312用二分法求方程的近似解.ppt

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1、 回想一下上一节课所学的内容回想一下上一节课所学的内容.（1）函数的零点及其等价关系？）函数的零点及其等价关系？ 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做叫做函数函数y=f(x)的零点的零点.方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点（2）如何求零点个数及所在区间？）如何求零点个数及所在区间？ ,( )x f x解一：解一：利用计算器或计算机作利用计算器或计算机作的对应的对应 , a b( )yf x那么函数那么函数在区间在区间内至少有一个实数内至少有一个实数 , a b有且只有

2、一个零点、再在其它区间内去寻找有且只有一个零点、再在其它区间内去寻找.( )( ) 0f af b( , )a b上连续，并且有上连续，并且有值表，若在区间值表，若在区间( )yf x , a b在在上的单调性，则在上的单调性，则在根、若能证明根、若能证明 解二：解二：试探着找到两个试探着找到两个x对应值为一正一负对应值为一正一负（至少有一个）；再证单调增函数即可得有（至少有一个）；再证单调增函数即可得有且只有一个且只有一个. 解三：解三：构造两个易画函数，画图，看图象构造两个易画函数，画图，看图象交点个数，很实用交点个数，很实用. （3）连续函数）连续函数在某个区间上在某个区间上存在零点存在

3、零点的判别的判别方法：方法： 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续上的图象是连续不断的一条曲线，并且有不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，那么，函数函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点内有零点.即存在即存在c(a,b)，使得，使得f(c )=0，这个，这个c也就是方也就是方程程f(x)=0的根的根. 从学校教学楼到学校食堂的电缆有从学校教学楼到学校食堂的电缆有5个接点个接点.现在某处发生故障，需及时修理现在某处发生故障，需及时修理.为了尽快把故为了尽快把故障缩小在两个接点之间，一般至少需要检查多障缩小在两个接点之间，一般至少需要检查多少少_次次21

4、 2 3 4 5猜数字游戏，看谁先猜中猜数字游戏，看谁先猜中10次以内猜出，你们能做到吗次以内猜出，你们能做到吗 ？ 从从11000这这1000个自然数随机抽出个个自然数随机抽出个数，谁能根据提示数，谁能根据提示“大了大了”“”“小了小了”“”“对了对了”先猜出这个数？先猜出这个数？3.1.2 用二分法求方程用二分法求方程的近似解的近似解ax2+bx+c=0 x2+x-6=0知识与能力知识与能力 通过具体实例理解二分法的概念，了通过具体实例理解二分法的概念，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题体会函数与方程之间的联

5、系及其在实际问题中的应用中的应用过程与方法过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备准备情感态度与价值观情感态度与价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一的相对统一重点重点 通过用二分法求方程的近似解，体会通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识成用函数观点处理问题的意识难点难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精

6、确度的方程的近似解求给定精确度的方程的近似解 一元二次方程可以用公式求根一元二次方程可以用公式求根,但没有公式但没有公式可用来可用来求求lnx+2x-6=0的根的根,能否利用函数的有关能否利用函数的有关知识来求它根的近似值呢？知识来求它根的近似值呢？探究探究1.62ln)(的的零零点点函函数数 xxxf 5 , 4.4 , 3.3 , 2.2 , 1.DCBA2.你能继续缩小零点所在的区间吗？你能继续缩小零点所在的区间吗？1.你能找出零点落在下列哪个区间吗？你能找出零点落在下列哪个区间吗？.062ln的根的根方程方程 xx 方程近似解方程近似解(或函数零点的近似值或函数零点的近似值)的精确度的

7、精确度与函数零点所在区间范围的大小有何关系与函数零点所在区间范围的大小有何关系? 1.若知道零点在若知道零点在(250，253)内，我们就可内，我们就可以得到方程的一个精确到以得到方程的一个精确到01的近似解的近似解2.50； 2.若知道零点在若知道零点在(2515，2516)内，我们就内，我们就可以得到方程的一个更为精确近似解，等等可以得到方程的一个更为精确近似解，等等 求方程近似解的问求方程近似解的问题题(或函数零点的近或函数零点的近似值似值)不断缩小零点所不断缩小零点所在范围在范围(或区间或区间)的的问题问题 如何缩小零点所在的范围，得到一个越来越如何缩小零点所在的范围，得到一个越来越小

8、的区间，以使零点仍在此区间内小的区间，以使零点仍在此区间内? ?将一个区间分为两个区间将一个区间分为两个区间. .取中点取中点该找怎样的分点该找怎样的分点? ? 如果不为如果不为0 0，通过比较中点与两个端点函数，通过比较中点与两个端点函数值的正负，即可判知零点是在值的正负，即可判知零点是在 内，还是内，还是在在 内，从而将零点所在范围缩小了一内，从而将零点所在范围缩小了一半半 )2,(baa ),2(bba 对于一个已知的零点所在区间对于一个已知的零点所在区间(a(a，b)b)，取中，取中点点 ，计算，计算 ，根据零点所在范围的判断，根据零点所在范围的判断方法，如果这个函数值为方法，如果这个

