231离散型随机变量的均值.ppt

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1、2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值 1.1.离散型随机变量离散型随机变量X X的分布列的概念是什么？的分布列的概念是什么？ 若离散型随机变量若离散型随机变量X X的所有可能取值为的所有可能取值为x x1 1，x x2 2，x xi i， x xn n，X X取每一个值取每一个值x xi i( (i i1 1，2 2，n n) )的概率的概率P(XP(Xx xi i) )p pi i，则下列表格，则下列表格称为称为X X的分布列的分布列. .p pn np pi ip p2 2p p1 1P Px xn nx xi ix x2 2x x1 1X X2.2.两点分

2、布与二项分布各有什么特点？两点分布与二项分布各有什么特点？两点分布：随机变量两点分布：随机变量X X只有只有0 0和和1 1两个取值，其两个取值，其分布列为：分布列为：1()(1)kkP Xkpp，k k0 0，1. 1. 二项分布：二项分布：每次试验的结果只有每次试验的结果只有A A发生和发生和A A不发生不发生两种可能，其分布列为：两种可能，其分布列为： ，k k0 0，1 1，2 2，n.n.()(1)kknknP XkC pp 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率确定与该随机变量相关事件的概率.但在实际问题但在实

3、际问题中，有时我们需要知道随机变量的平均取值中，有时我们需要知道随机变量的平均取值.因此，因此，如何根据离散型随机变量的分布列，计算随机变量如何根据离散型随机变量的分布列，计算随机变量的均值，就成为一个研究课题的均值，就成为一个研究课题.探究点探究点1 1 离散型随机变量的均值的概念离散型随机变量的均值的概念问题一：问题一：某商场将单价分别为某商场将单价分别为1818元元/kg/kg，2424元元/kg/kg，3636元元/kg/kg的三种糖果按的三种糖果按3 32 21 1的比例混合销售，则的比例混合销售，则在在1kg1kg混合糖果中，这三种糖果的质量分别为多少？混合糖果中，这三种糖果的质量

4、分别为多少？ 111kg, kg, kg236问题二：问题二：以三种糖果的平均单价作为混合糖果的单以三种糖果的平均单价作为混合糖果的单价是否合理？如何确定混合糖果的合理定价？价是否合理？如何确定混合糖果的合理定价？合理定价为：合理定价为： 11118243623/ kg .236 （元）不合理不合理 问题三：问题三：如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，从中任取一颗糖果对应的单价为从中任取一颗糖果对应的单价为X X，则随机变量，则随机变量X X的分的分布列是什么？混合糖果的合理定价与这个分布列有什布列是什么？混合糖果的合理定价与这个分布列有什么关系？么关系

5、？P P363624241818X X121316 合理定价随机变量的每个取值与其对应的概合理定价随机变量的每个取值与其对应的概率的乘积之和率的乘积之和. .问题四：问题四：若某射手射击所得的环数若某射手射击所得的环数X X的分布列为的分布列为如何估计该射手在如何估计该射手在n n次射击中每次射击的平均环数？次射击中每次射击的平均环数？0.220.220.290.290.280.280.110.110.10.1P P10109 98 87 76 6X X1(0. 160. 1170. 2880. 2990. 2210)8. 42.Xnnnnnn利用分布列计算射手每次射击的平均环数的一般规律利用

6、分布列计算射手每次射击的平均环数的一般规律是什么？是什么？ 平均环数随机变量的每个取值与其对应的概平均环数随机变量的每个取值与其对应的概率的乘积之和率的乘积之和. . 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的分布列为的分布列为则称则称E(X)E(X)x x1 1p p1 1x x2 2p p2 2x xi ip pi ix xn np pn n为随机变为随机变量量X X的的均值均值或或数学期望数学期望. .它它反映了离散型随机变量取值反映了离散型随机变量取值的平均水平的平均水平. p pn np pi ip p2 2p p1 1P Px xn nx xi ix x2 2x x1 1

