13《二项式定理2》（新人教A版选修2-3）.ppt

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1、v主讲老师 潘学国第一课时第一课时二项式定理二项式定理一般地，对于一般地，对于n N*有有二项定理二项定理: 二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先观察们先观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？为特殊值时，二项式系数有什么特点？温故知新温故知新()n nn nn nk kk k- -n nk kn n1 1- -n n1 1n nn n0 0n nn nb bC C+ + + b ba aC C+ + +b ba aC C+ +a aC C= =b

2、b+ +a a 654321n()展展开开式式的的二二项项式式系系数数nba +新知探究新知探究探究：探究：用计算器计算用计算器计算 展开式的二项式系数展开式的二项式系数并填入下表。并填入下表。nba)( +通过计算填表，你发现了什么规律？通过计算填表，你发现了什么规律？()()()()()()16152015611510105114641133112111654321babababababa+新知探究新知探究 从上表可以发现，从上表可以发现，每一行中的系数具有对称性每一行中的系数具有对称性。除此之外还有什么规律呢？为了方便，可将上表写成除此之外还有什么规律呢？为了方便，可将上表写成如下形式：

3、如下形式：表示形表示形式的变式的变化有时化有时也能帮也能帮助我们助我们发现某发现某些规律。些规律。探究：你能借助上面的表现形式发现一些新的规律吗？探究：你能借助上面的表现形式发现一些新的规律吗？新知探究新知探究 上表中蕴含着许多规律，例如：上表中蕴含着许多规律，例如： 在同一行中，每行两端都是在同一行中，每行两端都是1，与这两个，与这两个1等距等距离的项的离的项的系数相等系数相等，即：，即： 在相邻的两行中，除在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于以外的每一个数都等于它它“肩上肩上”两个数的两个数的和和。 事实上，设表中任一不为事实上，设表中任一不为1的数为的数为 ，那，那么它么它“肩上肩上

4、”的两个数分别为的两个数分别为 及及 ，容易，容易证明：证明：rnnrnCC-=rnC1+rnC1-rnC1-1rnrnrnCCC+=+十十五五一一一一一一一一一一一一一一二二十十六六六六十十五五一一一一一一一一一一一一二二三三 三三四四四四六六五五十十十十五五本本积积商商除除平方平方立立方方三三乘乘四四乘乘五五乘乘左左积积右右积积之之除除而而实实命命方方商商乘乘廉廉以以廉廉皆皆者者藏藏中中算算隅隅乃乃裘裘右右数数积积乃乃裘裘左左1-31.图新知探究新知探究值得指出的是，值得指出的是，这个表在我国南这个表在我国南宋数学家杨辉在宋数学家杨辉在1261年所著的年所著的详解九章算法详解九章算法一书里

5、就出现了，一书里就出现了，所不同的只是这所不同的只是这里的表用阿拉伯里的表用阿拉伯数字表示，在那数字表示，在那本书里是用汉字本书里是用汉字表示（左图）。表示（左图）。值值得得中中华华民民族族自自豪豪的的. .的的成成就就是是非非常常由由此此可可见见我我国国古古代代数数学学五五百百年年左左右右, ,洲洲早早杨杨辉辉三三角角的的发发现现要要比比欧欧, ,帕帕斯斯卡卡三三角角. .这这就就是是说说他他们们把把这这个个表表叫叫做做, ,首首先先发发现现的的1 16 66 62 2) )c ca al l, ,1 16 62 23 3s se eP Pa as s学学家家帕帕斯斯卡卡( (B Bl la

6、 ai i这这个个表表被被认认为为是是法法国国数数洲洲, ,在在欧欧纪纪, ,现现这这个个表表不不晚晚于于1 11 1世世用用过过它它. .这这表表明明我我国国发发已已经经( (约约公公元元1 11 1世世纪纪) )且且我我国国北北宋宋数数学学家家贾贾宪宪算算书书, ,释释锁锁杨杨辉辉指指出出这这个个方方法法出出于于肩肩上上两两个个数数的的和和, ,都都等等于于它它外外的的每每一一个个数数以以“ “一一” ”还还说说明明了了表表里里, ,里里书书在在详详解解九九章章算算法法一一, ,辉辉三三角角这这个个表表称称为为杨杨新知探究新知探究()( )2 2) ). .- -图图1 1. .3 3其其