9、函数值为0 0，那么中点就是函数，那么中点就是函数的零点；的零点；2ba )2(baf : lnx+2x-6 = 0解解方方程程 f(x) = lnx+2x-6数点找找函函的的零零f(x) = lnx + 2x-6渐缩数点围逐逐小小函函的的零零所所在在范范(a，b)中点中点x1f(a)f(x1)(2 , 3)2.5负负 -0.084(2.5,3) 2.75负负0.512(2.5,2.75)2.625负负0.215(2.5,2.625)2.5625负负0.066(2.5,2.5625)2.53125负负 -0.009(2.53125,2.5625)2.546875负负0.029(2.53125,

10、2.546875)2.5390625负负0.010(2.53125,2.5390625) 2.53515625负负0.001f(b)正正正正正正正正正正正正 正正正正| 2.5390625 2.53125|=0.0078125001 精确度已达到精确度已达到001 这种运用这种运用缩小零点所在范围缩小零点所在范围的方法在数学和计的方法在数学和计算机科学上被称为算机科学上被称为二分法二分法. 对于区间对于区间a,b上连续不断且上连续不断且f(a) f(b)0的函数的函数y=f(x)，通过不断地把函数，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点

11、，进而得分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做到零点近似值的方法叫做二分法二分法(bisection). 二分法的实质二分法的实质就是将函数零点所在的区间就是将函数零点所在的区间不断地一分为二，使新得到的区间不断变小，不断地一分为二，使新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点两个端点逐步逼近零点 思考：下列函数中思考：下列函数中哪个能用二分法求零点？哪个能用二分法求零点？二分法求方程近似解的一般步骤：二分法求方程近似解的一般步骤： 1、确定区间确定区间a,ba,b，验证，验证f(a)f(b)0f(a)f(b)0，给定，给定精确度精确度.2、求区间求区间(a,b)(

12、a,b)的中点的中点c.c.3、计算、计算f(c);(1) 若若f(c)=0,则则c就是函数的零点就是函数的零点(2) 若若f(a)f(c)0,则令则令a= c(此时零点此时零点x0(c,b) 4、判断是否达到精确度、判断是否达到精确度，即若，即若|a-b| ,则得则得到零点的近似值到零点的近似值a(或或b)；否则重复；否则重复24. 由由|a-b|可知，区间可知，区间a，b中任意一个值都是中任意一个值都是零零点点x x0 0 的满足精确度的满足精确度的近似值，这是为什么呢？的近似值，这是为什么呢？（当然为了方便，这里统一取区间端点（当然为了方便，这里统一取区间端点a（或（或b）作）作为零点的

13、近似值）为零点的近似值）设函数的零点为设函数的零点为x0 ，则，则a x0 b做出数轴做出数轴.abx0所以，所以，0 x0 ab-a，a-b x0 b0.由于由于a-b ，所以，所以 x0 b b-a ， x0 -b a-b .确定初始区间确定初始区间求中点，算其函数值求中点，算其函数值缩小区间缩小区间算长度，比精度算长度，比精度下结论下结论返返回回周而复始怎么办周而复始怎么办? ? 精确度上来判断精确度上来判断. .定区间，找中点，中值计算两边看定区间，找中点，中值计算两边看. .同号去，异号算，零点落在异号间同号去，异号算，零点落在异号间. .口口 诀诀例例: 求出方程求出方程x2-2x

14、-1=0的一个近似解的一个近似解(精确度精确度0.1) 解：做出函数解：做出函数f(x)=x2-2x-1的对应值表与图的对应值表与图像像x-10123f(x)2-1-2-12 由图可知道此函数在由图可知道此函数在区间（区间（-1，0）与（）与（2，3）内有零点）内有零点-1-2-2-111 232oxy2+3f(2) 021x(2,2.5)2+2.52f() 01x(2.25,2.5)2.25+2.5f() 021x(2.375,2.5)f(2.375) 01x(2.375,2.4375)在区间（在区间（2 2，3 3）中）中由于由于2.375-2.4375 = 0.0625 0.1所以方程的

15、一个近似解可取为所以方程的一个近似解可取为2.4375.2.4375. 在区间（在区间（-1，0）中同理可得到方程的另外）中同理可得到方程的另外一个近似解为一个近似解为0.375.综上所述方程的近似解分别是综上所述方程的近似解分别是0.375，2.4375. 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的数的变号零点变号零点适合，对函数的不变号零点不适用适合，对函数的不变号零点不适用.例：用二分法求方程例：用二分法求方程 在区间在区间(-1,0)(-1,0)内的近似解内的近似解( (精确度精确度0.1)0.1)1)3)(2)(1( xxx0f(x) = (x+