7、X X问题一：问题一：若若Y Ya aX Xb b，其中，其中a a，b b为常数，则为常数，则Y Y也是随也是随机变量，那么机变量，那么P(YP(Yaxaxi ib b) )与与P(XP(Xx xi i) )（i i1 1，2 2，n n）有什么关系？）有什么关系？ P(YP(Yaxaxi ib b) )P(XP(Xx xi i).).探究点探究点2 2 均值的性质及特殊分布列的均值均值的性质及特殊分布列的均值问题二：问题二：若随机变量若随机变量X X的分布列为的分布列为P(XP(Xx xi i) )p pi i，i i1 1，2 2，n n，则随机变量，则随机变量Y YaXaXb b的分布

8、列的分布列是什么？是什么？ P(YP(Yaxaxi ib b) )p pi i，i i1 1，2 2，n n. .问题三：问题三：若若Y Ya aX Xb b，则，则E E（Y Y）与）与E E（X X）的关系如何？）的关系如何？由此可得由此可得E(E(a aX Xb b) )等于什么？等于什么？ E E（Y Y）a aE E（X X）b b， E(E(a aX Xb b) )a aE E（X X）b b. .问题四：问题四：若随机变量若随机变量X X服从两点分布服从两点分布 , ,k k0 0，1 1，则，则E E（X X）等于什么？）等于什么？ k1-kk1-kP(X = k)= p (1

9、- p)P(X = k)= p (1- p) E E（X X）p.p. 问题五：问题五：若若X XB(B(n n，p p) )，则，则E E（X X）等于什么？）等于什么？E E（X X）npnp. . (1)(1)随机变量的均值是常数，而样本的平均值，随机变量的均值是常数，而样本的平均值，随样本的不同而变化随样本的不同而变化 (2) (2)对于简单随机样本，随着样本容量的增加，对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体均值样本平均值越来越接近于总体均值随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别？随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别？【想一想想一想】例例1 1 在篮

10、球比赛中，罚球命中在篮球比赛中，罚球命中1 1次得次得1 1分，不分，不中得中得0 0分如果某运动员罚球命中的概率为分如果某运动员罚球命中的概率为0.70.7，那么他罚球那么他罚球1 1次的得分次的得分X X的均值是多少？的均值是多少？解：解：因为因为P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,所以所以. 7 . 03 . 007 . 01)0(0) 1(1)(XPXPXE 例例2 2 一次单元测验由一次单元测验由2020个选择题构成，每个个选择题构成，每个选择题有选择题有4 4个选项，其中仅有一个选项正确个选项，其中仅有一个选项正确. .每题选每题

11、选对得对得5 5分，不选或选错不得分，满分分，不选或选错不得分，满分100100分分. .学生甲学生甲选对任意一题的概率为选对任意一题的概率为0.90.9，学生乙则在测验中对，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个每题都从各选项中随机地选择一个. .分别求学生甲分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值和学生乙在这次测验中成绩的均值. .解：解：设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是分别是X X1 1和和X X2 2，则，则X X1 1B(20,0.9),XB(20,0.9),X2 2B(20,0.25).B(20,0.25).所以

12、所以E(XE(X1 1)=20)=200.9=180.9=18，E(XE(X2 2)=20)=200.25=5.0.25=5. 由于每题选对得由于每题选对得5 5分，所以学生甲和学生乙分，所以学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是在这次测验中的成绩分别是5X5X1 1和和5X5X2 2. .这样，他们这样，他们在测验中成绩的均值分别是在测验中成绩的均值分别是E(5XE(5X1 1)=5E(X)=5E(X1 1)=5)=518=9018=90，E(5XE(5X2 2)=5E(X)=5E(X2 2)=5)=55=25.5=25. 例例3 3 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率根据气象预报，某地

13、区近期有小洪水的概率为为0.250.25，有大洪水的概率为，有大洪水的概率为0.01.0.01.该地区某工地上有一该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失台大型设备，遇到大洪水时要损失60 00060 000元，遇到小元，遇到小洪水时要损失洪水时要损失10 00010 000元元. .为保护设备，有以下为保护设备，有以下3 3种方案：种方案：方案方案1 1：运走设备，搬运费为：运走设备，搬运费为3 8003 800元元. .方案方案2 2：建保护围墙，建设费为：建保护围墙，建设费为2 0002 000元，但围墙只能元，但围墙只能 防小洪水防小洪水. .方案方案3 3：不采取措施：不采取

