圆锥曲线中的最值和范围问题.pdf

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1、圆锥曲线中的最值和范围问题圆锥曲线中的最值和范围问题x2y21已知双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 60的直线与双ab曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A.( 1,2) B. (1,2) C.2,)D.(2,+)x2y21的右支上一点，M、N分别是圆(x5)2y24 和(x5)2y212 P是双曲线916上的点，则|PM|PN|的最大值为（）A. 6 B.7 C.8 D.923抛物线y=-x上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是( )478 B C D3355x2y24已知双曲线221,(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1、F

2、2，点P在双曲线的右支abA上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为： （ ）(A)457(B)(C)2 (D)3332225已知抛物线y=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y1+y2的最小值是 .2y21，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，6设椭圆方程为x 4uuu r1uuu ruuu r1 1点P满足OP(OAOB)，点N的坐标为( , )，当l绕点M旋转时，求（1）动点P的2uuu2 2r轨迹方程； （2）| NP |的最小值与最大值.x2y21的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且【范例

3、1】已知动点P与双曲线231cosF1PF2的最小值为9（）求动点P的轨迹方程；（）若已知D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上且DM DN，求实数的取值范围1x2y251上的动点，【范例 2】 给定点A(-2,2)， 已知B是椭圆F是右焦点， 当AB BF25163取得最小值时，试求B点的坐标。x2 y21上移动,试求|PQ|的最【范例 3】已知P点在圆x+(y-2) =1 上移动，Q点在椭圆922大值。uuu r uuu r【范例 4】已知OFQ的面积为2 6，OF FQ m（1）设6 m 4 6，求OFQ正切值的取值范围；（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图） ，uuu ru

4、uu r62|OF | c,m (1)c当|OQ |取得最小值时，4求此双曲线的方程。2自我提升x2y21设AB是过椭圆22 1(a b 0)中心的弦，椭圆的左焦点为F1(-c，0)，则F1AB的ab面积最大为（）AbcBabCacDb2x2y2 1上一点，则|PA|PB|的最大值为（）2已知A（3，2） 、B（4，0） ，P是椭圆259A10B105 C105D10 2 5x2y21， 过其右焦点F的直线l交双曲线于AB，3 已知双曲线若|AB|=5， 则直线l有 （）169A1 条 B2 条 C3 条 D4 条24已知点P是抛物线y=4x上一点，设P到此抛物线的准线的距离为d1, 到直线x

5、+2y+10=0 的距离为d2,则d1+d2的最小值为（）A5B4C11 55（D）115x2y21的右焦点，且椭圆上至少有21 个不同的点Pi（i=1，2，3，）5设F是椭圆，使76|FP1|，|FP2|，|FP3|，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为_26抛物线y=2x上到直线x-y+3=0 距离最短的点的坐标为_x2y21的两个顶点，7如图，已知A、B是椭圆169C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD面积的最大值是_x2y21的一段围成封闭图形，点N（1，0）在x轴8如图 3，抛物线y=4x的一段与椭圆432y上，又A、B两点分别在抛物线及椭圆上，且AB/x轴，求N

6、AB的周长l的取值范围。A AB BO ON Nx图 329求实数m的取值范围，使抛物线y=x上存在两点关于直线y=m(x-3)对称10已知A（2，0） ，B（2，0） ，动点P与A、B两点连线的斜率分别为kPA和kPB，且满足kPAkPB=t3(t0 且t1).（）求动点P的轨迹C的方程；O（）当t0 时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得F1QF2=120 ，求t的取值范围答案x2y21已知双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 60的直线与双ab曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C )A.( 1,2) B. (1,2) C.2,

7、)D.(2,+)x2y21的右支上一点，M、N分别是圆(x5)2y24 和(x5)2y212 P是双曲线916上的点，则|PM|PN|的最大值为（ B）A. 6 B.7 C.8 D.923抛物线y=-x上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是( A )478 B C D3355x2y24已知双曲线221,(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支abA上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为： （B）(A)457(B)(C)2 (D)3332225已知抛物线y=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点

8、，则y1+y2的最小值是 32 .2y21，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，6设椭圆方程为x 4uuu r1uuu ruuu r1 1点P满足OP(OAOB)，点N的坐标为( , )，当l绕点M旋转时，求（1）动点P的2uuu2 2r轨迹方程； （2）| NP |的最小值与最大值.【专家解答】 （1）法 1：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.记A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点A、B的坐标 (x1,y1)、 (x2,y2)是方程组y kx122的解. 将代入并化简得(4+k)x+2kx-3=0，2y21x 42kx x ,221

