143《正切函数的性质与图象》（新人教A版必修4).ppt

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1、v主讲老师 潘学国第一课时第一课时 思考：思考： v1、理解并掌握作正切函数图象的方、理解并掌握作正切函数图象的方法；法；v2、理解用正切函数图象解决有关性、理解用正切函数图象解决有关性质问题的方法质问题的方法 。A、学习重点：、学习重点： 用单位圆中的正切线作正切函用单位圆中的正切线作正切函数图象数图象 。B、学习难点：、学习难点： 正切函数的性质正切函数的性质。1、你能由三角函数的定义指出正切函数的定义域吗？、你能由三角函数的定义指出正切函数的定义域吗？2、你能由诱导公式推导出正切函数的周期性和奇偶、你能由诱导公式推导出正切函数的周期性和奇偶性吗？性吗？3、你能由正切线的变化规律得出正切函

2、数的单调性、你能由正切线的变化规律得出正切函数的单调性和值域吗？和值域吗？4、你能由正切线画出正切函数的图像吗？你能由正切线画出正切函数的图像吗？5、你能从正切函数的图象出发，讨论它的性质吗？、你能从正切函数的图象出发，讨论它的性质吗？6、你能求函数、你能求函数y=Atan(x+) 的单调区间吗？的单调区间吗？1、正切函数的性质、正切函数的性质（1）定义域定义域,2Zkkxxt ta an nx x的的定定义义域域为为：y y0 0，故故函函数数，此此时时x xx xy yn n 由由三三角角函函数数定定义义知知t ta a （2）周期性周期性可知，正切函数是周期函数，周期是可知，正切函数是周

3、期函数，周期是.Zkkxxx,tan)tan(2由诱导公式由诱导公式（3）奇偶性奇偶性由诱导公式由诱导公式,tan)tan(xxZkkx,2可知，正切函数是奇函数可知，正切函数是奇函数.（4）单调性单调性T T1 1OxyA AT T2 2OOOT T1 1xyA AT T2 2 由正切线的变化规律可以得出由正切线的变化规律可以得出, ,正切函数在正切函数在 内是增函数。又由正切函数的周期性可知，内是增函数。又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间正切函数在开区间 内都是内都是增函数增函数。(,)2 2 (2kk 正切函数在整个定义域内是正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会增函数

4、吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？在某一区间内是减函数？正切函数的值正切函数的值域是实数集域是实数集R.T T1 1OxyA AT T2 2O 当当x大于大于 且无限接近且无限接近时时,正切线正切线AT向向oy轴的负方向无轴的负方向无限延伸，限延伸，tanx的值趋向的值趋向-；当；当x小于小于 且无限接近且无限接近 时正切线时正切线AT向向oy轴的正方向无限延伸，轴的正方向无限延伸，tanx的值趋向的值趋向+；tanx在在( ， )内可以取任意实数，但内可以取任意实数，但没有最大值、最小值没有最大值、最小值.222222（5）值域值域2作直角坐标作直角坐标系，并在直角系，并在直角坐标系坐

5、标系y y轴左侧轴左侧作单位圆。作单位圆。找横坐标找横坐标（把（把x x轴上轴上到这一段到这一段分成分成8 8等份）等份）把单位圆右把单位圆右半圆中作出正半圆中作出正切线。切线。找交叉点。找交叉点。连线。连线。284838483xy2、正切函数的图象、正切函数的图象22323 根据正切函数的周期性，只要把上述图象向左、向右扩根据正切函数的周期性，只要把上述图象向左、向右扩展，就可以得到正切函数展，就可以得到正切函数y=tanx在整个定义域上的图象，我在整个定义域上的图象，我们把它叫做们把它叫做正切曲线正切曲线。Zkk02, 正切曲线是被相互平行的直线正切曲线是被相互平行的直线 所隔开的无穷多支

6、曲线组成的。正切曲线是中心对所隔开的无穷多支曲线组成的。正切曲线是中心对称图形，对称中心为称图形，对称中心为 。Zkkx,2草草图图。勾勾画画出出正正切切函函数数图图象象的的三三点点两两线线就就可可以以大大体体为为渐渐近近线线，这这样样根根据据这这2 2 x x三三点点，以以直直线线0 0，0 0，1 14 4 ，1 1- -，4 4 - -函函数数的的图图象象过过的的作作图图将将发发现现：2 2 ，2 2 t ta an nx x，x x通通过过函函数数y y 例例1 1：求函数求函数 的定义域、周期和单调区间的定义域、周期和单调区间.) )3 3 x x2 2 t ta an n( (y

