高中数学必修五第三章基本不等式第一节课.ppt

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1、2a bab执教者：郭德坪执教者：郭德坪国际数学大会国际数学大会国际数学大会是由国际数学联盟（国际数学大会是由国际数学联盟（IMU）主办，）主办，首届大会首届大会1897年在瑞士功黎士举行，年在瑞士功黎士举行，1900年巴年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议。水平的全球性数学科学学术会议。2002年年8月月20日在北京召开第日在北京召开第24届国际数学大届国际数学大全会，由中国最高国家科技奖得主、著名数学全会，由中国最高国家科技奖得主、著名数学家吴文俊任大会主席。这是第一次在发展中国家吴文俊任大会主席。这是第一次在发展

2、中国家举办的这一大会。家举办的这一大会。有同学知道这一届国际数学大会的会标吗？ICM2002会标会标著名的著名的“风车风车”图标图标这是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，这是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车。颜色的明暗使它看上去像一个风车。探究探究你能根据这个图你能根据这个图找出一些相等关找出一些相等关系或不等关系吗？系或不等关系吗？ADBCEFGHab22ab将将“风车风车”抽象成左图。抽象成左图。在正方形在正方形ABCD中有中有4个全个全等的直角三角形。令直角等的直角三角形。令直角三角形两条直角边的长为三角形两条直角边的长为a、b。21,2.abb2即

3、4个 直 角 三 角 形 的 面 积和 为 2ab.正 方 形 的 面 积 为 aD G CS有没有不等关系有没有不等关系ADBCEFGHab22ab不等式：不等式： 一般地，对于一般地，对于任意实数任意实数a、b，我们有，我们有222ababABCDE(FGH)ab当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。问题问题：有其他的方法证明吗？：有其他的方法证明吗？作差法作差法 220,0, .ababa bff如果用分别代替可以得到什么结果?请写出来.通常我们把上式写作：(a0,b0)2abab基本不等式：基本不等式：(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立

4、。注意：注意：（1）不同点：两个不等式的）不同点：两个不等式的适用范围适用范围不同。不同。（2）相同点：当且仅当）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。探究探究：如何证明基本不等式：如何证明基本不等式.,号取时即当且仅当babababaabba2212122证法,0212ba22, ,0a bab证法对于正数有20abababba2.abba2当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。综合法综合法（执因索果）（执因索果）.号时取当且仅当ba,成立所以立因为最后一个不等式成2baab.20ba 只要证,baba20只要证3,2abab证法要证,baab2只要证分析法（执果索因

5、）分析法（执果索因）课后探究：两种证明方法的优劣，如何来使用？课后探究：两种证明方法的优劣，如何来使用？2abab的几何解释吗在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab2ba abba2证法四：易证tADtDB，那么D2AB即D.这个圆的半径为显然，它大于或等于CD，即其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.几何意义是“半径不小于半弦半径不小于半弦” 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式的文字描述：基本不等式的文字描述：2aba+b(1)如 果 把看 作 是 正 数

6、a,b的 等 差 中 项 ,看 作 是正 数 a,b的 等 比 中 项 ,那 么 定 理 可 以 描 述 为两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2aba+b(2)在数学中,我们称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数.那么定理可以描述为:想一想想一想：基本不等式成立的要素：基本不等式成立的要素：（1）：看是否均为正数）：看是否均为正数（2）：看不等号的方向）：看不等号的方向（3）：看等号是否能取到）：看等号是否能取到简言之：一正二定三相等简言之：一正二定三相等例例1 1（1 1）. .用篱笆围一个面积为用篱笆围一个面积为100m100m2 2矩形矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时

7、，所菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？用篱笆最短，最短的篱笆是多少？结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值,_,_;xyPxy探究:正实数a,b.若积是定值则当且仅当时 和有最小值为例例1 1（2 2）. .用一段长为用一段长为36m36m的篱笆围成一的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？多少？结论结论2 2：两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值,_,_.xySxy探究:正实数

8、a,b.若和是定值则当且仅当时 积有最大值试金石试金石),( ,222Rbaabba),( ,232Rbaaa)( ,21Rxxx),( ,2222Rbababa1、【杭州市【杭州市09年模考年模考理理】(3) 下列不等式不一定成立的是 B C DAC2、【金丽衢第一次联考、【金丽衢第一次联考理理】14（文科（文科14） 改编改编11若正实数a,b满足a+b=1,则的最小值是ab4原题：满足原题：满足a+2b=1162、(04重庆）已知重庆）已知则则x y 的最大值是的最大值是 。232(0,0)xyxyAff22a +bab0是ab的2：充分不必要条件 B：必要不充分条件C：充要条件 D： 既不充分也不必要3、【、【06年浙江省理科第年浙江省理科第7题题】 高考竞技场高考竞技场A(,)2ababa bR222(,)abab a bR不等式成立的三个要素：一正二定三相等不等式成立的三个要素：一正二定三相等基本不等式的简单应用基本不等式的简单应用