孙晓天：运算能力.ppt

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1、如何理解和把握标准中的运算能力l孙晓天l中央民族大学l邮箱：内容：一、运算能力的历史二、运算能力的现状三、运算能力的内涵四、运算能力的实现20012001：数感数感 符号感符号感 空间观念空间观念 统计观念统计观念 应用意识应用意识 推理能力推理能力 2011版版： 数感数感 符号意识符号意识 运算能力运算能力 模型思想模型思想 空间观念空间观念 几何直观几何直观 推理能力推理能力 数据分析观念数据分析观念 应用意识应用意识 创新意识创新意识 何谓运算能力运算能力：l标准（2011）的十个核心概念之一，是唯一新增的内容，值得特别关注。l运算能力“主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力

2、。培养运算能力要有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。” l关键词：算理、运算途径（算法）、合理简洁，寻找；l“寻找”是新提法。一. 运算能力的历史l19011907l1923l1940l1952l2001l20111901-1907，小学校各科教授法中的数学教育目标：“儿童入校之始，使知应用之方法。必备实质的陶冶，与形式的陶冶两方面，互相联络，方有心得，授以生活上必须之知识，谓之实质的陶冶。而算术之本质，则为形式的陶冶。教者由浅入深，学者循序渐进，既明且融，变化莫测，而算术之能事尽矣。”1923年算术科课程纲要的教学要求：（1）宜注意从学生生活里使学生发展需要工具的动机；

3、（2）计算宜注重练习，以便养成正确而迅速的习惯；（3）问题以切合学生生活的为主体；成人的事务，若是学生不能想象的，虽似实用也不适宜；（4）方法、原理宜用归纳的建造，不宜用演绎的推展。1940年代小学算术教学法的教学注意事项和教学原则：“教学原则（1）培养儿童计算的观念于日常生活中，实现做学教合一；（2）设置算学的环境，将校内走廊、运动场、学校校园，标明长阔的尺寸及其面积，各教室中标明长、阔、高及面积与体积等；（3）教学新方法，应从实在的需要出发，使数目的计算有相当的依据，切忌选用无意义的问题；（4）练习时宜多方变化，能利用儿童的成功的兴趣，使之自动地努力，切忌苛责儿童过失。即使有错误，应循循善

4、诱地推求其错误的原因，设法消除它；（5）心算是算术的基础，笔算、珠算是帮助心算的工具，所以三者应充分地联络，切不可故意割裂，造成事倍功半的现象。” 1952 1952陈建功先生三大原则陈建功先生三大原则l心理性原则心理性原则教材的内容，对于学生教材的内容，对于学生宜富于宜富于兴趣兴趣；枯燥无味的东西，决不能充作教材；枯燥无味的东西，决不能充作教材；l论理性原则论理性原则成人所喜之推理或实用问题，成人所喜之推理或实用问题，未必为未成年的青年所满足。吾人应该站在学未必为未成年的青年所满足。吾人应该站在学生的立场；生的立场；顺应学生的心理发展顺应学生的心理发展去教育学生，去教育学生，才能满足他们的真

5、实感。才能满足他们的真实感。l实用性原则实用性原则某些教材某些教材, ,虽然具有高度的实虽然具有高度的实用性价值或高度的论理性价值用性价值或高度的论理性价值, ,假使学生假使学生不发不发生任何真实感生任何真实感, ,就心理的原则而言就心理的原则而言, ,这些教材这些教材, ,简直是没有教育的价值简直是没有教育的价值。1952小学算术教学大纲l“在算术教学中，培养儿童有计算的熟练技巧在算术教学中，培养儿童有计算的熟练技巧是非常重要的。这主要依靠各种练习来完成。是非常重要的。这主要依靠各种练习来完成。例如演算式题，解应用题例如演算式题，解应用题。演算式题和解应。演算式题和解应用题的练习除在课内进行

