不等式综合练习题.pdf

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1、不等式专题练习题一、知识内容不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解证不等式的基础；两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理（教材中称为基本不等式，通常称均值不等式）及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用；线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用二、核心思想方法解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念、性质涉及到求函数最大（小）值，实数大小比较，求参数的取值范围等；不等式的综合题主要是不等式与集合、 函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点；均值不等式的证明最

2、终是利用了配方法，使用该不等式的核心方法则是整体思想方法，就是对哪两个正数使用定理，例如下面练习题的第 5 题是对2a,b使用不等式，而不是对a,b使用不等式；线性规划的核心方法是数形结合和转化的思想方法，在具体转化上涉及到面积、截距（目标函数为二元一次多项式） 、距离（目标函数含二元二次多项式） 、斜率（目标函数为分式）等几何意义，分别如下面练习题的第 9、22、23、24 题三、高考命题趋势本专题的高考命题热点可从以下两个方面去把握：1以客观题形式命题：不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低；均值不等式是历年高考的重点考查内容，考

3、查方式多变，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题中主要以选择、填空形式出现，且设问也是灵活多变， 每年高考必有一题四个注意问题： （1）命题者有时把线性规划问题和均值不等式结合在一起，提高了难度，例如下面练习题的第8、28 题 （2）线性规划的约束条件中含有参数的，例如下面练习题的第 7、9 题 （3）均值不等式的凑定值技巧，一是关注消元，而是关注整体代入思想方法，分别如下面练习题的第 17、18 题 （4）克服思维定势，有些题目很象是利用基本不等式的，其实只是解出未知数代入化简的，如下面练习题的第 20 题2以解答题形式命题

4、：不等式证明与解法是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高均值不等式在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高线性规划问题也可以用实际问题进行考查，考查优化思想在解决问题的广泛应用， 体现数学的应用价值， 从而形成解决简单实际问题的能力， 进一步考查了考生的数学应用意识 但是，考虑到线性规划应用题毕竟知识较为单一，所以在高考中出现的频率不高考虑到不等式与函数、导数、解析几何的综合题中，不等式仅是其中的一个工具，所以本专题的选的解答题主要侧重于不等式的证明与解法练习题练习题1 （山东省临沂

5、市高三教学质量检测考试）（山东省临沂市高三教学质量检测考试）集合A x x2 x2 0，B x x 1，则A(CRB) （）（A）x x 1（B）x1 x 2（C）x1 x 2（D）x 12 （安徽省安庆市高三安徽省安庆市高三 3 3 月模拟考试（二模）月模拟考试（二模） ）下列命题中错误的是（）A命题“若x25x 6 0，则x 2”的逆否命题是“若x 2，则x25x 6 0” x y B若x,yR，则“x y”是xy 成立的充要条件2C已知命题 p 和 q，若pq 为假命题，则例题 p 与 q 中必一真一假D对命题 p：xR，使得x2 x1 0，则p:xR,则x2 x 103 （广东省深圳市

6、松岗中学高三模拟试卷）（广东省深圳市松岗中学高三模拟试卷）设条件p：的 （）2x1 0，条件q:(x1)(x2) 0，则条件p是条件qx2A 充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4 （湖南省长、望、浏、宁高三（湖南省长、望、浏、宁高三 3 3 月一模联考）月一模联考）设x,yR，则“x 2且y 2”是“x2 y2 4”的A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件（）5 （山东省青岛市（山东省青岛市 3 3 月高三统一质量检测）月高三统一质量检测）已知a 0,b 0,且2ab 4,则1的最小值为（）abA11 B4 C D2421,(x 2

7、)在x n处有最小值，则n ( )x26 （广东省六校高三第二次联考试题）（广东省六校高三第二次联考试题）若函数f (x) xA12 B13 C4 D3x 1,7 （山东省临沂市高三教学质量检测考试）（山东省临沂市高三教学质量检测考试）实数x,y满足y a(a 1),若目标函数z x y取得最大值 4，则实数x y 0,a的值为（）（A）4（B）3（C）2（D）32x y2 0 x2 y28（广东省深圳市松岗中学高三模拟试卷）广东省深圳市松岗中学高三模拟试卷） 设实数x, y满足x2y5 0， 则u 的取值范围是 （）xyy2 0A.2,B.2,52105 101C ,D ,43234x y

