全国高中物理竞赛复赛试题及答案_.docx

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1、全国高中物理竞赛复赛试题及答案_全国高中物理竞赛复赛试题及答案第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷全卷共七题，总分为140分。一、15分图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心己知取无限远处的电势为零时，球外表处的电势为U=1000V在离球心O很远的O点附近有一质子b，它以Ek2000eV的动能沿与OO平行的方向射向a以l表示b与OO线之间的垂直距离，要使质子b能够与带电球体a的外表相碰，试求l的最大值把质子换成电子，再求l的最大值二、15分U形管的两支管A、B和水平管C都是由内径均匀的细玻璃管做成的，它们的内径与管长相比都可忽略不计己知三部分的截面积分别为2A1.010S-=?c

2、m2，2B3.010S-=?cm2，2C2.010S-=?cm2，在C管中有一段空气柱，两侧被水银封闭当温度为127t=时，空气柱长为l30cm如下图，C中气柱两侧的水银柱长分别为a2.0cm，b3.0cm，A、B两支管都很长，其中的水银柱高均为h12cm大气压强保持为0p76cmHg不变不考虑温度变化时管和水银的热膨胀试求气柱中空气温度缓慢升高到t97时空气的体积三、20分有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如下图在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫

3、星就会从通道口B冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星若人造卫星正好沿地球外表绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M20m，地球半径0R6400km假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的全国高中物理竞赛复赛试题及答案全国高中物理竞赛复赛试题及答案四、(20分)如下图，一半径为R、折射率为n的玻璃半球，放在空气中，平外表中央半径为0h的区域被涂黑一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个外表Ox为以球心O为原点，与平而

4、垂直的坐标轴通过计算，求出坐标轴Ox上玻璃半球右边有光线通过的各点有光线段和无光线通过的各点无光线段的分界点的坐标五、(22分)有一半径为R的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触现有另一质量与A一样，半径为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如下图，然后放手己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径r的值各应知足什么条件？六、(23分)两个点电荷位于x轴上，在它们构成的电场中，若取无限远处的电势为零，则在正x轴上各点的电势如图中曲线所示，当0x时

5、，电势U：当x时，电势0U；电势为零的点的坐标0x,电势为极小值0U-的点的坐标为0axa2。试根据图线提供的信息，确定这两个点电荷所带电荷的符号、电量的大小以及它们在x轴上的位置七、(25分)如下图，将一铁饼状小物块在离地面高为h处沿水平方向以初速0v抛出己知物块碰地弹起时沿竖直方向的分速度的大小与碰前沿竖直方向的分速度的大小之比为e1又知沿水平方向物块与地面之间的滑动摩擦系数为0：每次碰撞经过的时间都非常短，而且都是“饼面着地求物块沿水平方向运动的最远距离全国高中物理竞赛复赛试题及答案全国高中物理竞赛复赛试题及答案第二十届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答、评分标准一、参考解答令m表示质子

6、的质量，0v和v分别表示质子的初速度和到达a球球面处的速度，e表示元电荷，由能量守恒可知2201122mvmveU=+1由于a不动，可取其球心O为原点，由于质子所受的a球对它的静电库仑力总是通过a球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对O点的角动量守恒。所求l的最大值对应于质子到达a球外表处时其速度方向恰好与该处球面相切见复解20-1-1。以maxl表示l的最大值，由角动量守恒有max0mvlmvR=2由式1、2可得maxl=3代入数据，可得maxl=4若把质子换成电子，则如图复解20-1-2所示，此时式1中e改为e-。同理可求得maxl=5评分标准：此题15分。式1、2各4分，式42分

7、，式55分。全国高中物理竞赛复赛试题及答案全国高中物理竞赛复赛试题及答案二、参考解答在温度为1(27273)K=300KT=+时，气柱中的空气的压强和体积分别为10pph=+，11CVlS=2当气柱中空气的温度升高时，气柱两侧的水银将被缓慢压入A管和B管。设温度升高到2T时，气柱右侧水银恰好全部压到B管中，使管中水银高度增大CBbShS?=3由此造成气柱中空气体积的增大量为CVbS?=4与此同时，气柱左侧的水银也有一部分进入A管，进入A管的水银使A管中的水银高度也应增大h?，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为AVhS?=?5所以，当温度为2T时空气的体积和压强分别为21VVVV=

