2441弧长和扇形面积(1.ppt

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1、的两段弧是的两段弧是等弧等弧吗？吗？ 答：不一定，因为它们不一定完答：不一定，因为它们不一定完全重合全重合. .也就是说形状不一定相同也就是说形状不一定相同. .知识回顾知识回顾 4. n的圆心角呢？的圆心角呢？2CR半径为半径为R圆的周长为圆的周长为可以看作是可以看作是360圆心角所对的弧长圆心角所对的弧长1的圆心角所对弧长是的圆心角所对弧长是 12360Rn的圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长12360180n RlRn 1. 你还记得圆周长的计算公式吗？你还记得圆周长的计算公式吗？2. 圆的周长可以看作是圆的周长可以看作是多少度的圆多少度的圆 心角心角所对的所对的弧长弧长？3. 1的圆心

2、角所对弧长是多少？的圆心角所对弧长是多少？Rn1O问题探究1：弧长公式弧长公式 1802360rnrnl即180rnl若设若设O O半径为半径为R R， n n的圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长为为 ，则，则 l注意注意：在应用弧长公式在应用弧长公式L L ， 进行计算时，进行计算时，要注意公式中要注意公式中n n的意义的意义n n表示表示1 1圆心角的圆心角的倍数倍数，它，它是不带单位的。是不带单位的。应用应用：已知公式中的：已知公式中的任意两个量任意两个量，可以求第，可以求第三三个量。个量。180Rn 例例1：已知圆弧的半径为已知圆弧的半径为5050厘米，圆心角为厘米，圆心角为6060，

3、求此圆弧的长度求此圆弧的长度。6050180180n Rl=350(cm)答：此圆弧的长度为答：此圆弧的长度为350cm (1)(1)已知圆的半径为已知圆的半径为10cm,10cm,半圆的弧长为半圆的弧长为( )( ) (2)(2)已知圆的半径为已知圆的半径为9cm 9cm ，6060圆心角所对的弧圆心角所对的弧长为长为( )( ) (3)(3)已知半径为已知半径为3 3，则弧长为，则弧长为的弧所对的圆心角的弧所对的圆心角为为_ _ (4)(4)已知圆心角为已知圆心角为150150，所对的弧长为，所对的弧长为2020，则，则圆的半径为圆的半径为_。10cm600243cm例例3；制造弯形管道时

4、，要先按中心线计算制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长展直长度度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单单位：位：mm，精确到，精确到1mm)解：由弧长公式，可得弧解：由弧长公式，可得弧AB 的长的长因此所要求的展直长度因此所要求的展直长度 L （mm） 297015707002答：管道的展直长度为答：管道的展直长度为2970mm 我们应该学会把实我们应该学会把实际问题转化为数学际问题转化为数学问题问题. .mml15705001809001001.一块等边三角形的木板，边长为一块等边三角形的木板，边长为1，现将木，现将木板沿水平线翻滚板沿水平线翻滚

5、(如图如图)，那么，那么B点从开始至结点从开始至结束所走过的路径长度为束所走过的路径长度为 （ ）A. B.C. D.233423B解析lA BC l34ln例例2、如图所示，、如图所示，ABC内接于内接于 O， O的的半径半径R=3cm，若，若B=45，则弧，则弧AC的长是的长是_1.51.已知弧所对的圆心角为已知弧所对的圆心角为900，半径是，半径是4，则弧，则弧长为长为_ 2. 已知一条弧的半径为已知一条弧的半径为9，弧长为，弧长为8 ，那么，那么这条弧所对的圆心角为这条弧所对的圆心角为_。3. 钟表的轴心到分针针端的长为钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经那么经过过40分钟分钟,分

6、针针端转过的弧长是分针针端转过的弧长是( ) A. B. C. D. cm310cm320cm325cm3502160B5.有一段弯道是圆弧形的，道长是有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧，弧所对的圆心角是所对的圆心角是81，求这段圆弧的半径，求这段圆弧的半径R.5 . 8 .5 . 88112180180,180,8181,12mmnlRRnlnml为答：圆弧弯道的半径约所以由弧长公式得即，圆心角为解：道长 8 已知矩形已知矩形ABCD的长的长AB=4,宽宽AD=3,按如图按如图放置在直线放置在直线AP上上,然后不滑动地转动然后不滑动地转动,当它转动一当它转动一周时周时( A A/),顶点