16、1)(x-2)(x-3)-1,x ,点为为令令零零精精确确度度易知：易知：f(-1)0f(-1)0f(0)0取取x=-0.5x=-0.5，计算，计算f(-0.5)3.3750f(-0.5)3.37500 x(-1,-0.5)取取x=-0.75x=-0.75，计算，计算f(-0.75)1.580f(-0.75)1.580)75. 0, 1(0 x解：解：取取x=-0.875，计算，计算f(-0.875)0.390)875. 0, 1(0 x取取x=-0.9375，计算，计算f(-0.9375)-0.280)875. 0,9375. 0(0 x1 . 00625. 0| )875. 0()9375

17、. 0( | 此时此时 原方程的近似解取为原方程的近似解取为-0.9375 对于对于在区间在区间a,b上上连续不断连续不断、且、且f(a)f(b)0的函数的函数y=f(x)，通过不断把函数，通过不断把函数f(x)的零点所在的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫点，进而得到零点近似值的方法叫二分法二分法1.二分法二分法 2.概括利用二分法求函数概括利用二分法求函数f(x)零点的近似值的步骤零点的近似值的步骤f(a) f(b) 0.f(a) f(b) 00 x(a,c)a-b f(c) f(b) 00 x(c,b)1

18、.下列函数中能用二分法求零点的是（下列函数中能用二分法求零点的是（ ）xy0 xy0 xy0 xy0ABCDB 2.用二分法求函数用二分法求函数y=f(x)在在 内零点内零点近似值的过程中得到近似值的过程中得到f(1)0，f(1.25)0，则函数的零点落在区间（，则函数的零点落在区间（ ）x(1,2)A.（1，1.25） B.（1.25，1.5）C. （1.5，2） D.不能确定不能确定A2f(x) = mx +(m-3)x+13.已知函数已知函数的图象与的图象与x x轴的交点至少有一个在原点右侧，则轴的交点至少有一个在原点右侧，则 实数实数m的取值范围是（的取值范围是（ ）(0,1(0,1)

19、(- ,1)(- ,1 B DACD32f(x) = ax +bx +cx+d4.已知函数已知函数的图象如图所示，则的图象如图所示，则12b(0,1) Bb(1,2) Cb(2,+) D b(- ,0)A 1. 有题设可知有题设可知f(0)=-1.40，由于，由于f(0).f(1)0，所以函数，所以函数f(x)在区间（在区间（0，1）内有一）内有一个零点个零点 下面用二分法求函数下面用二分法求函数f(x)=x3 +1.1x2 +0.9x-1.4在区间（在区间（0，1）内的零点）内的零点取区间（取区间（0，1）的中点）的中点 ，用计算器算得，用计算器算得f(0.5)=-0.55，因为，因为f(0

20、.5).f(1)0，所以，所以 1x = 0.50 x(0.5,1).再取区间（再取区间（0.5，1）的中点）的中点 ，用计算器算得，用计算器算得f(0.75) 0.32.因为因为f(0.5).f(0.75)0,所以所以1x = 0.752x(0.5,0.75)同理得同理得000 x(0.625,0.75),x(0.625,0.6875),x(0.65625,0.6875).0.6875-0.65625 = 0.03125 0.1.由由于于所以原函数在区间（所以原函数在区间（0，1）内精确到）内精确到0.1的零点约的零点约为为0.7. 2.原方程即原方程即x+lgx-3=0，令，令f(x)=x

21、+lgx-3用用计算器算得计算器算得f(2) -0.70，f(3) 0.48，于是，于是f(2).f(3)0，所以这个方程在区间（，所以这个方程在区间（2，3）内有）内有一个解下面用二分法求方程一个解下面用二分法求方程x=3-lgx在区间在区间（2，3）的近似解：）的近似解：取区间（取区间（2，3）的中点）的中点 ，用计算器得，用计算器得f(2.5) -0.10.因为因为f(2.5).f(3)0，所以，所以1x = 2.50 x(2.5,3)再取区间（再取区间（2.5，3）的中点）的中点 用计算器算用计算器算得得f(2.75) 0.19因为因为f(2.5).f(2.75)0 ，所以，所以2x = 2.75,0 x(2.5,2.75).同理可得同理可得00000 x(2.5,2.625),x(2.5625,2.625)x(2.5625,2.59375),x(2.578125,2.59375)x(2.5859375,2.59375).2.5859375-2.59375 = 0.0078125 0.01.由由于于所以方程的近似解可取为所以方程的近似解可取为2.5625