7、图图象象是是7 7个个孤孤立立点点( (6 6, ,= =象象. .例例如如n n我我们们还还可可以以画画出出它它的的图图定定的的n n, ,. .对对于于确确n n, ,1 1, ,2 2, ,0 0, ,义义域域是是其其定定, ,r rf f为为自自变变量量的的函函数数可可看看成成是是以以r r. .C C分分析析它它们们来来我我们们还还可可以以从从函函数数角角度度, ,C C, ,C C, ,C C, ,C C式式系系数数展展开开式式的的二二项项b b+ +a a对对于于r rn nn nn n2 2n n1 1n n0 0n nn n ，出它们有哪些异同吗?出它们有哪些异同吗?时的函数

8、图象.你能看时的函数图象.你能看7,8,97,8,9= =请你分别画出n请你分别画出n1234565101520or( )rf2-31.图新知探究新知探究数数的的一一些些性性质质. .2 2来来研研究究二二项项式式系系- -和和图图1 1. .3 3杨杨辉辉三三角角 下下面面结结合合 ( )得得到到. .C C= =C C这这一一性性质质可可直直接接由由公公式式, ,. .事事实实上上系系数数相相等等个个二二项项式式的的两两等等距距离离 与与首首尾尾两两端端: :对对称称性性1 1mmn nn nmmn n( )它它是是图图象象的的对对称称轴轴. .分分, ,的的图图象象分分成成对对称称的的两

9、两部部r rf f将将函函数数2 2n n= =x x直直线线( )()()()()k k! !1 1k k1 1+ +k kn n2 2n n1 1n nn n= =C C因因为为增增减减性性与与最最大大值值2 2k kn n- ：(), ,k k1 1+ +k kn nC C= =1 1k kn n-新知探究新知探究()()且且在在中中间间取取得得最最大大值值; ;渐渐减减小小的的, ,分分是是逐逐由由对对称称性性知知它它的的后后半半部部. .系系数数是是逐逐渐渐增增大大的的二二项项式式时时, ,2 21 1+ +n n 当当k k可可知知, ,2 21 1+ +n n k k1 1+ +

10、k kn n由由决决定定, ,k k1 1+ +k kn n的的增增减减情情况况由由相相对对于于C C所所以以C C1 1k kn nk kn n-中中间间是是奇奇数数时时, ,n n当当.且且同同时时取取得得最最大大值值相相等等, ,. .C C的的两两项项C C2 21 1n n+ +n n2 21 1- -n nn n( )(), ,x xC C+ + +x xC C+ + +x xC C+ +x xC C+ +C C= =x x1 1+ +已已知知各各二二项项式式系系数数和和3 3n nn nn nr rr rn n2 22 2n n1 1n n0 0n nn n.n nn n2 2n

11、 n1 1n n0 0n nn nC C+ + +C C+ +C C+ +C C= =则则2 21 1, ,= =令令x x( )?吗组合等式下这个你能用组合意义解释一这这就就是是说说, ,(). .系系数数的的和和等等于于2 2的的展展开开式式的的各各个个二二项项式式b b+ +a an nn n新知探究新知探究.,1721353521717n,6n.1nn,1,.二二项项式式系系数数从从而而可可根根据据这这个个表表来来求求延延伸伸下下去去就就可可以以将将二二项项式式系系数数表表这这样样的的各各二二项项式式系系数数相相应应于于可可写写出出的的各各二二项项式式系系数数中中相相应应于于杨杨辉辉三

12、三角角如如根根据据的的二二项项式式系系数数于于应应的的各各二二项项式式系系数数写写出出相相根根据据相相应应于于可可以以性性质质这这个个和和的的数数等等于于它它肩肩上上两两个个以以外外的的每每一一个个数数都都中中除除杨杨辉辉三三角角利利用用例例如如许许多多问问题题利利用用这这些些性性质质可可以以解解决决.,ba:3n二二项项式式系系数数的的和和系系数数的的和和等等于于偶偶数数项项的的奇奇数数项项的的二二项项式式的的展展开开式式中中在在试试证证例例,CCC4n2n0n 为为奇奇数数项项二二项项式式系系数数的的和和分分析析,CCC5n3n1n 为为偶数项二项式系数的和偶数项二项式系数的和.b, a,