7、顶点A所经过的路线长等所经过的路线长等于于 。A/PDCBA6o半半径径半半径径圆心角弧弧AB弧弧半半径径圆心角AOB扇形面积越大，圆心角就越大。扇形面积越大，圆心角就越大。由组成由组成圆心角圆心角的的两条半径两条半径和圆心角和圆心角所对的所对的弧弧所围成的图形叫做所围成的图形叫做扇形扇形. .弓形：由弓形：由弦弦及其所对的及其所对的弧弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形弓形由组成由组成圆心角圆心角的的两条半径两条半径和圆心角和圆心角所对的所对的弧弧所围成的图形叫做所围成的图形叫做扇形扇形. .ABOC 在在O中，由半径中，由半径OA,OB和和 所

8、所构成的图形是扇形构成的图形是扇形.AB 在在O中，由半径中，由半径OA,OB和和 所所构成的图形是扇形构成的图形是扇形.ACB在同圆或等圆中，由于相等的圆心角所对的弧相等，在同圆或等圆中，由于相等的圆心角所对的弧相等，所以具有相等圆心角的扇形，其面积也相等所以具有相等圆心角的扇形，其面积也相等. 从 练习 中 悟 方 法 怎样计算怎样计算圆心角为圆心角为n0的的扇形扇形的的面积面积？问题探究问题探究2：3. 1的圆心角所对的扇形面积是多少？的圆心角所对的扇形面积是多少？ 圆心角为圆心角为n的扇形面积是的扇形面积是2SR ，2.360n RS扇形1. 你还记得圆面积公式吗？你还记得圆面积公式吗

9、？2. 圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？4. n的圆心角呢？的圆心角呢？圆的面积公式：圆的面积公式：360的圆心角所对的扇形的面积的圆心角所对的扇形的面积,1的圆心角所对的扇形面积是的圆心角所对的扇形面积是212360R ，Rn1O3602RnS扇形扇形面积公式扇形面积公式 若设若设 O半径为半径为R，圆心角为，圆心角为n。则扇形。则扇形的面积为的面积为 ：注意注意: （1）在应用扇形的面积公式）在应用扇形的面积公式S扇形扇形= 进行计进行计算时，要注意公式中算时，要注意公式中n的意义的意义n表示表示1圆心角的倍数圆心角的倍数，它

10、是不带单位的；它是不带单位的；（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. . 360Rn2结论结论：n例例2、如图是圆心角为、如图是圆心角为30，半径分别是，半径分别是1,3,5,7的扇形组成的图形，阴影部分的面积的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为依次记为S1，S2，S3 ，则，则S50=_661 1、已知扇形的圆心角为、已知扇形的圆心角为120120，半径为，半径为2 2，则这个扇形的面积，则这个扇形的面积，S S扇扇= =_ _ . .342、如图，这是中央电视台、如图，这是中央电视台“曲苑杂谈曲苑杂谈”中的一副中的一副图案，它是一扇

11、形图形，其中图案，它是一扇形图形，其中AOB为为1200，OC长为长为8cm，CA长为长为12cm，则贴纸部分的面积为，则贴纸部分的面积为_112如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是半径是0.6cm0.6cm，其中水面高，其中水面高0.3cm0.3cm，求截面，求截面上有水部分的面积。（精确到上有水部分的面积。（精确到0.01cm0.01cm）。）。0 0B BA AC CD D弓形的面积弓形的面积 = S= S扇扇- S- S提示：要求的面积，可提示：要求的面积，可以通过哪些图形面积的以通过哪些图形面积的和或差求得和或差求得加深拓展加深拓展解：如图，

12、连接解：如图，连接OAOA、OBOB，作弦，作弦ABAB的垂直平分线，的垂直平分线，垂足为垂足为D D，交弧，交弧ABAB于点于点C. C. OC=0.6OC=0.6，DC=0.3 DC=0.3 在在RtRtOADOAD中，中，OA=0.6OA=0.6，利用勾股定理可得：，利用勾股定理可得：30.33 . 00.6AD2222ODOAOD=OC-DC=0.6-0.3=0.3OD=OC-DC=0.6-0.3=0.3AOD=60AOD=60， AOB=120AOB=120在在RtRt OAD OAD中，中，OD=0.5OAOD=0.5OAOABABSSO扇形0.60.30 0B BA AC CD

