二项式定理专题.pdf

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1、二项式定理二项式定理(25(25 分钟分钟5050 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 3535 分分) )1.(20181.(2018全国卷)全国卷)的展开式中的展开式中 x x4 4的系数为的系数为 ( () )A.10A.10B.20B.20C.40C.40D.80D.80【解析】【解析】 选选 C.C.展开式的通项公式为展开式的通项公式为 T Tr+1r+1= =r=2,r=2,则则 x x4 4的系数为的系数为 2 22 2【变式备选】【变式备选】=40.=40.(x(x2 2) )5-r5-r=2=2r rx x10-3r10-3r, ,令令

2、10-3r=410-3r=4 可得可得的展开式中常数项为的展开式中常数项为( () )A.15A.15B.-15B.-15C.20C.20D.-20D.-20【解析】【解析】选选 A.TA.Tr+1r+1= =( () )6-r6-r=(-1)=(-1)r r,r=0,1,r=0,1,6,6,令令 3-3- r=0,r=0,得得 r=2,r=2,所以所以的展开式的常数项为的展开式的常数项为(-1)(-1)2 2=15.=15.2.2.已知已知则则 n n 等于等于 ( () )展开式中展开式中, ,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64,64,A.4

3、A.4B.5B.5C.6C.6D.7D.7【解析】【解析】 选选 C.C.展开式中展开式中, ,各项系数的和为各项系数的和为 4 4n n, ,各项二项式系数的和为各项二项式系数的和为 2 2n n, ,由已知得由已知得=2=2n n=64,=64,所以所以 n=6.n=6.3.3.设设 S=(x-1)S=(x-1)3 3+3(x-1)+3(x-1)2 2+3(x-1)+1,+3(x-1)+1,则则 S S 等于等于 ( () )A.(x-1)A.(x-1)3 3B.(x-2)B.(x-2)3 3C.xC.x3 3D.(x+1)D.(x+1)3 3【解析】【解析】选选 C.S=C.S=(x-1

4、)(x-1)3 3+ +(x-1)(x-1)2 21+1+2+2+4+4(x-(x-1)11)12 2+ + +2+2n-1n-1113 3=(x-1)+1=(x-1)+13 3=x=x3 3. .等于等于( () )【变式备选】【变式备选】(2018(2018银川模拟银川模拟) )A.3A.3n nB.2B.23 3n nC.C.-1-1D.D.+2+2+4+4+ +2+2n-1n-1【解析】【解析】选选 D.D.= = ( (+2+2+2+22 2+ +2+2n n)-)-= = (1+2)(1+2)n n- - = =. .4.4.在在的展开式中的展开式中,x,x 的幂指数是整数的项共有

5、的幂指数是整数的项共有( () )A.3A.3 项项B.4B.4 项项C.5C.5 项项D.6D.6 项项【解析】【解析】选选 C.C.因为因为 T Tr+1r+1= =( () )24-r24-r= =, ,故当故当 r=0,6,12,18,24r=0,6,12,18,24时时, ,幂指数为整数幂指数为整数, ,共有共有 5 5 项项. .5.5.若若(1+mx)(1+mx)6 6=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+ +a+a6 6x x6 6, ,且且 a a1 1+a+a2 2+ +a+a6 6=63,=63,则实数则实数 m m 的值为的值为 ( () )A.1

6、A.1 或或 3 3B.-3B.-3C.1C.1D.1D.1 或或-3-3【解析】【解析】选选 D.D.令令 x=0,x=0,得得 a a0 0=(1+0)=(1+0)6 6=1.=1.令令 x=1,x=1,得得(1+m)(1+m)6 6=a=a0 0+a+a1 1+a+a2 2+ +a+a6 6, ,又又 a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+a6 6=63,=63,所以所以(1+m)(1+m)6 6=64=2=64=26 6, ,故故 m=1m=1 或或 m=-3.m=-3.6.6.若若是是 ( () )展开式中只有第六项的二项式系数最大展开式中只有第六项的二项式系数最大, ,

7、则展开式中的常数项则展开式中的常数项A.90A.90B.45B.45C.120C.120D.180D.180【解析】【解析】选选 D.D.因为因为展开式中只有第六项的二项式系数最大展开式中只有第六项的二项式系数最大, ,故故n=10,n=10,展开式的通项公式为展开式的通项公式为 T Tr+1r+1= =2 22 2=180.=180. 2 2r r令令 5-5-=0,=0,得得 r=2,r=2,所以展开式中的常数项是所以展开式中的常数项是7.7.已知已知 n nN N* *, ,则则 2 24n4n除以除以 1515 的余数为的余数为 ( () )A.1A.1B.3B.3C.4C.4D.2D

