高考数学一轮复习讲义 指数与指数函数课件 新人教A版.ppt

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1、要点梳理要点梳理1.1.根式根式（1 1）根式的概念）根式的概念 如果一个数的如果一个数的n n次方等于次方等于a a（n n1 1且且n nN N* *），那么这），那么这 个数叫做个数叫做a a的的n n次方根次方根. .也就是，若也就是，若x xn n= =a a，则，则x x叫做叫做 _,_,其中其中n n1 1且且n nN N* *. .式子式子 叫做叫做_,_, 这里这里n n叫做叫做_，a a叫做叫做_. _. 2.6 2.6 指数与指数函数指数与指数函数 基础知识基础知识 自主学习自主学习a a的的n n次方根次方根na根式根式根指数根指数被开方数被开方数（2 2）根式的性质）

2、根式的性质 当当n n为奇数时为奇数时, ,正数的正数的n n次方根是一个正数，负数的次方根是一个正数，负数的 n n次方根是一个负数，这时，次方根是一个负数，这时，a a的的n n次方根用符号次方根用符号_ 表示表示. . 当当n n为偶数时，正数的为偶数时，正数的n n次方根有两个，它们互为次方根有两个，它们互为 相反数相反数, ,这时，正数的正的这时，正数的正的n n次方根用符号次方根用符号_表示表示, , 负的负的n n次方根用符号次方根用符号_表示表示. .正负两个正负两个n n次方根次方根 可以合写为可以合写为_（a a0 0）. . =_. =_. nananananna)(a

3、a当当n n为奇数时，为奇数时， =_;=_;当当n n为偶数时，为偶数时， =_.=_.负数没有偶次方根负数没有偶次方根. . 2.2.有理数指数幂有理数指数幂(1)(1)幂的有关概念幂的有关概念正整数指数幂：正整数指数幂： （n nN N* *）；）；零指数幂：零指数幂：a a0 0=_=_（a a00）；）；负整数指数幂：负整数指数幂：a a- -p p=_=_（a a00，p pN N* *）；）；nna|aann)0()0(aaaaa a个nnaaaa1 1pa1正分数指数幂：正分数指数幂： =_=_（a a00，m m、n nN N* *， 且且n n11）；）；负分数指数幂：负分

4、数指数幂： = = (= = (a a0,0,m m、n n N N* *, ,且且n n1).1).0 0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于_，0 0的负分数指数幂的负分数指数幂 _._.（2 2）有理数指数幂的性质）有理数指数幂的性质 a ar ra as s= = _(_(a a0,0,r r、s sQ Q);); ( (a ar r) )s s= = _(_(a a0,0,r r、s sQ Q);); ( (abab) )r r= = _(_(a a0,0,b b0,0,r rQ Q). ). nmanmanmanma1nma1a ar r+ +s sa arsrsa ar rb b

5、r r0 0没有意义没有意义3.3.指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质 y y= =a ax xa a1100a a100时时,_;,_;x x000时时,_;,_; x x011y y1100y y1100y y11增函数增函数减函数减函数基础自测基础自测1.1.已知已知a a 则化简则化简 的结果是的结果是 （ ） A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析,4142) 14(a14 a14 aa41a41.41)41 ()41 () 14(212244aaaaC2.2.下列函数中，既是偶函数又在（下列函数中，既是偶函数又在（0 0，+）上单调）上单调 递增的是递增的是

6、 （ ） A.A.y y= =x x3 3 B.B.y y=-=-x x2 2+1+1 C. C.y y=|=|x x|+1 D.|+1 D.y y=2=2-|-|x x| | 解析解析 因为因为y y= =x x3 3是奇函数，从而可排除是奇函数，从而可排除A A，因为函，因为函 数数y y=-=-x x2 2+1+1及及y y=2=2-|-|x x| |在（在（0 0，+）上单调递减，所）上单调递减，所 以排除以排除B B、D. D. C3.3.右图是指数函数（右图是指数函数（1 1）y y= =a ax x， （2 2）y y= =b bx x, ,（3 3）y y= =c cx x,

7、,（4 4）y y= =d dx x 的图象的图象, ,则则a a，b b，c c，d d与与1 1的大的大 小关系是小关系是 ( )( ) A. A.a a b b11c c d d B. B.b b a a11d d c c C.1 C.1a a b b c c d d D. D.a a b b11d d c c 解析解析 方法一方法一 当指数函数底数大于当指数函数底数大于1 1时，图象上升，时，图象上升，且当底数越大时，在第一象限内，图象越靠近且当底数越大时，在第一象限内，图象越靠近y y轴；轴；当底数大于当底数大于0 0且小于且小于1 1时时, ,图象下降图象下降, ,且在第一象限内且