8、+?+?621pph=+?7由状态方程知112212pVpVTT=8由以上各式，代入数据可得2347.7T=K9此值小于题给的最终温度273370Tt=+=K，所以温度将继续升高。从这时起，气柱中的空气作等压变化。当温度到达T时，气柱体积为22TVVT=10代入数据可得30.72cmV=11评分标准：此题15分。求得式6给6分，式71分，式92分，式105分，式111分。全国高中物理竞赛复赛试题及答案全国高中物理竞赛复赛试题及答案三、参考解答位于通道内、质量为m的物体距地心O为r时见图复解20-3，它遭到地球的引力能够表示为2GMmFr=，1式中M是以地心O为球心、以r为半径的球体所对应的那部

9、分地球的质量，若以表示地球的密度，此质量能够表示为343Mr=2于是，质量为m的物体所受地球的引力能够改写为43FGmr=3作用于质量为m的物体的引力在通道方向的分力的大小为sinfF=4sinxr=5为r与通道的中垂线OC间的夹角，x为物体位置到通道中点C的距离，力的方向指向通道的中点C。在地面上物体的重力能够表示为02GMmmgR=6式中0M是地球的质量。由上式能够得到043gGR=7由以上各式能够求得mgfxR=8可见，f与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数为0mgkR=9物体将以C为平衡位置作简谐振动，振动周期为2T=0x=处为“弹性势能的零点，设位于通道出口处的质量为m的静止物

10、体到达0x=处的速度为0v，则根据能量守恒，有2220011()22mvkRh=-10式中h表示地心到通道的距离。解以上有关各式，得全国高中物理竞赛复赛试题及答案全国高中物理竞赛复赛试题及答案22200RhvgR-=11可见，到达通道中点C的速度与物体的质量无关。设想让质量为M的物体静止于出口A处，质量为m的物体静止于出口B处，现将它们同时释放，由于它们的振动周期一样，故它们将同时到达通道中点C处，并发生弹性碰撞。碰撞前，两物体速度的大小都是0v，方向相反，刚碰撞后，质量为M的物体的速度为V，质量为m的物体的速度为v，若规定速度方向由A向B为正，则有00MvmvMVmv-=+，12222200

11、11112222MvmvMVmv+=+13解式12和式13，得03MmvvMm-=+14质量为m的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口B处时的速度为u，则有22220201()222kRhmumv-+=15由式14、15、16和式9解得222208()()RhMMmugRMm-=+16u的方向沿着通道。根据题意，卫星上的装置可使u的方向改变成沿地球B处的切线方向，如果u的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有20200MmuGmRR=17由式16、17并注意到式6，能够得到h18已知20M=m，则得00.9255920kmhR=19评分标准：此题20分。求得式11给7分，求得式16给6分，式1

12、72分，式183分，式192分。四、参考解答图复解20-4-1中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路图中阴影处是无光线进入的区域，光线在球面上的入射角和折射角分别为i和i，折射光线与坐标轴的交点在P。令轴上OP的距离为x，MP的距离为l，根据折射定律，有sinin=1全国高中物理竞赛复赛试题及答案全国高中物理竞赛复赛试题及答案在OMP?中sinsinlxii=22222coslRxRxi=+-3由式1和式2得xnl=再由式3得2222(2cos)xnRxRxi=+-设M点到Ox的距离为h，有sinhRi=cosRi=得22222xRxn=+-2221(1)20xRn-=4解式4可得x=5为排除