8、.2【解析】【解析】选选 A.A.因为因为 2 24n4n=16=16n n=(15+1)=(15+1)n n= =1515n n+ +1515n-1n-1+ + +1515n-2n-2+ + +15+15+)+1.)+1.=15(=15(1515n-1n-1+ +所以余数为所以余数为 1.1.二、填空题二、填空题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 1515 分分) )8.(20188.(2018天津高考天津高考) )在在的展开式中的展开式中,x,x2 2的系数为的系数为_._.【解析】【解析】因为因为的通项为的通项为 T Tr+1r+1= =x x5-r5-r=(-1)=(-1)r

9、r2 2-r-r, ,令令=2,=2,解得解得 r=2,r=2,即即 T T3 3=(-1)=(-1)2 22 2-2-2x x2 2= = x x2 2. .所以在所以在的展开式中的展开式中,x,x2 2的系数为的系数为 . .答案答案: :9.9.设设_._.的展开式中的展开式中 x x3 3的系数为的系数为 a,a,二项式系数为二项式系数为 b,b,则则 的值为的值为【解析】【解析】的展开式的通项是的展开式的通项是x x6-k6-k= =(-2)(-2)k k, ,根据题根据题意得意得6-6-答案答案: :4 4=3,k=2,=3,k=2,因此因此x x3 3的系数为的系数为a=60,a

10、=60,二项式系数为二项式系数为b=b=15,=15,因此因此, , = =4.=4.【误区警示】【误区警示】二项式系数与项的系数二项式系数与项的系数(a+bx)(a+bx)n n的展开式中的展开式中, ,二项式系数是指二项式系数是指与与 a,ba,b 的值无关的值无关, ,项的系数是指该项中除变量外的常数部分项的系数是指该项中除变量外的常数部分, ,它不仅与各项的项数有关它不仅与各项的项数有关, ,而且也与而且也与a,ba,b 的值有关的值有关. .如如(a+bx)(a+bx)n n的展开式中的展开式中, ,第第 k+1k+1 项的二项式系数是项的二项式系数是10.(201810.(2018

11、汕头模拟汕头模拟) )已知已知a=_.a=_.【解析】【解析】(2x-1)(2x-1)5 5的展开式的通项公式为的展开式的通项公式为, ,而该项的系数是而该项的系数是a an-kn-kb bk k. ., , , , ,它只与各项的项数有关它只与各项的项数有关, ,而而(2x-1)(2x-1)5 5展开式中的常数项为展开式中的常数项为 30,30,则实数则实数T Tr+1r+1= =所以所以(2x)(2x)5-r5-r(-1)(-1)r r=(-1)=(-1)r r2 25-r5-rx x5-r5-r. .x=30,x=30,解得解得 a=3.a=3.(2x-1)(2x-1)5 5展开式中的常

12、数项为展开式中的常数项为 2 2答案答案: :3 3【变式备选】【变式备选】(1+x+x(1+x+x2 2) )【解析】【解析】r=3,Tr=3,T4 4= =r=4,Tr=4,T5 5= =1(1(- -(-1)(-1)3 3=-=-的展开式中的常数项为的展开式中的常数项为_._.x x6-r6-r=(-1)=(-1)r rx x6-2r6-2r, ,令令 6-2r=0,6-2r=0,得得的展开式中的展开式中,T,Tr+1r+1= =, ,令令 6-2r=-1,6-2r=-1,得得 r=r= ( (舍去舍去),),令令 6-2r=-2,6-2r=-2,得得的展开式中的常数项为的展开式中的常数

13、项为(-1)(-1)4 4x x-2-2, ,所以所以(1+x+x(1+x+x2 2) )+)+=-20+15=-5.=-20+15=-5.答案答案: :-5-5(20(20 分钟分钟4040 分分) )1.(51.(5 分分) )若若的展开式中含有常数项的展开式中含有常数项, ,则则 n n 的最小值等于的最小值等于 ( ( ) )A.3A.3B.4B.4C.5C.5D.6D.6【解析】【解析】选选 C.C.的展开式的项为的展开式的项为 T Tr+1r+1= =x x6(n-r)6(n-r)= =, ,由由 6n-6n-r=0r=0 得得,n=,n= r,r,又又 n n 为正整数为正整数,

14、 ,所以当所以当 r=4r=4 时时,n,n 的最小值为的最小值为 5.5.的展开式中的展开式中,x,x3 3的系数为的系数为 10,10,则实数则实数 a a 等于等于 ( () )【变式备选】【变式备选】在在A.-1A.-1B.0B.0C.1C.1D.2D.2【解析】【解析】 选选 D.D.因为因为 T Tr+1r+1= =所以所以 a=2.a=2.x x5-r5-r= =a ar rx x5-2r5-2r, ,所以当所以当 5-2r=35-2r=3 时时,r=1,r=1,所以所以 a a=10,=10,2.(52.(5 分分) )在二项式在二项式的展开式中的展开式中, ,偶数项的二项式系