7、yZ,Z,k k, ,2 2 k k 3 3 x x2 2 x.,312Zkkx.,312|Zkkxx)32tan()32tan()(xxxf),2(3)2(2tanxfxZkkxk,2322.,231235Zkkxk.),231,235(Zkkk解：函数的自变量解：函数的自变量 应满足应满足即即所以，函数的定义域是所以，函数的定义域是而而因此函数的周期为因此函数的周期为T=2.由由解得解得因此，函数的单调递增区间是：因此，函数的单调递增区间是：v一点通：一点通：1、求形如函数、求形如函数y=Atan(x+) ,A0的定义域应将的定义域应将“x+”视视为一个整体，解不等式得到；为一个整体，解不

8、等式得到；2、形如函数、形如函数y=Atan(x+)，A0，0的最小正周期为的最小正周期为T=/；3、求形如、求形如y=Atan(x+)，A0，0 的函数的单调区间，的函数的单调区间，可以通过解不等式的方式来解答，列不等式的原则：可以通过解不等式的方式来解答，列不等式的原则：（1）把把“x+（0）”视为一个视为一个“整体整体”（若（若0（A0）时，所列不等式的方向与时，所列不等式的方向与y=tanx的单调区间对应的不等式的单调区间对应的不等式的方向相反。的方向相反。例例2 2：不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小。)411tan() 2(

9、与与)513tan(0167tan) 1 (;173tan0与与0000180173167901因)(,tanxy在上是增函数在上是增函数00173tan167tan)tan()tan()(434112)53tan()513tan(,253432)2,2(,tanxxy)53tan()43tan()513tan()411tan()270,90(00又又且是增函数且是增函数即即又又一点通：一点通： 比较两个三角函数值的大小，一般应先化为比较两个三角函数值的大小，一般应先化为同名三角函数，并运用诱导公式把它们化为在同同名三角函数，并运用诱导公式把它们化为在同一单调区间上的同名三角函数，以便运用函数

10、的一单调区间上的同名三角函数，以便运用函数的单调性进行比较。单调性进行比较。tan3x 解不等式：解法解法1例例3 3：yxTA30)(2,3Zkkkx由图可知：0yx323)(2,3Zkkkx由图可知：解法解法2v一点通：一点通： 正切函数图象的主要作用是解简单的三角不等式。因正切函数图象的主要作用是解简单的三角不等式。因为正切曲线是由正切函数在为正切曲线是由正切函数在（-/2/2，/2/2 ）上的图象向上的图象向左、右无限扩展得到的，所以用三角函数图象解三角不等左、右无限扩展得到的，所以用三角函数图象解三角不等式的步骤是：式的步骤是：（1 1）作出相应的正切曲线；）作出相应的正切曲线；（2

11、 2）写出适合不等式在长度）写出适合不等式在长度（-/2/2，/2/2 ）上的解集；上的解集；（3 3）把此解集推广到整个定义域上去。）把此解集推广到整个定义域上去。1观察正切曲线，写出满足下列条件的观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围：的值的范围：（1）tan x0； （2）tan x=0； （3）tan x02求函数求函数y=tan 3x的定义域的定义域3求下列函数的周期：求下列函数的周期：)(24,2tanZkkxxy).() 12(,2tan5Zkkxxy;143tan138tan与).517tan()413tan(与4（1）正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？）正切函数

12、在整个定义域内是增函数吗？为什么？ （2）正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？）正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？(1)(2)5不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：(1)(2)（1 1）正切函数的图像）正切函数的图像（2 2）正切函数的性质：）正切函数的性质：定义域：定义域：值域：值域：周期性：周期性：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：Zkkxx,2|全体实数全体实数R R正切函数是周期函数正切函数是周期函数，最小正周期最小正周期T=奇函数，奇函数，正切函数在开区间正切函数在开区间内都是增函数内都是增函数。Zkkk,2,2