七年级乘法公式培优.pdf

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1、七年级乘法公式培优七年级乘法公式培优【知识精读】【知识精读】1 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算除法等。2 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2,平方差公式：（a+b）(ab)=a2b2立方和（差）公式：(ab)(a2ab+b2)=a3b33.公式的推广： 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=

2、a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2 倍。 二项式定理：(ab)3=a33a2b+3ab2b3(ab)4=a44a3b+6a2b24ab3+b4）（ab）5=a55a4b+10a3b210a2b35ab4b5）注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3a2b+ab2b3)=a4b4 (a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5a4b+a3b2a2b3+ab4b5)=a6b6注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正

3、整数指数的条件下，可归纳如下：设n 为正整数(a+b)(a2n1a2n2b+a2n3b2ab2n2b2n1)=a2nb2n(a+b)(a2na2n1b+a2n2b2ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（ab）(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)=anbn4. 公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)22ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得 a3+b3=(a+b)33ab(a+b)由公式的推广可知：当n 为正整数时anbn能被 ab 整除, a2n+1+b2n+1能被 a+b 整

4、除,a2nb2n能被 a+b 及 ab 整除。【分类解析】【分类解析】例 1. 己知 x+y=a xy=b用心爱心专心1求x +yx +yx +yx +y2222解：x +y (x+y) 2xya 2b3333x +y (x+y) 3xy（x+y）a 3ab4442222422x +y (x+y) 4xy（x +y ）6x y a 4a b2b55432234x +y （x+y）(x x y+x y xy +y )442222=(x+y)x +y xy(x +y )+x y 42222=aa 4a b+2b b(a 2b)+b 532a 5a b+5ab例2.求证：四个連续整数的积加上1 的和

5、，一定是整数的平方。证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3(a 为整数)22a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a+3a)(a +3a+2)+122222 =(a +3a) +2(a +3a)+1=(a +3a+1)a 是整数，整数的和、差、积、商也是整数2a +3a+1 是整数证毕222111例3.求证：2 3能被 7 整除证明：2 3 （2 ） 3 4 32n+12n+1根据a+b能被 a+b 整除，（见内容提要 4）1111114 3能被43 整除2221112 3能被 7 整除例 4. 由完全平方公式推导“个位数字为5 的两位数

6、的平方数”的计算规律解：22(10a+5) =100a +210a5+25=100a(a+1)+25“个位数字为 5 的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字 5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1 的数的积。22如：15 =225幂的百位上的数字 2=12)， 25 =625 (6=23)，2235 =1225 (12=34) 45=2025 (20=45)【实战模拟】【实战模拟】1 填空：a +b =(a+b) _(a+b) =(ab) +_33344222a +b =(a+b) 3ab(_)a +b =(a +b ) _5544552233,a +b =

7、(a+b)(a +b )_a +b =(a +b )(a +b )_2 填空：(x+y)(_)=xy(xy)(_)=x y5555(x+y)( _)=x+y（xy）(_)=x y3.计算：2222255 =65 =75 =85 =95 =4. 计算下列各题 ，你发现什么规律1119=2228=3436=4347=7674=5.已知 x+4444222222221112111111111111223344551111234=3,求x +2x +3x +4的值xxxx用心爱心专心2226.化简：（a+b） (ab)22(a+b)(a ab+b )322(ab)(a+b) 2ab(a b )(a+b

8、+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)337.己知 a+b=1,求证：a +b 3ab=1258.己知 a =a+1，求代数式 a 5a+2 的值339.求证：2 1 能被 9 整除10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方11如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们的直径分别是 a,b,c 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长b bc c 求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。a a练习4.十位上的数字相同，个位数的和为10 的两个两位数相乘，其积的末两位数是两个个位数字的积，积的百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大1 的数的积28.n(n+1)+(n+1)=(n+1)9.可证明 3 个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于0(ab+ac+bc)2用心爱心专心3