则当Q与两条坐标轴都相切时，有y=x由y=x得2245550xxxxx-+=-+=，即，解得52x=由yx=-，得2245350xxxxx-+=-+=，即，此方程无解O的半径为52r=例9、已知：如图，抛物线2yxx=-+x轴分别交于AB，两点，与y轴交于C点，Me经过原点O及点AC，点D是劣弧?OA上一动点D点与AO，不重合1求抛物线的顶点E的坐标；2求Me的面积；