8、在第一象限内, ,底数越小，图象越靠近底数越小，图象越靠近x x轴轴. .故可知故可知b b a a11d d d d1 1 a a1 1 b b1 1, ,b b a a11d d 00且且a a11 解析解析 a a=2. =2. . 023, 10, 133, 1022aaaaaaaa且且C题型一题型一 指数幂的化简与求值指数幂的化简与求值【例例1 1】 计算下列各式：计算下列各式：题型分类题型分类 深度剖析深度剖析.) 12(248)4();3()6)(2)(3(;549) 13(251)2(;)972()12527()027. 0)(1 (3333232343165613121213

9、205 . 03132bbababababbababa 先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算算性质进行计算. .解解 .44)3()6(2)3(. 1)25(1)25()25(125)2(.100935351009925)27125()3 . 0() 1 (06531216121322312aabba原式原式原式思维启迪思维启迪 根式运算或根式与指数式混合运算时根式运算或根式与指数式混合运算时, ,将将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根强求统

10、一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果据要求写出结果. .但结果不能同时含有根号和分数指但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数数，也不能既有分母又含有负指数. . .)(224)24)(2(224)8()4(331313131313131313231313232313132313131313131313231313231bbbbbbbabbbaabbaababbbbabbaabab原式探究提高探究提高知能迁移知能迁移1 1.4242),1()2(;) 12()972()71()027. 0( :) 1 (22212121021231的值求若化简xxxxxx

11、axaa解解.45135493101)925(7)000127() 1 (21231原式.)1(1)1(1,)1(2)1(4)1()21)(21()4(4, 21,)2(22222222212121aaaaaaaaaaaaaaaaaaaxxxxaaxaax原式得由题型二题型二 指数函数的性质指数函数的性质【例例2 2】 (12 (12分分) )设函数设函数f f( (x x)=)= 为奇函数为奇函数. .求：求： （1 1）实数）实数a a的值；的值； （2 2）用定义法判断）用定义法判断f f（x x）在其定义域上的单调性）在其定义域上的单调性. . 由由f f（- -x x）=-=-f f

12、（x x）恒成立可解得）恒成立可解得a a的值的值; ; 第第(2)(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可. .思维启迪思维启迪1222xxaa解解 (1)(1)方法一方法一 依题意，函数依题意，函数f f（x x）的定义域为）的定义域为R R， f f（x x）是奇函数，）是奇函数，f f（- -x x）=-=-f f（x x），）， 2 2分分2(2(a a-1)(2-1)(2x x+1)=0+1)=0，a a=1. =1. 6 6分分方法二方法二 f f( (x x) )是是R R上的奇函数，上的奇函数，f f(0)=0(0)=0，即，即 a

13、a=1 =1 6 6分分（2 2）由）由(1)(1)知，知， 设设x x1 1 )f f( (x x1 1),),f f( (x x) )在在R R上是增函数上是增函数. . (1) (1)若若f f( (x x) )在在x x=0=0处有定义处有定义, ,且且f f( (x x) )是奇函数是奇函数, ,则有则有f f(0)=0,(0)=0,即可求得即可求得a a=1.=1.（2 2）由）由x x1 1 x x2 2推得推得 实质上应用了函数实质上应用了函数 f f（x x）=2=2x x在在R R上是单调递增这一性质上是单调递增这一性质. . , 0) 12)(12()22(2)1221

14、()1221 (12121212)()(121212112212xxxxxxxxxxxfxf则,2221xx探究提高探究提高1010分分1212分分知能迁移知能迁移2 2 设设 是定义在是定义在R R上的函数上的函数. .（1 1）f f（x x）可能是奇函数吗？）可能是奇函数吗？（2 2）若）若f f（x x）是偶函数，试研究其单调性）是偶函数，试研究其单调性. . 解解 (1)(1)方法一方法一 假设假设f f( (x x) )是奇函数是奇函数, ,由于定义域为由于定义域为R R, , f f（- -x x）=-=-f f（x x）, ,即即 整理得整理得 即即 即即a a2 2+1=0,

