二次函数几种解析式的求法.pdf

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1、二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉及面广， 灵活性大， 技巧性强， 笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。一、三点型例1已知一个二次函数图象经过（-1， 10）、（ 2， 7）和（ 1， 4）三点，那么这个函数的解析式是 _。2分析已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为入，易得 a=2,b=-3,c=5。故所求函数解析式为 y=2x2y=ax +bx+c,将三个点的坐标代-3x+5.这种方法是将坐标代入y=ax2 +bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系y=ax2 +bx+c.数 a, b , c, 进而获得解析式二、交点型

2、22例 2已知抛物线 y=-2x+8x-9 的顶点为 A，若二次函数 y=ax+bx+c 的图像经过 A点，且与 x轴交于 B （0， 0）、C （ 3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。分析2要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3), 再求也 y=-2x+8x-9 的1y=ax(x-3), 得到 a=2顶点 A （2， -1 ）。将 A 点的坐标代入1y=2 x(x-3), 即1 x2y=23 x2.三、顶点型2例 3已知抛物线 y=ax +bx+c 的顶点是 A(-1,4) 且经过点 (1,2) 求其解析式。y=a(x+1)2 +4.分析 此类题型可设顶点坐标为

3、(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2 +k. 在本题中可设1再将点 (1,2) 代入求得a=-21 ( x1)24,y=-21x2即 y=-2x 72.由于题中只有一个待定的系数a，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。四、平移型2例 4 二次函数 y=x+bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3 个单位得二次函数yx22x1,则 b与 c分别等于(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析逆用平移分式，将函数y=x2-2x+1 的顶点（ 1，0）先向下平移3， -3 ）。3 个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（2bxc( x 3)23

4、y=x=x26x6.b=-6,c=6.因此选（ B）五、弦比型2例 5已知二次函 y=ax为 2，求这个二次函数的解析式。+bx+c 为 x=2 时有最大值 2，其图象在 X轴上截得的线段长分析弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=a就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A（ 1，0），B（ 3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为 y=-2x2 +8x-6.六、识图型1x2(b 2) x c1x2与 y=2(b 2) x d其中一条的顶点为例 6 如图 1， 抛物线 y=2P，另一条与 X轴交于 M、 N 两点。（1）试判定哪条抛物线与X 轴交于 M、N 点

5、？（2）求两条抛物线的解析式。1(b2)x解（ 1）抛物线y=x22点（过程从略） ；1x2(b 2)x d（2）因 y=2的顶点坐标为（0， 1 ），b-2=0,d=1, b=2.1x21Y=2.1x2将点 N 的坐标与b=2 分别代入y=2+(b+2)x+c得 c=6.1x2y=2+4x+6七、面积型例 7已知抛物线y=x2bxc的对称轴在y 轴的右侧，且抛物线与与 x轴的交点为A、 B，顶点为P，PAB 的面积为 8 。求其解析式。bx解将（ 0， -3 ）代入y=x2c得c=-3.由弦长公式，得ABb212c与 x轴交于y 轴交于QM ，N两0，-3），（12 b2点 P 的纵坐标为4

6、由面积公式，得1 b21212 b28.24解得 b2.因对称轴在y 轴的右侧 , b=-2.所以解析式为y=x22x 3八、几何型例8 已知二次函数y= x2-mx+2m-4如果抛物线与顶点组成一个等边三角形，求其解析式。解m24(2m 4) m 4由弦比公式，得AB=( m 4)2顶点 C 的纵坐标为 -4 ABC 为等边三角形(m4)21 3m442解得 m=423,故所求解析式为y=x2(423)x 44 3,或y= x2(4 2 3) x 4 4 3九、三角型例9已知抛物线y= x2bx c的图象经过三点（0，A 、 B 为直角三角形的两个锐角，求其解析式。解 A+B=900， si

7、nB=cosA.则由根与系数的关系，可得x 轴相交的两个交点以及抛物线的1225）、（ sinA， 0 ）、（ sinB ， 0 ）且sin A cosAbsin A cos A c1212.将（ 0，25）代入解析式，得c=25（1）2(2)2,得b2241, b72557-b0, b=-5x27x12所以解析式为 y=525十、综合型例 10如图 2，已知抛物线y=-x2pxq与 x 轴交于若 ACB=900，且 tg CAO-tg CBO=2，求其解析式解设 A ， B 两点的横坐标分别为x1, x2,则q=(-x1)x2由AOC COB ，可得 OC2 =OA OB ，q2 =q 解得

8、 q1 =1,q2 =0（舍去），OCOC又由 tg CAO-tg CBO=2得OA2OBA 、 B 两点 , 与 y 轴交于OA OB.C 点，1即1X1X22x1 +x2 =-2x1 x2即 p=2p=2所以解析式为y=-x2 +2x+1函数及其图象次函数性质的应用用二次函数性质求点的坐标二次函数解析式二次函数解析式测 试与 答 案-知抛 物 线a. b. c. b2 - 4 a c 的 符 号 ，y = a x2 + bx + c 如 图 所 示 ， 对 称 轴 是 直 线x = - 1a- b+ c o取何 值 时 ， y 随 x 值 的 增 大 而 减 小 。;由抛 物 线 开 口