13、D OAD=30OAD=3021200.61O3602ABD3 . 036 . 02112. 022. 0有水部分的面积为有水部分的面积为= =变式：变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是截面半径是0.6cm0.6cm，其中水面高，其中水面高0.9cm0.9cm，求截，求截面上有水部分的面积。面上有水部分的面积。0ABDCE弓形的面积弓形的面积 = S= S扇扇+ S+ S309. 012. 03 . 036 . 02112. 0216 . 03601202ODAB弓形面积可转化为弓形面积可转化为扇形面积减去三角扇形面积减去三角形面积来求解形面积来求解

14、. . CD解：如图，连接解：如图，连接OA、OB，作弦，作弦AB的垂直的垂直线线OD，垂足为，垂足为D, 交交 与点与点C。OC=0.6 DC=0.3OD=OC-CD=0.3在在RtOAD中，中，OA=0.6 利用勾股定理可得，利用勾股定理可得，AD=0.3在在RtOAD中中,OD= OA OAD=30AOD=60AOB=120有水部分的面积有水部分的面积 S=S扇形扇形OAB -SOAB AB213309. 012. 0例例1.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是径是0.6cm，其中水面高，其中水面高0.3cm，求截面上有水，求截面上有水部分的面

15、积。部分的面积。0BACDS弓形弓形= S扇形扇形- S练习：练习：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是面半径是0.6cm，其中水面高，其中水面高0.9cm，求截面上，求截面上有水部分的面积有水部分的面积.0ABDCES弓形弓形= S扇形扇形+S感悟：感悟：当弓形面积小于半圆时当弓形面积小于半圆时S弓形弓形= S扇形扇形-S当弓形面积大于半圆时当弓形面积大于半圆时S弓形弓形= S扇形扇形+Sv S弓形弓形=S扇形扇形-S三角形三角形v S弓形弓形=S扇形扇形+S三角形三角形规律提升规律提升00 0弓形的面积是扇形的面积与三角形弓形的面积是扇形的面积与三角

16、形面积的和或差面积的和或差组合图形的面积：组合图形的面积：（1）割补法）割补法（2）组合法）组合法其中：其中：当弓形面积小于半圆时当弓形面积小于半圆时S弓形弓形= S扇形扇形-S当弓形面积大于半圆时当弓形面积大于半圆时S弓形弓形= S扇形扇形+S3602RnS扇形180RnlABOO对比对比联系联系比较扇形比较扇形面积面积(S)公式公式和和弧长弧长(l)公式公式,你你能用能用弧长弧长来来表示扇形的面积表示扇形的面积吗吗?问题问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？：扇形的面积公式与什么公式类似？ lRS21扇形3

17、602RnS扇形180RnlRRnRRnS180212180扇形lR21ahS21（1 1）当已知弧长）当已知弧长L L和半径和半径R R，求扇形面积，求扇形面积时，应选用时，应选用（2 2）当已知半径和圆心角的度数，求扇）当已知半径和圆心角的度数，求扇形面积时，应选用形面积时，应选用LRS21扇形3602RnS扇形扇形所对的弧长扇形所对的弧长扇形的面积是扇形的面积是180RnLLRRRnRnS2121803602扇形v例例1、某扇形的周长是、某扇形的周长是28cm，面积为，面积为49平方厘米，则这个扇形的半径是平方厘米，则这个扇形的半径是_v例例2、如图，在、如图，在RtABC中，中，C=9

18、0，AC=4，BC=2，分别以，分别以AC、BC为直径为直径画半圆，则画半圆，则S阴影阴影=_7cm2.5-4v例例5、（、（1）如图，）如图，ABBC，AB=BC=2cm，弧弧OA与弧与弧AC关于点关于点O中心对称，则中心对称，则AB、BC、弧弧OA与弧与弧AC所围成的图形的面积是所围成的图形的面积是_2v（2）如图，水平地面上有一面积为）如图，水平地面上有一面积为30平方平方厘米的扇形厘米的扇形AOB，半径，半径OA=6cm，且，且OA与与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至右滚动至OB与地面垂直为止，则与地面垂直为止，则O点移动的点移动的距