8、2 09 （广州市普通高中毕业班综合测试）（广州市普通高中毕业班综合测试） 在平面直角坐标系中， 若不等式组x y 2 0表示的平面区域的面积为4，x t则实数t的值为（） A1 B2 C3 D4y x10 （安徽省安庆市高三（安徽省安庆市高三 3 3 月模拟考试）月模拟考试）已知x,y满足不等式组x y 2，则z 2x y的最大值与最小值的比值x 2为（） A134 B 2 C D22311 （江苏省南京市高三“市二模”模拟考试数学试卷）江苏省南京市高三“市二模”模拟考试数学试卷） 下面四个条件中，使a b成立的充分而不必要的条件是（填写序号） a b1a b1a2b2a3b312 （山东青

9、岛高三期末检测）（山东青岛高三期末检测） 已知点A(m,n)在直线x 2y 2 0上，则2m4n的最小值为13 ( (江苏省泰州市高三年级第一次模拟江苏省泰州市高三年级第一次模拟) )已知正实数x,y,z满足2x(x 1111) yz，则(x )(x )的最小值为yzyz_14 （湖南省长、望、浏、宁高三（湖南省长、望、浏、宁高三 3 3 月一模联考月一模联考）若实数a,b,c满足值是15 ( (江苏省南京市高三第一次模拟考试江苏省南京市高三第一次模拟考试) )已知f (x) log2(x 2)，若实数m,n满足f (m) f (2n) 3，则m n的最小值是16 （山东省胜利油田一中高三下学

10、期第一次调研考试）（山东省胜利油田一中高三下学期第一次调研考试） 已知x 0,y 0,lg 2xlg8y lg2，则111111,1，则c的最大2a2b2ab2bc2ac11的最小值x3y为17 （江苏省启东中学高三第一次模拟考试）（江苏省启东中学高三第一次模拟考试）若正实数a,b,c满足：3a2bc 0，则18 （浙江省宁波市高三“十校”联考）（浙江省宁波市高三“十校”联考） 设x 0,y 0,x y x2y2 4，则ac的最大值为b11最小值为xya2a1619 （上海华师大一附中高三联合调研考试数学试卷）（上海华师大一附中高三联合调研考试数学试卷） 若M log1,a4,17,则M的取值

11、范围是a13_20 （安徽省安庆市高三（安徽省安庆市高三 3 3 月模拟考试）月模拟考试）已知4x5y10，则12xy21 （苏北四市高三年级二轮模拟考试）（苏北四市高三年级二轮模拟考试）知ABC的三边长 a,b,c 成等差数列,且a2b2c284,则实数 b 的取值范围是_22 （江苏省启东中学高三第一次模拟考试）（江苏省启东中学高三第一次模拟考试）实数x,y满足，x y 0,x y 1,x 2y 1，则z 6x 3y的最小值为4x3y 0,23( (湖北省黄冈中学模拟考试湖北省黄冈中学模拟考试) )若实数 x，y 满足x y 14,则x2 y2的取值范围是_x y 7.x y 3y 124

12、 （山东省青岛市（山东省青岛市 3 3 月高三统一质量检测）月高三统一质量检测）设变量x,y满足约束条件x y 1,则目标函数z 的最小值x2x y 3为25 （广东省六校高三第二次联考试题）（广东省六校高三第二次联考试题）已知x y xy,x 0,y 0则x y的最小值是26 （浙江省名校新高考研究联盟第一次联考）浙江省名校新高考研究联盟第一次联考）若不等式a(2x2 y2) x2 2xy对任意非零实数x,y恒成立，则实数a的最小值为27 （北京朝阳区高三期末考试）（北京朝阳区高三期末考试）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y（万元）与机器运转时间x（年数