13、上式中应舍弃的解，令0h，则x处应为玻璃半球在光轴Ox上的傍轴焦点，由上式2(1)111nnnnxRRRnnn=-+-或由图可知，应有xR，故式5中应排除号中的负号，所以x应表示为x=6上式给出x随h变化的关系。由于半球平外表中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有0hh，其中折射光线与Ox轴交点最远处的坐标为全国高中物理竞赛复赛试题及答案全国高中物理竞赛复赛试题及答案0x7在轴上0xx处，无光线通过。随h增大，球面上入射角i增大，当i大于临界角Ci时，即会发生全反射，没有折射光线。与临界角Ci相应的光线有CC1sinhRiRn=这光线的折射线与轴线的交点处于Cx=8在轴Ox上CRxx处无

14、光线通过，给10分；求得式8并指出在Ox轴上0xx全国高中物理竞赛复赛试题及答案全国高中物理竞赛复赛试题及答案圆柱B受圆柱A的正压力为3N，切向摩擦力为3F，如图复解20-5所示。各力以图示方向为正方向。已知圆柱A与地面的摩擦系数10.20，两圆柱间的摩擦系数30.30。设圆柱B与墙面的摩擦系数为2，过两圆柱中轴的平面与地面的交角为?。设两圆柱的质量均为M，为了求出1N、2N、3N以及为保持平衡所需的1F、2F、3F之值，下面列出两圆柱所受力和力矩的平衡方程：圆柱A：133sincos0MgNNF?-+=1133cossin0FNF?-+=213FRFR=3圆柱B：233sincos0MgFN

15、F?-=4233cossin0NNF?-+=532FrFr=6由于33FF=，所以得1233FFFFF=7式中F代表1F，2F，3F和3F的大小。又因33NN=，于是式1、2、4和5四式成为：13sincos0MgNNF?-+=83cossin0FNF?-+=93sincos0MgFNF?-+-=1023cossin0NNF?-+=11以上四式是1N，2N，3N和F的联立方程，解这联立方程可得2NF=1231sin1cossinNMg?+=+13cos?全国高中物理竞赛复赛试题及答案全国高中物理竞赛复赛试题及答案12cos2sin1cossinNMg?+=+15式12、13、14和15是平衡时

16、所需要的力，1N，2N，3N没有问题，但1F，2F，3F三个力能不能到达所需要的数值F，即式12、14要受那里的摩擦系数的制约。三个力中只要有一个不能到达所需的F值，在那一点就要发生滑动而不能保持平衡。首先讨论圆柱B与墙面的接触点。接触点不发生滑动要求222FN由式12，得221FN=所以2116再讨论圆柱A与地面的接触点的情形。按题设此处的摩擦系数为10.20，根据摩擦定律fN，若上面求得的接地点维持平衡所需的水平力1F知足111FN，则圆柱在地面上不滑动；若111FN，这一点将要发生滑动。圆柱A在地面上不发生滑动的条件是111cos2cos2sinFN?=+17由图复解20-5可知cosR

17、rRr?-=+18sin?19由式17、18和式19以及10.20，能够求得19rR20即只要当19rR时，圆柱A在地面上才能不滑动。最后讨论两圆柱的接触点。接触点不发生滑动要求333cos1sinFN?=+21由式18、19以及0.30，可解得全国高中物理竞赛复赛试题及答案全国高中物理竞赛复赛试题及答案270.2913rRR?=?22显然，在平衡时，r的上限为R。总结式20和式22，得到r知足的条件为0.29RrR23评分标准：此题22分。求得式7、12、13、14、15各2分，式163分，求得式239分。六、参考解答在点电荷构成的电场中一点的电势与离开该点电荷的距离成反比。由于取无限远处为

18、电势的零点，故正电荷在空间各点的电势为正；负电荷在空间各点的电势为负。现已知0xx=处的电势为零，故可知这两个点电荷必定是一正一负。根据所提供的电势的曲线，当考察点离坐标原点很近时，电势为正，且随x的减小而很快趋向无限大，故正的点电荷必定位于原点O处，以1Q表示该点电荷的电量。当x从0增大时，电势没有出现负无限大，即没有经过负的点电荷，这表明负的点电荷必定在原点的左侧。设它到原点的距离为a，当x很大时，电势一定为负，且趋向于零，这表明负的点电荷的电量的数值2Q应大于1Q。即产生题目所给的电势的两个点电荷，一个是位于原点的正电荷，电量为1Q；另一个是位于负x轴上离原点距离a处的负电荷，电量的大小