13、b, abCbaCbaCaCbannn22n2n1n1nn0nn个系数和个系数和适当赋值来得到上述两适当赋值来得到上述两因此我们可以通过对因此我们可以通过对可以取任意实数可以取任意实数中的中的由于由于 .b, a.,b, a,的的值值要要灵灵活活选选取取的的需需我我们们可可以以根根据据具具体体问问题题还还可可以以是是别别的的项项式式也也可可以以取取任任意意多多既既可可以以取取任任意意实实数数实实际际上上,C1CCCC11, 1b, 1a,bCbaCbaCaCbannn3n2n1n0nnnnn22n2n1n1nn0nn 则得令中在展开式证明 ,CCCC03n1n2n0n 即 3n1n2n0nCC

14、CC所以.,ban数的和等于偶数项的二项式系和奇数项的二项式系数的的展开式中即在,xCxCxCxCCx1,nnnkkn22n1n0nn 联想到联想到实际上实际上 ., 01f,xCxCxCxCCx1xf,xnnnkkn22n1n0nn的结果的结果由此很容易得到要证明由此很容易得到要证明那么那么即即的函数的函数把它看成是关于把它看成是关于 中的一些秘密中的一些秘密杨辉三角杨辉三角探究与发现探究与发现.,来探索一下这些性质来探索一下这些性质下面就下面就多有趣的性质多有趣的性质杨辉三角本身包含了许杨辉三角本身包含了许实际上实际上展开式的一些性质展开式的一些性质了二项式了二项式前面借助杨辉三角讨论前面

15、借助杨辉三角讨论行行第第行行第第行行第第行行第第行行第第行行第第行行第第行行第第行行第第n1CCCCC11n654133131212111102n1nr1n1r1n21n11n .?,.1你你的的发发现现填填写写在在空空格格上上将将规规律律吗吗你你能能发发现现每每一一行行的的数数字字观观察察图图形形即即展展开开式式的的系系数数项项式式行行就就是是二二杨杨辉辉三三角角的的第第从从上上述述图图形形可可以以看看到到,ban,nnnnrrn2n1n1nn0nnbCbaCbaCaCba ?,.2两两行行的的数数有有什什么么关关系系吗吗你你能能发发现现组组成成它它的的相相邻邻观观察察杨杨辉辉三三角角图图形

16、形.,1,的的两两个个数数相相加加其其余余的的数数都都等等于于它它肩肩上上组组成成的的是是由由数数字字这这个个三三角角形形的的两两条条腰腰都都可可以以发发现现.?, 1.3再再连连一一些些数数字字试试试试自自己己你你能能发发现现什什么么规规律律从从连连线线上上的的数数字字如如图图.,rn.CCCC,C1041,C631,C321:,r1nr2rr1rrr31n21n11n纳纳法法来来证证明明上上式式等等式式可可以以用用数数学学归归实实际际上上一一般般地地项项的的和和想想下下列列数数列列的的前前若若干干猜猜根根据据你你发发现现的的规规律律 111111123451111345610101图图?,

17、?,2.4你有什么发现你有什么发现和和仔细观察这些仔细观察这些和和标出其余各行的标出其余各行的处处请你在请你在出出经在斜行上末标经在斜行上末标上的数字的和已上的数字的和已位于前几条斜行位于前几条斜行杨辉三角图形中杨辉三角图形中的斜行中的斜行中如图如图!?,与与同同学学交交流流一一下下排排列列规规律律吗吗数数的的你你还还能能再再找找出出其其他他一一些些律律除除了了这这几几个个数数的的排排列列规规1111111234511113456101011161520156172135352171828567056288113?2图图作业：P37(A组78和B组)课时小结课时小结: :1）注意二项式定理中二项展开式的特征；2）区别二项式系数，项的系数；3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项。1： P25 练习练习2、3、42： P27 A组组 8173：资料：资料作业布置作业布置