13、，xN N）的关系为y x218x 25则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是万元28 （广东省六校高三第二次联考试题数学理题）（广东省六校高三第二次联考试题数学理题）如果直线l1:2x y 2 0,l2:8x y 4 0与x轴正半轴，y轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点，使函数z abx ya 0,b 0的最大值为 8，求ab的最小值29 （江苏省启东中学高三第二次模拟考试）江苏省启东中学高三第二次模拟考试）已知p:x26x 16 0,q:x24x 4m2 0(m 0)（1）若p为真命题，求实数x的取值范围；（2）若p为q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围30 （江苏

14、省南京市高三第二次模拟考试）（江苏省南京市高三第二次模拟考试）已知a 0,b 0,ab 1，求证：，求证：1492a12b14x2y231 （江苏省南京市高三“市二模”模拟考试数学试卷）（江苏省南京市高三“市二模”模拟考试数学试卷）设命题p：方程1表示双曲线，命题q：圆a 6a 7x2(y 1)29与圆(x a)2(y 1)216相交若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围32 （山东省青岛市高三期末检测数学理科山东省青岛市高三期末检测数学理科）已知函 数y ax22ax1的定义域为R，解关于x的不等式x2 x a2 a 033 （江苏盐城市高三年级第二次模拟考试数学试题）（江苏盐城市高三年级

15、第二次模拟考试数学试题）设a1，a2，a3均为正数，且a1 a2 a3 m求证：1119.a1 a2a2 a3a3 a12m34（山东省聊城市水城中学高三下学期第二次模拟考试）（山东省聊城市水城中学高三下学期第二次模拟考试）已知函数f (x) log2(| x 1| | x 2|a）（）当a 7时，求函数f (x)的定义域；（）若关于x的不等式f (x)3的解集是R R，求a的取值范围练习题答案：练习题答案：1B 2C 3B4A 5C 6D 7C 8B 9B 10B 11 124 132 142log23157 164 173 184 192log32,2 (或log318,2等 202 21

16、(2 6,273223230,10241 254 261 275，82x y2 028解：设Px, y为封闭区域中的任意点，Px, y满足约束条件8x y4 0，作出可行域可知目标函数的x 0 , y 0最优解为B(1,4) 把B(1,4)代入Z abx y(a 0,b 0)得最大值 8，解得ab 4由基本不等式得：a b 2 ab 4（当且仅当a b 2时，等号成立） ，故ab的最小值为 429解： （1）由x26x 160得，2剟x8，所以p为真命题时，x的取值范围是2,8(2)q:x2m,2 m,若p为q成立的充分不必要条件，则2,8是2 m,2 m的真子集，m 0,所以解得m62m 2

17、,2 m8.30证明： 因为a 0,b 0,ab 1，所以(2a 1)(2b1) 4，而(142b14(2a 1)5 2 4 9，所以结论成立)(2a1)(2b1)142a 12b12a 12b1x2y231解：若p真，即方程1表示双曲线，则(a 6)(a 7) 0，解得6 a 7 若q真，即圆a 6a 7x2y 19与圆xay 116相交，则1a2 4 7,解得3 5 a 3 5a 6或a 7若“ p且q”为真命题，则p假q真， 则，即3 5 a 6，3 5 a 3 5222所以符合条件的实数a的取值范围是3 5 a 632解：因为函数y ax22ax1的定义域为R，所以ax2 2ax 1

18、0恒成立当a 0时，10恒成立,满足题意， 当a 0时，为满足必有a 0且 4a24a 0，解得0 a 1综上可知：a的取值范围是0 a 1原不等式可化为xax1a0当0 a 当111时，不等式的解集为x x a或x 1a；当a 时， 不等式的解集为x x ；2221 a 1时，不等式的解集为x x 1 a或x a2111)(a1 a2)(a2 a3)(a3 a1)a1 a2a2 a3a3 a133证明：(33111ggg33(a1 a2)(a2 a3)(a3 a1) 9，又a1 a2 a3 m，所以原不等式成立a1 a2a2 a3a3 a134解： （）由题设知：x 1 x 2 7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：x 12 x 1x 2，或，或解得函数f (x)的定义域为(,4)U (3,)x 1 x 2 7x 1 x 2 7x 1 x 2 7 xa288ax 1 x 2 （）不等式，时，恒有(x)8解集是3即x QRax 1 x 2 fa R1，的取值范围是(x 1)(x 2) 3，Q不等式a3, x5,(,-5