6、外还要在课外进行，用题的练习除在课内进行外还要在课外进行，养成巩固的熟练技巧。养成巩固的熟练技巧。必须要求儿童在笔算必须要求儿童在笔算和口算方面都要做到完全正确和准确，书写要和口算方面都要做到完全正确和准确，书写要工整，并对演算结果负责。工整，并对演算结果负责。”l“无论如何不应为联系各科而破坏了算术本身无论如何不应为联系各科而破坏了算术本身的系统性的系统性”思考：l1952年教育部根据苏联小学算术教学大纲全文翻译，因此不是中国而是苏联的传统；l1950年代后的20多年，中国的算术跟着苏联走向了“对、快、训练、灵活、简便”； l有苏联的影响，也有时代的局限的原因，但从中反思仍有现实意义。l提出

7、“重视口算，加强估算、提倡（鼓励）算法多样化”；l虽然“算法多样化”略显粗糙，但已经开始走出一条新路；2001年标准（实验稿）中的运算能力标准（2011） 中的运算能力运算能力：l重在运算的道理及算法的发现，是标准2001的新进展（升级版 ）。l运算能力：“主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力要有助于学生理解运算的算理，寻求的运算途径解决问题。”l关键词：算理、运算途径（算法）、合理简洁、寻找；l可以概括为：理解算理、发现算法。注：l历史告诉我们，标准2011中运算能力的思路并不是从2001之后才有的；l什么是中国人自己的传统，什么是“舶来品”有必要弄清。二二. .

8、运算能力的现实运算能力的现实质疑的声音不少（均引自文献）：l现在新的课程标准和新的教材对计算能力的要求较以前减弱； l最近几年学生的运算能力越来越差；l引入计算器之后，很多学生对计算器有了依赖，口算，笔算能力都有退化的迹象；l。l问题究竟在哪里？N极小值极大值均值标准差偏度中国试卷A1940.499.685.00013.7639-1.980日本试卷A1954.398.482.20513.0807-.791N极小值极大值均值标准差偏度中国试卷B1420.493.767.91419.7610-1.173日本试卷B1418.291.063.37920.8857-.810下表分别为试卷下表分别为试卷A

9、和试卷和试卷B的各个描述统计量的各个描述统计量结果分析：l在计算技能（在计算技能（A卷）上，中国学生优于日本卷）上，中国学生优于日本，这反映了我国算术教学的传统和优势，但中国中国学生在掌握一些重要的概念方面不如日本学生学生在掌握一些重要的概念方面不如日本学生扎实，如关于数轴和刻度概念的理解与应用，中国学生有明显的分数差距。结果分析：l中国学生数学阅读和数据处理的能力（中国学生数学阅读和数据处理的能力（B B卷）明显低于日本卷）明显低于日本，比日本学生平均低20分，其中要求读百分比图作出选择和判断，中国学生得分只有20分，比日本学生低24分。二二. . 运算能力的现实运算能力的现实l从这个测试看

10、，中国学生机械计算能力已经较强，是我们的强项；l解决与现实生活相关的实际问题方面能力较弱，是我们的弱项；l据统计，当前我国小学各类数学试卷中，涉及机械计算的题目仍占85%以上；l强项仍在锦上添花，“投入与产出”之间可能存在问题。听听弗兰登塔尔的声音（作为教育任务的数学(1973) ）：为了“快快”的教学是一种类似于把学生训练的教学是一种类似于把学生训练成计算机的教育成计算机的教育, ,即学生只能被动的执行程序即学生只能被动的执行程序, ,缺少自己发挥主动性和创造性的空间。缺少自己发挥主动性和创造性的空间。其结果其结果, ,不仅在计算方面人无法与计算机相比不仅在计算方面人无法与计算机相比, ,反

11、而极大反而极大的抑制了学生主动性和创造性的发展。的抑制了学生主动性和创造性的发展。 再看标准中的运算能力运算能力： 主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力要有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。注：这是一个与“主动性、创造性”密切相关的运算能力。结论：l对机械计算对机械计算“用力过度用力过度”的倾向需要调整；的倾向需要调整；l当前：强项适度，弱项为要；就运算能力而言，当前：强项适度，弱项为要；就运算能力而言，则是机械训练适度，理解为要；则是机械训练适度，理解为要；l改革就是弥补弱项，要关注对算理、算法的认改革就是弥补弱项，要关注对算理、算法的认知，着