9、4 k所以8y y .1224 kx x2y1 y21 k4,) (,).于是OP (OAOB) (12224 k24 k24设点P的坐标为(x,y), 则 kx ,24 k22消去参数k得 4x+y-y=0y 4.4 k2当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0） ，也满足方程，22所以点P的轨迹方程为 4x+y-y=0解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以2y12y22x 1,x21.4412222得x1 x2(y1 y2) 0，41所以(x1 x2)(x1 x2)(y1 y2)(y1 y2) 0.4y y21 0.当x1 x2时，有x1 x

10、2(y1 y2)14x1 x221x1 x2x ,2y y2, 将代入并整理得 4x2+y2-y=0 并且y 12y 1y1y2xx x.12当x1=x2时，点A、B的坐标为（0，2） 、 （0，2） ，这时点P的坐标为1(y )2x21.（0，0）也满足，所以点P的轨迹方程为111641112（2）由点P的轨迹方程知x ,即 x .所以16442111117| NP |2 (x )2 (y )2 (x )2 4x2 3(x )22224612故当x 11，| NP |取得最小值，最小值为;44211.当x 时，| NP |取得最大值，最大值为66x2y21的两个焦点F1、F2的距离之和为定值

11、，且【范例 1】已知动点P与双曲线235cosF1PF2的最小值为19（）求动点P的轨迹方程；（）若已知D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上且DM DN，求实数的取值范围讲解()由题意c=5设|PF1|+|PF2|=2a（a 25） ，由余弦定理, 得| PF1|2 | PF2|2| F1F2|22a210cosF1PF212| PF1| PF2| PF1| PF2|又| PF1| PF2| (| PF1| | PF2|2) a2，2当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1|PF2|取最大值，2a21012a21011 此时cosF1PF2取最小值，令，229aax2y2221.解得a=9，

12、 c 5，b=4，故所求P的轨迹方程为94（）设N(s,t)，M(x,y)，则由DM DN，可得(x，y-3) =(s，t-3)，故x=s，y=3+(t-3).M、N在动点P的轨迹上，(s)2(t 33)2s2t21且1，9494(t 33)22t213512，解得t 消去s可得，461351又|t|2，| 2，解得 5，651故实数的取值范围是 ,55【点晴】为了求参数的取值范围， 只要列出关于参数的不等式， 而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等x2y251上的动点，【范例 2】 给定点A(-2,2)， 已知B是椭圆F是右焦点， 当AB BF25163取得

13、最小值时，试求B点的坐标。解析：因为椭圆的e 5113，所以AB BF AB BF，而BF为动点B到左准线3ee5的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义| BF | BF |5 e | BN | BF | BN |e3于是AB 5BF | AB| BN | AN | AM为定值36其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为(所以，当AB 5 3,2)25 35,2)BF取得最小值时，B点坐标为(23【点晴】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时，常常用圆锥曲线的定义化折为直，

14、是一种简便而有效的好方法。x2 y21上移动,试求|PQ|的最【范例 3】已知P点在圆x+(y-2) =1 上移动，Q点在椭圆922大值。解：故先让Q点在椭圆上固定， 显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大， 因此要求|PQ|的最大值，222只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q| = x+(y-4)22因Q在椭圆上,则x=9(1-y) 1222将代入得|O1Q| = 9(1-y)+(y-4) 8y2721因为Q在椭圆上移动，所以- 1y1，故当y 时，OQ3 31max2此时PQmax3 31【点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选

15、方法， 其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。2uuu r uuu r【范例 4】已知OFQ的面积为2 6，OF FQ m（1）设6 m 4 6，求OFQ正切值的取值范围；uuu ruuu r62|OF | c,m (1)c当|OQ |（2） 设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图） ，4取得最小值时，求此双曲线的方程。解析： （1）设OFQ =uuu ruuu r|OF | FQ|cos() m4 6 tan uuu ruuu r1m|OF | FQ|sin 2 62Q6 m 4 64 tan 1（2）设所求的双曲线方程为uuu rx2

16、y21(a 0,b 0),Q(x1, y1),则FQ (x1c, y1)a2b2r4 61uuuSOFQ|OF | y1| 2 6，y1 c2uuu r uuu ruuu r uuu r61 c2又OF FQ m，OF FQ (c,0) (x1c, y1) (x1c)c (47uuu r6963c222x1c, |OQ|x1 y12 12.4c8uuu r当且仅当c=4 时，|OQ |最小，此时Q的坐标是( 6,6)或( 6, 6) 662x2y2221a 41.，所求方程为ab2412b 12a2b216【点晴】当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时， 可通过建立目标函数， 求其目标函