15、数之和为偶数项的二项式系数之和为 256,256,则展开式中则展开式中 x x 的系数为的系数为_._.【解析】【解析】 二项式展开式中二项式展开式中, ,偶数项与奇数项的二项式系数之和相等偶数项与奇数项的二项式系数之和相等, ,所以所以 2 2n-1n-1=256,=256,解得解得 n=9;n=9;所以二项式所以二项式的展开式中的展开式中, ,通项公式为通项公式为T Tr+1r+1= =(9x)(9x)9-r9-r9 93 3= =9 99-r9-r; ;令令 9-9-=1,=1,解得解得 r=6;r=6;所以展开所以展开式中式中 x x 的系数为的系数为答案答案: :8484=84.=8

16、4.【变式备选】【变式备选】若若的展开式中的展开式中, ,二项式系数和为二项式系数和为 64,64,所有项的系数和为所有项的系数和为729,729,则则 a a 的值为的值为_._.【解析】【解析】由由的展开式中二项式系数和为的展开式中二项式系数和为 2 2n n=64,=64,可得可得 n=6,n=6,再由再由的展开式中所有项的系数和为的展开式中所有项的系数和为(1+a)(1+a)6 6=729,=729,可得可得 a=-4a=-4 或或 a=2.a=2.答案答案: :-4-4 或或 2 23.(53.(5 分分) )如果如果(1+x+x(1+x+x2 2)(x-a)(x-a)5 5(a(a

17、 为实常数为实常数) )的展开式中所有项的系数和为的展开式中所有项的系数和为 0,0,则展则展开式中含开式中含 x x4 4项的系数为项的系数为_._.【解析】【解析】因为因为(1+x+x(1+x+x2 2)(x-a)(x-a)5 5的展开式中所有项的系数和为的展开式中所有项的系数和为(1+1+1(1+1+12 2)(1-a)(1-a)5 5=0,=0,所以所以 a=1,a=1,所以所以(1+x+x(1+x+x2 2)(x-a)(x-a)5 5=(1+x+x=(1+x+x2 2)(x-1)(x-1)5 5=(x=(x3 3-1)(x-1)-1)(x-1)4 4=x=x3 3(x-1)(x-1)

18、4 4-(x-1)-(x-1)4 4, ,其展开式中含其展开式中含 x x4 4项的系数为项的系数为(-1)(-1)0 0=-5.=-5.答案答案: :-5-5(-1)(-1)3 3- -4.(124.(12 分分) )已知在已知在(1)(1)求求 n.n.(2)(2)求含求含 x x2 2项的系数项的系数. .(3)(3)求展开式中所有的有理项求展开式中所有的有理项. .【解析】【解析】(1)(1)通项公式为通项公式为的展开式中的展开式中, ,第第 6 6 项为常数项项为常数项. .T Tr+1r+1= =因为第因为第 6 6 项为常数项项为常数项, ,= =, ,所以所以 r=5r=5 时

19、时, ,有有(2)(2)令令=0,=0,即即 n=10.n=10.=2,=2,得得 r=r= (n-6)=2,(n-6)=2,= =. .所以含所以含 x x2 2项的系数为项的系数为(3)(3)根据通项公式根据通项公式, ,由题意得由题意得令令=k(k=k(kZ),Z),则则 10-2r=3k,10-2r=3k,即即 r=5-r=5- k,k,因为因为 k k 可取可取 2,0,-2,2,0,-2,即即 r r 可取可取 2,5,8.2,5,8.所以第所以第 3 3 项项, ,第第 6 6 项与第项与第 9 9 项为有理项项为有理项, ,它们分别为它们分别为x x2 2,-,-, ,x x-

20、2-2. .5.(135.(13 分分) )已知已知式系数的比为式系数的比为 83.83.(1)(1)求求 n n 的值的值. .二项展开式中二项展开式中, ,第第4 4项的二项式系数与第项的二项式系数与第3 3项的二项项的二项(2)(2)求展开式中求展开式中 x x3 3项的系数项的系数. .(3)(3)计算式子计算式子-2-2+4+4-8-8+ +1 024+1 024的值的值. .【解析】【解析】(1)(1)由第由第 4 4 项的二项式系数与第项的二项式系数与第 3 3 项的二项式系数的比为项的二项式系数的比为 83,可得83,可得= = , ,化简可得化简可得= = , ,求得求得 n=10.n=10.(2)(2)由于由于二项展开式的通项公式为二项展开式的通项公式为 T Tr+1r+1=(-2)=(-2)r r=180.=180.x x5-r5-r, ,令令 5-r=3,5-r=3,求得求得r=2,r=2,可得展开式中可得展开式中 x x3 3项的系数为项的系数为(-2)(-2)2 2(3)(3)由二项式定理可得由二项式定理可得-2-2= =+ +1 024+1 024(-2)(-2)r rx x5-r5-r, ,所以令所以令 x=1x=1 得得+4+4-8-8=(1-2)=(1-2)1010=1.=1.