12、眼知，着眼“理解、寻找理解、寻找”；l运算能力已经成为运算能力已经成为“算法多样化的算法多样化的”升级版，升级版，但真正成为一块供学生探索发现的沃土尚有距但真正成为一块供学生探索发现的沃土尚有距离。离。三、运算能力的内涵何谓算理、何谓算法？何谓算理、何谓算法？l算理是指算理是指：关于什么是运算以及使运算可执行的道理关于什么是运算以及使运算可执行的道理l大体可分为二个层次：大体可分为二个层次：1.1.什么是运算（隐性算理）什么是运算（隐性算理）2.2.使运算可执行所必须的规则（显性算理）使运算可执行所必须的规则（显性算理）1. 什么是运算l“俩得一个俩得一个”（映射（映射：A AA AA A；

13、（a,ba,b） c c）；）；l如：如：1.1.加法：加法：a ab b：从：从a a向前数到向前数到b b；2.2.减法：减法：a ab b：从：从a a向后数到向后数到b b；3.3.乘法：乘法：a ab b：a a个相同的数（连加）向前连个相同的数（连加）向前连数数b b次；次；4.4.除法：除法：a ab b：b b个相同的数从个相同的数从a a （连减）向（连减）向后连数到不够数（不够减）；后连数到不够数（不够减）；1.什么是运算l“俩得一个俩得一个”（映射（映射：A AA AA A； （a,ba,b） c c）是）是隐性的、最具成长性的隐性的、最具成长性的道理，道理，“数（三声）

14、数（三声）”是一切是一切“算法算法”之之本，代数之源；本，代数之源；l但仅仅知道什么是运算的道理还远远不够；但仅仅知道什么是运算的道理还远远不够；2.保证运算可执行依据的道理如：l十进制（位值制、位置值、进位制、10）；l相等、等式（及其性质）；l算律（交换、结合、分配）；l特殊的数（元素）；都是显性的、最具成长性的算理。注：l算理的外延可以有弹性，但不要把算理泛化，算理越多，算法越少，探索的空间就越小。三、运算能力的内涵何谓算法？l除前述“算理”之外基本都是算法；l算法即运算途径，即基于算理，能使运算合理简洁（巧、快、灵、省）进行的运算途径（如：“凑十法”中的 “想大算小”；乘法口诀；竖式；

15、通分；） 。思考：l无论心算、口算、笔算、整数、小数、分数，运算形式的任何变化、演进，技巧、方法均基于算理；l运算能力是由算理到算法、从算的“慢、笨”到“快、巧”的探索过程中逐步形成的；l运算是一种技能，也是一块发现的土壤；l要在解决了“理解和寻找”的问题之后，再适度训练，再讲究“快”；l“快”要有依据，要把“训练”的教育价值想清楚。四、运算能力的实现 例：639412=?3.形成合理简洁的新竖式（算法）1. 基于算理解决问题2.对得到的竖式进行调整和加工;4.用数学语言精确表述得到的新算法;1590 5300159100310353 5459 基于算理的竖式解决问题基于位值的一般竖式算法53

16、 5459 103531515915900“理解与寻找”的结果是：建议：建议：l运算能力内涵的变化，是当前教学改革需要关注运算能力内涵的变化，是当前教学改革需要关注的一个焦点，是挑战也是机遇；的一个焦点，是挑战也是机遇；l只要给学生留出较充分的探索空间，教师再多一只要给学生留出较充分的探索空间，教师再多一些恰当引导，每个算法都可能被学生找到，都能些恰当引导，每个算法都可能被学生找到，都能成为发现和创造的富饶土壤；成为发现和创造的富饶土壤；l引导学生寻找，并不是一种比讲授更复杂的教学引导学生寻找，并不是一种比讲授更复杂的教学方式，为这种教学方式的常态化而努力是值得的。方式，为这种教学方式的常态化而努力是值得的。建议：l我们应当站在新的历史起点上为运算能力的教育价值定位l我们要从学生的全面发展、健康成长出发思考运算能力的培养问题l围绕运算能力的探讨与实践是当前提升教师教学能力的重要推手！ 谢 谢 大 家