19、为2Q，且2Q1Q。按题目所给的条件有21000QQkkxxa-=+121000QQkkUaxaxa-=-+2因0xax=时，电势为极小值，故任一电量为q的正检测电荷位于0xax=处的电势能也为极小值，这表明该点是检测电荷的平衡位置，位于该点的检测电荷遭到的电场力等于零，因而有1222000()()QQkkaxaxa-=+3由式1、2和3可解得0(2)aaax=-40012axUQak=-52002(1)2UxaaQak-=-6全国高中物理竞赛复赛试题及答案全国高中物理竞赛复赛试题及答案评分标准：此题23分。式1、2各4分，式36分，式4、5、6各3分。七、参考解答设物块在1A点第一次与地面碰

20、撞，碰撞前水平速度仍为0v，竖直速度为0u1碰撞后物块的竖直速度变为1u，根据题意，有10ueu=2设物块的质量为m，碰撞时间为t?，由于碰撞时间极短，物块与地面间沿竖直方向的作用力比重力大得多，可忽略重力的作用，这样，物块对地面的正压力的大小为011mumuNt+=?3水平方向动量的变化是水平摩擦力的冲量作用的结果，设水平方向速度变为1v，则有101mvmvNt-=-?4由以上各式得100(1)vveu=-+5同理，在落地点2A，3A，nA其碰撞后的竖直分速度分别为220ueu=330ueu=0nnueu=6其水平速度分别为200(1)(1)vveeu=-+2300(1)(1)vveeeu=

21、-+2100(1)(1)nnvveeeeu-=-+7由式6可知，只要当碰撞次数n时，碰地后竖直方向的分速度nu才趋向于零，但物块全国高中物理竞赛复赛试题及答案全国高中物理竞赛复赛试题及答案物块沿水平方向的分速度一定经历有限次数碰撞后即变为零，且不会反向。设经过0nn=次碰撞，物块沿水平方向的分速度已经足够小，再经过一次碰撞，即在01nn=+次碰撞结束后，水平方向的分速度恰好变为零。因010nv+=，由式70200(1)(1)0nveeeeu-+=0100(1)(1)01neeuve+-=-010 (1)1(1)neveeu+-=-+两边取对数000(1)11lg1lg(1)evneeu?-+=

22、-?+?8令00(1)1lg1lg(1)evBeeu?-=-?+?9若B恰为整数，这表示这次碰撞中，经过整个碰撞时间t?，水平速度变为零，则碰撞次数01nB+=有01nB=-10若B不是整数，此种情况对应于在01nn=+次碰撞结束前，即在小于碰撞时间内，水平速度变为零。则碰撞次数011nB+=+有0nB=11B表示B的整数部分。由于经过01n+次碰撞，物块沿水平方向的分速度已为零，但竖直方向的分速度尚未为零，故物块将在01nA+处作上下跳跃，直到00neu，即n，最后停止在01nA+处。物块运动的最远水平距离001nsAA+=。下面分别计算每次跳跃的距离。010uAAvg=12全国高中物理竞赛

23、复赛试题及答案全国高中物理竞赛复赛试题及答案20001121222(1)euveuuAAveggg=-+2220002322(1)(1)euveuAAeegg=-+00000212000122(1)(1)nnnnneuveuAAeeeegg-+=-+13所求距离为上述所有量的总和，为222320000022()(1)(1)(1)nuuvusveeeeeeeeeeggg=+-+0012(1)nneeee-+14分别求级数的和：2311nneeeeeee-+=-15000001232223232233(1)(1)(1)1111111(1)(1)(1)(1)1nnnnnneeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee-+-=+-=-+-+-+-000122221()11nnneeeeee+-+=-16将以上两个关系式和0u=14，得00012142)(1)(1)1(1)nnneehsveeeee+-=+-17式中0n由式10或式11决定。评分标准：此题25分。式63分，式76分，式84分，式102分，式112分，式145分，求得式17并讲明0n的取值，给3分。THEEND