17、数的最值， 求函数最值的常用方法有： 一元二次函数法、 基本不等式法、 判别式法、 定义法、函数单调性法等。自我提升x2y21设AB是过椭圆22 1(a b 0)中心的弦，椭圆的左焦点为F1(-c，0)，则F1ABab的面积最大为（ A）AbcBabCacDb2x2y2 1上一点，则|PA|PB|的最大值为2已知A（3，2） 、B（4，0） ，P是椭圆259（ C）A10B105 C105D10 2 5x2y21，过其右焦点F的直线l交双曲线于AB，若|AB|=5，则直线l3已知双曲线169有（ B ）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条24 已知点P是抛物线y=4x上一点， 设P到此抛物线

18、的准线的距离为d1, 到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为（ C）A5B4C11 55（D）115x2y21的右焦点，且椭圆上至少有 21 个不同的点Pi（i=1，2，3，）5设F是椭圆，76使|FP1|，|FP2|，|FP3|，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为_11,0)(0,.1010126抛物线y=2x上到直线x-y+3=0 距离最短的点的坐标为_(，1）2x2y21的两个顶点，7如图，已知A、B是椭圆169C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD面积的最大值是_12 2x2y21的一段围成封闭图形，点8如图 3，抛物线y=4x的一段与椭圆4

19、328N（1，0）在x轴上，又A、B两点分别在抛物线及椭圆上，且AB/x轴，求NABy的周长l的取值范围。2解：易知N为抛物线y=4x的焦点，又为椭圆的右焦点，抛物线的准线l1：x=-1，椭圆的右准线l2：x=4，过A作ACl1于C，过B作BDl2于D，A AB B则C、A、B、D在同一条与x轴平行的直线上。y2 4x2由x2y2，得抛物线与椭圆的交点M的横坐标x 313 41而|BN|=e|BD|= |BD|,|AN|=|AC|2NAB的周长l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN|O ON N图x11|BD|=|BC|+|BD|- |BD|2211=|CD|-|BD|=5-|BD

20、|22215Q 42 | BD| 4，即1| BD|3231010 l 4，即l的取值范围为（，4）33=|BC|+9求实数m的取值范围，使抛物线y=x上存在两点关于直线y=m(x-3)对称解法 1：设抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=m(x-3)对称，A，B中点M(x,y)，则当m=0 时，有直线y=0，显然存在点关于它对称。2y y111y1 x112 当m0 时，2x1 x2y1 y22ymy2 x2m 5m所以y ，所以M的坐标为,，M在抛物线内，22225m则有，得 10 m 10且m0，综上所述，m 10, 10222解法 2：设两点为A(x1，y1),B(

21、x2，y2)，它们的中点为M(x，y)，两个对称点连线的方程为x=-my+b，与方程y2=x联立，得y2+my-b=0所以y1+y2=-m，即y 又因为中点M在直线y=m(x-3)上，所以得M的坐标为m，2 5m,225m2又因为中点M在直线x=-my+b上，b ，2222对于，有=m+4b=10-m0，所以 10 m 10。10已知A（2，0） ，B（2，0） ，动点P与A、B两点连线的斜率分别为kPA和kPB，且满足kPAkPB=t (t0 且t1).（）求动点P的轨迹C的方程；9（）当t0 时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得F1QF2=120 ，求t的取值范围解：()

22、 设点P坐标为(x,y),依题意得Oyy22=ty=t(x4)x 2 x 2x2y2x2y2+=1，轨迹C的方程为+=1（x2）.44t44t() 当1t0 时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，设|PF1|=r1，|PF2|=r2, 则r1+r2=2a=4.在F1PF2中，|F1F2|=2c=41t, F1PF2=120 ，由余弦定理得O4c=r1+r22r1r2cos120=r1+r2+ r1r2= (r1+r2) r1r2(r1+r2) (16（1+t）12,t所以当2222222r1 r222) =3a,21.41Ot0 时，曲线上存在点Q使F1QF2=1204当t1 时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，设|PF1|=r1，|PF2|=r2, 则r1+r2=2a= -4t,O在F1PF2中，|F1F2|=2c=41t.F1PF2=120 ，由余弦定理得4c=r1+r22r1r2cos120=r1+r2+ r1r2= (r1+r2) r1r2(r1+r2) (16（-1-t）-12t, t4.O所以当t4 时，曲线上存在点Q使F1QF2=1202222222r1 r222) =3a,2综上知当t0 时，曲线上存在点Q使AQB=120 的t的取值范围是,4O 1,0.410