15、+1=0,显然无解显然无解. . f f（x x）不可能是奇函数）不可能是奇函数. . ),ee(eexxxxaaaa, 0)e)(e1(xxaa, 01aaxxaaxfee)(方法二方法二 若若f f( (x x) )是是R R上的奇函数，上的奇函数，则则f f(0)=0,(0)=0,即即f f( (x x) )不可能是奇函数不可能是奇函数.(2)(2)因为因为f f( (x x) )是偶函数，所以是偶函数，所以f f(-(-x x)=)=f f( (x x),),即即整理得整理得 又又对任意对任意x xR R都成立，都成立，有有 得得a a= =1.1.当当a a=1=1时，时，f f(

16、(x x)=e)=e- -x x+e+ex x, ,以下讨论其单调性，以下讨论其单调性，任取任取x x1 1, ,x x2 2R R且且x x1 1 x x2 2, , ,eeeexxxxaaaa, 0)e)(e1(xxaa, 01aa, 01无解aa当当 f f( (x x1 1)00，即增区间为，即增区间为0,+),0,+),反之反之(-,0(-,0为减区间为减区间. .当当a a=-1=-1时，同理可得时，同理可得f f( (x x) )在（在（-，0 0上是增函数，上是增函数，在在0 0，+）上是减函数）上是减函数. . , 0ee, 0eeee) 1)(ee(eeeee)()(212

17、1212121221121xxxxxxxxxxxxxxxfxf其中则, 01e21xx题型三题型三 指数函数的图象及应用指数函数的图象及应用【例例3 3】已知函数已知函数 (1)(1)作出图象；作出图象； (2)(2)由图象指出其单调区间；由图象指出其单调区间； (3)(3)由图象指出当由图象指出当x x取什么值时函数有最值取什么值时函数有最值. . 思维启迪思维启迪 化去绝对值符号化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式将函数写成分段函数的形式作图象作图象写出单调区间写出单调区间写出写出x x的取值的取值.)31(| 1| xy解解 （1 1）由已知可得）由已知可得其图象由两部分组成：其图象由

18、两部分组成：一部分是：一部分是： 另一部分是：另一部分是：y y=3=3x x ( (x x0) 0) y y=3=3x x+1+1 ( (x x-1). 00，且，且a a1)1) 的图象有两个公共点的图象有两个公共点, ,则则a a的取值范围是的取值范围是_._. 解析解析 数形结合数形结合. . 当当a a11时，如图时，如图, ,只有一个公共点，不符合题意只有一个公共点，不符合题意. . 当当00a a11时，如图时，如图, ,由图象可知由图象可知0202a a1,1,)21, 0(.210a 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高1.1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的单调性

19、是指数函数的重要性质，特别是函数图象的 无限伸展性，无限伸展性，x x轴是函数图象的渐近线轴是函数图象的渐近线. .当当00a a111，x x-时时, ,y y0;0;当当a a11时，时， a a的值越大，图象越靠近的值越大，图象越靠近y y轴，递增的速度越快；轴，递增的速度越快； 当当00a a10,0,a a1)1)的图象和性质与的图象和性质与a a的取值的取值 有关，要特别注意区分有关，要特别注意区分a a11与与00a a11,1,b b01,1,b b00 C.0 C.0a a1,00 D.0 D.0a a1,1,b b0 0 解析解析 由图象得函数是减函数，由图象得函数是减函数

20、，00a a1.0,0,即即b b0.0.从而从而D D正确正确. . 答案答案 D D3.3.已知函数已知函数y y=4=4x x-3-32 2x x+3,+3,当其值域为当其值域为11，77时，时，x x的的 取值范围是取值范围是 （ ） A.2A.2，4 B.(-4 B.(-，00 C.(0 C.(0，1212，4 D.(-4 D.(-，0101，22 解析解析 y y=(2=(2x x) )2 2-3-32 2x x+3+3 2 2x x-1-1，1212，44， x x(-(-，0101，2. 2. ,7 , 1 43)232(2x.25,2121,25232.425,41)232(

21、2xxD4.4.定义运算：定义运算：a a* *b b= = 如如1 1* *2=1,2=1,则函数则函数 f f( (x x)=2)=2x x * *2 2- -x x的值域为的值域为 （ ） A.A.R R B.(0,+) B.(0,+) C.(0 C.(0，1 D.11 D.1，+)+) 解析解析 f f（x x）=2=2x x * *2 2- -x x= = f f（x x）在）在(-(-，00上是增函数，上是增函数， 在在(0(0，+)+)上是减函数，上是减函数， 001,)1, 而而 在（在（1,+)1,+)上单调递减，上单调递减， 故故 在在(-,+)(-,+)上单调递减，且无限