14、措施. .试比较哪一种方案好试比较哪一种方案好. .解：解：用用X X1 1，X X2 2，X X3 3分别表示方案分别表示方案1,2,31,2,3的损失的损失. . 采用第采用第1 1种方案，无论有无洪水，都损失种方案，无论有无洪水，都损失3 8003 800元，即元，即X X1 1=3 800.=3 800. 采用第采用第2 2种方案，遇到大洪水时，损失种方案，遇到大洪水时，损失2 000+60 000=62 0002 000+60 000=62 000元；没有大洪水时，损失元；没有大洪水时，损失2 0002 000元，即元，即无无2 262 000, 有62 000, 有大大洪洪水水；X

15、 =X =2 000, 大2 000, 大洪洪水水. . 同样，采用第同样，采用第3 3种方案，有种方案，有3 360 000, 有60 000, 有大大洪洪水水；X =X = 10 000，10 000， 有 有小小洪洪水水；0, 洪0, 洪水水. .无无于是，于是，E(XE(X1 1)=3 800,)=3 800,222E(X )62 000 P(X62 000)2 000 P(X2 000)62 000 0.012 000 (1 0.01)2 600, 3333E(X )60 000 P(X60 000) 10 000 P(X10 000)0 P(X0)60 000 0.01 10 00

16、0 0.253 100. 采取方案采取方案2 2的平均损失最小，因此可以选择方案的平均损失最小，因此可以选择方案2.2.1 1若随机变量若随机变量X X的分布列如下表所示，已知的分布列如下表所示，已知E E( (X X) )1.61.6，则，则a ab b( () )A.0.2A.0.2B B0.10.1C.C.0.20.2D D0.4 0.4 X0123P0.1ab0.1CD3 3已知已知的分布列为的分布列为 -1 0 1 2 P 14 38 14 18 14 4.4.如图所示，如图所示，A A，B B两点之间有两点之间有6 6条并联网线，它们条并联网线，它们能通过的最大信息量分别为能通过的

17、最大信息量分别为1,1,2,2,3,41,1,2,2,3,4，现从，现从中取三条网线中取三条网线(1)(1)设从设从A A到到B B可通过的信息总量为可通过的信息总量为X X，当，当X X66时，可时，可保证使网线通过最大信息量信息畅通，求线路信保证使网线通过最大信息量信息畅通，求线路信息畅通的概率；息畅通的概率；(2)(2)求通过的信息总量的数学期望求通过的信息总量的数学期望1122361 C C1P(X6);C4+=112236C C11P(X7);C4+=362 13P(X8);C20+= 1. 1.离散型随机变量的分布列只反映随机变量离散型随机变量的分布列只反映随机变量在各取值点的概率

18、，离散型随机变量的均值反在各取值点的概率，离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平映了随机变量取值的平均水平. . 2. 2.离散型随机变量的均值由随机变量的分离散型随机变量的均值由随机变量的分布列所惟一确定，且随机变量的均值与随机变布列所惟一确定，且随机变量的均值与随机变量有相同的单位量有相同的单位. . 3. 3.离散型随机变量的均值是常数，样本数据的平离散型随机变量的均值是常数，样本数据的平均值随着样本的不同而变化，它是一个随机变量均值随着样本的不同而变化，它是一个随机变量. .样本数据均值随着样本容量的增加而趋近于随机变样本数据均值随着样本容量的增加而趋近于随机变量的均值，即总体的均值（如抛掷骰子所得点数的量的均值，即总体的均值（如抛掷骰子所得点数的均值）均值）. . 4. 4.随机变量均值的性质反映了几个重要结论，特别随机变量均值的性质反映了几个重要结论，特别是对于二项分布，利用是对于二项分布，利用E E（X X）npnp求数学期望十分求数学期望十分简单简单. . 每个人都会累，没人能为你承担所有悲伤，人总有一段时间要学会自己长大.