19、离为距离为_103.（2009年长春年长春）如图，方格纸中如图，方格纸中4个个小正方形的边长均为小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为小扇形的面积和为 （结果保留（结果保留） 83v（4）如图，直径）如图，直径AB为为6的半圆的半圆O，绕，绕A点逆点逆时针旋转时针旋转60，此时点，此时点B到了点到了点B，则图中，则图中S阴影阴影_6则扇形的面积为，半径为已知扇形的圆心角为,12120 . 2cm .248 cmD.6 C.5 B.4 3 A. ） （ 则， 6为120为的已知 . 3扇形的弧长为，半径圆心角扇形B4 4、已知半径为、已知半径为2cm2cm的

20、扇形，其弧长为的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积，则这个扇形的面积，S S扇扇= = 34345 5、一扇形的弧长是、一扇形的弧长是 ，面积为，面积为那么扇形的圆心角为那么扇形的圆心角为 . . cm202240 cm150150度度 BCA1:A, B, C两两不相交两两不相交,且半径都是且半径都是1cm,则图中的三个扇形的面积之和为多少则图中的三个扇形的面积之和为多少?弧长弧长的和为多少的和为多少? 22cmcm 2. 2. 如图如图,A,A、B B、C C、D D相互外离相互外离, ,它它们的半径都是们的半径都是1, 1,顺次连接四个圆心得到四边形顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,A

21、BCD,则图形中四个扇形则图形中四个扇形( (空白部分空白部分) )的面积之和的面积之和是是_._.ABCD 3.3.如图所示，分别以如图所示，分别以n n边形的顶点为圆心，边形的顶点为圆心，以单位以单位1 1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为和为 个平方单位个平方单位1、扇形的面积是它所在圆的面积的、扇形的面积是它所在圆的面积的 ，这，这个扇个扇形的圆心角的度数是形的圆心角的度数是 (05年陕西年陕西)2、扇形的面积是、扇形的面积是S，它的半径是，它的半径是r，这个扇形，这个扇形的弧长是的弧长是 (05年太原年太原)322402sr7.如图，正三角形如图

22、，正三角形ABC的边长为的边长为a，分别以，分别以A、B、 C 为圆心，以为圆心，以 为半径的圆相切于点为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积2aABCFED解：连接解：连接AD，则，则ADBC垂足为垂足为D根据勾股定理，得根据勾股定理，得22ADABBD222aa3.2a21133.2224aaS ABCBC ADa2. 2. 如图，正三角形如图，正三角形ABCABC的边长为的边长为a a，分别以，分别以A A、B B、C C为为圆心圆心, , 为半径的圆两两相切于点为半径的圆两两相切于点O O1 1、O O2 2、O O3 3，求弧，求弧O O1 1O O2

23、 2、弧弧O O2 2O O3 3、弧弧O O3 3O O1 1围成的图形的面积围成的图形的面积S S（图中阴影部（图中阴影部分）分）. .2aABCO1O2O33.3.扇形面积公式与弧长公式与圆的知识的联系：扇形面积公式与弧长公式与圆的知识的联系：S扇形扇形 S圆圆360nl弧弧 C圆圆360n1.1.扇形的弧长和面积大小与哪些因素有关？扇形的弧长和面积大小与哪些因素有关？（2 2）与半径的长短有关）与半径的长短有关（1 1）与圆心角的大小有关）与圆心角的大小有关lRS21扇形2360n RS扇形180Rnl归纳 小结2. 不规则图形的面积的求法：不规则图形的面积的求法： 用规则的图形的面积

24、来表示；用规则的图形的面积来表示； 6. （08鄂州鄂州）如图，）如图，RtABC中，中，C=90, A=30,BC=2,O、H分别为分别为AB、AC的中点，将的中点，将ABC顺时针旋转顺时针旋转120到到A1BC1的位置，则整的位置，则整个旋转过程中线段个旋转过程中线段OH所扫过的面积为（所扫过的面积为（ ）A. BC. D.77338 47338 433 AHBOCH1O1A1C1CABCD1.(08眉山眉山)如图，等边如图，等边ABC的边长为的边长为12cm，切切边边BC于于D点，点，则图中阴影部分的则图中阴影部分的内切内切 O面积为（面积为（ ）23 cm 22 cm 23cm3 2cm CO2.（08潍坊潍坊）如图，正六边形内接于圆）如图，正六边形内接于圆O,圆圆O的半径为的半径为10，则圆中阴影部分的面积为，则圆中阴影部分的面积为_100150 3 6、（、（2009年长春年长春）如图，方格纸中如图，方格纸中4个个小正方形的边长均为小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为小扇形的面积和为 （结果保留（结果保留） 83