22、上单调递减，且无限 趋于趋于0 0，故无最小值，故无最小值. . ,121)(xxf121)(xxf.1)(uufuuf1)(A6.6.函数函数 的部分图象大致是如图所示的部分图象大致是如图所示 的四个图象中的一个，根据你的判断，的四个图象中的一个，根据你的判断，a a可能的取值可能的取值 是是 （ ） A. B. C.2 D.4 A. B. C.2 D.4 32) 32(21xay2123解析解析 函数为偶函数，排除函数为偶函数，排除，又函数值恒为正，又函数值恒为正值，则排除值，则排除，故图象只能是，故图象只能是，再根据图象先增后，再根据图象先增后减的特征可知减的特征可知2 2a a-31,

23、-31,即即a a2,2,符合条件的只有符合条件的只有D D选项，选项，故选故选D. D. 答案答案 D D二、填空题二、填空题7.7.若若f f( (x x)=)=a a- -x x与与g g( (x x)=)=a ax x- -a a ( (a a00且且a a1)1)的图象关于直线的图象关于直线 x x=1=1对称，则对称，则a a=_.=_. 解析解析 g g（x x）上的点）上的点P P（a a，1 1）关于直线）关于直线x x=1=1的对的对 称点称点P P(2-(2-a a,1),1)应在应在f f( (x x)=)=a a- -x x上，上， 1=1=a aa a-2-2.a

24、a-2=0,-2=0,即即a a=2. =2. 2 28.8.设函数设函数f f( (x x)=)=a a-|-|x x| | ( (a a00且且a a1),1),若若f f(2)=4,(2)=4,则则f f(-2)(-2)与与 f f(1)(1)的大小关系是的大小关系是_._. 解析解析 由由f f(2)=(2)=a a-2-2=4,=4,解得解得a a= = f f( (x x)=2)=2| |x x| |,f f(-2)=42=(-2)=42=f f(1). (1). f f(-2)(-2)f f(1)(1),219.9.(2009(2009江苏江苏) )已知已知 函数函数f f( (

25、x x)=)=a ax x, ,若实数若实数 m m、n n满足满足f f( (m m)f f( (n n),),则则m m、n n的大小关系为的大小关系为_._. 解析解析 函数函数f f( (x x)=)=a ax x在在R R上是减函数上是减函数. . 又又f f( (m m)f f( (n n),),m m n n. . ,215 am m n n, 12150 a三、解答题三、解答题10.10.已知对任意已知对任意x xR R, ,不等式不等式 恒成立，求实数恒成立，求实数m m的取值范围的取值范围. . 解解 由题知由题知: :不等式不等式 对对x xR R恒恒 成立，成立， x

26、x2 2+ +x x20+40对对x xR R恒成立恒成立. . = =（m m+1+1）2 2-4-4（m m+4+4）0.0. m m2 2-2-2m m-150.-3-150.-3m m5. 00且且a a1)1)在在x x-1-1，11上的最上的最 大值为大值为1414，求，求a a的值的值. . 解解 令令a ax x= =t t,t t00，则，则y y= =t t2 2+2+2t t-1=(-1=(t t+1)+1)2 2-2,-2,其对称轴其对称轴 为为t t=-1.=-1.该二次函数在该二次函数在-1-1，+）上是增函数）上是增函数. . 若若a a11，x x-1-1，1

27、1，t t= =a ax x 故当故当t t= =a a, ,即即x x=1=1时，时，y ymaxmax= =a a2 2+2+2a a-1=14,-1=14, 解得解得a a=3(=3(a a=-5=-5舍去舍去).).,1aa若若00a a11，x x-1-1，1 1，t t= =a ax x 故当故当t t= = 即即x x=-1=-1时，时，综上可得综上可得a a=3=3或或 ,1,aa,1a).(5131.142) 11(2max舍去或aay.3112.12.已知函数已知函数 （1 1）求常数）求常数c c的值；的值； （2 2）解不等式）解不等式 解解 （1 1）依题意）依题意00c c1,1,c c2 2 c c, ,) 1(12)0(1)(2xccxcxxfcx.89)(2cf. 182)(xf.21,891,89)(32cccf 满足满足 .8542|182)(,8542:.8521, 18212 ,121,2142, 182121,210182)(,) 121(12)210(121)() 1 ()2(44xxxfxxxxxxxfxxxxfxx的解集为综上可知时当时当得由得由