9、向 上 ， 得 出 a 0， 由 抛 物 线 与 y轴 交 点 坐 标 为 ( O ， C)， 而 此 点 在 x轴 下 方 ， 得 出 c 0， 又 =-1 ， 在 y轴 左 侧 ， 得 出 b与 a同 号 b 0。x 轴 有 两 个 交 点 ， 即a x2 + b c + c =0 有 两 个 不 等 的 实 根 ， b2 - 4 a c 0-1时 ， y = a - b +c 0-1时 ， y随x 值 的 增 大 而 减 小 。知 y 是 x 的 二 次 函 数 ， 且 其 图 象 在 x 轴 上 截 得 的 线 段AB 长4 个 单 位 ， 当x = 3时 ， y取 得 最 小 值 -

10、 2 。 ( 1 ) 求(2) 若此函数图象上有一点P，使PAB 的面积等于12 个平方单位，求P 点坐标。已 知 可 得 抛 物 线 的 对 称 轴 是 直 线 x = 3 ， 根 据 抛 物 线 的 对 称 性 ， 又 由 抛 物 线 在 x轴 上 截 得 线 段 AB 的 长 是 4(1，0)，(5,0)当 x = 3时y 取 得 最 小 值 - 2. 即 抛 物 线 顶 点 为 ( 3 ， - 2). 设 二 次 函 数 解 析 式 为2- 2在 x轴 上 截 得 线 段AB 的 长 是4 ， 图 象 与x 轴 交 于 ( 1 ， 0 ) 和 ( 5 ， 0 ) 两 点2- 2= 0

11、a =次 函 数 解 析 式 为 y =x2 - 3 x +AB 的面积为 12个平方单位，AB =4 4 Py = 1 2 Py = 6 Pg= 6开 口 向 上 ， 函 数 值 最 小 为 - 2 ， Py =- 6 应 舍 去 ， Pg = 6又 点P 在 抛 物 线 上 ，x2 - 3 x +=7坐标为(-1 ，6)或(7，6)题 如 果 设 图 象 与 x轴 交 点 横 坐 标 为x 1， x 2， 运 用 公 式 x1 - x2 =， 会抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标，比较简便。图， 矩 形EFGH内 接 于 ABC 。 E、 F在 AC 边 上 H、 G 分 别 在

12、AB、 BC 边 上 ， AC= 8 c m,高 BD= 6 c m,设 矩 形 的 宽 HE EFGH的面 积 y ( c m2 ) 与 矩 形 EFGH的 宽 x ( c m) 间 的 函 数 关 系 式 ， 并 回 答 当 矩 形 的 宽 取 多 长 时 ， 它 的 面 积 最边形EFGH是矩形 ACABC HBG交 HG 于 M与 BM 分别是ABC 和HBG的高。AC,HE= x , BM=6 - x矩 形EFGH,=HE* HG*得 y = -x2 +8 x6变量 x 的 取 值 范 围 是0 x 6的系数为- 0，有最大值-=3 时，值= 1 2求函 数 的 解 析 式 为 y

13、= -x2 + 8 x ( 0 x 6 ) ， 当 它 的 宽 为 3 c m时 ， 矩 形 EF为 1 2 c m2。22二次 函 数y = a x + bx - 5的 图 象 的 对 称 轴 为 直 线 x = 3， 图 象 与 y 轴 相 交 于 点B， 设x 1 , x 2 是 方 程 a x + b x - 5 = 0的二次函数的解析式原点O 到直线AB 的距离)如 图=3 -=6+x2 = -= 6知， 有x 12 +x 22 = 2 6，+x 2 )2 - 2 x 1 x 2= 2 6)2+=26,a= - 1析式 为y = - x2 + 6 x - 5 = - ( x - 3

14、)2 + 4OB= 5 , OC=4 , AC= 3= 3=5OB 为等腰三角形，作OD AB 于D ，=,点 O 到直线 AB 的距离为同步测试：P( 3 m- p, 1 - m)是 第 三 象 限 的 整 数 点 ， 那 么 P 点 坐 标 是 (C)(-3 ，-2)(D)(-4 ，-2)，-1)(B)(-3 ，-1)(a , b )在 第 二 、 四 象 限 两 轴 夹 角 平 分 线 上 ， 则a 与 b 的 关 系 是 ( )B) a =- b ( C) a = b( D) a = b,y ) 在 第 二 象 限 ， 且 x = 2， y = 3, 则 点 P关 于x 轴 对 称 点

15、 的 坐 标 为 ( )3)(B)(2 ， -3)(C)(-2 ，-3)(D)(2 ， 3)=中 ， 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 ()( B) x 2( C) x 2( D) x 2=中 ， 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 ()且x 1 ( B ) x - 2且 x 1且x 1 ( D) x - 2 或 x 1函 数中，成正比例函数关系的是( )面积与它的周长面积是定值，矩形的长与宽形面积与它的边长边一定时，三角形面积与底边上的高=k ( x - 1 )与 y =( k o ) 在 同 一 坐 标 系 下 的 图 象 大 致 如 图 ( )线 y = k x + b的 图

16、象 过 二 、 三 、 四 象 限 ， 那 么 ()b 0( B)k 0， b 0，b 0 ( D) k 0， b 0物 线 y =-+x - x2， 下 列 结 论 正 确 的 是 ( )向上，顶点坐标是(， 0 )向下，顶点坐标是(， 0 )向下，顶点坐标是(-，)向上，顶点坐标是(-，-)0, b 0则 函 数 y = a x2 + bx的 图 象 是 下 面 图 中 的 ( )：二 次 函 数 y = a x 2 + b x + c的 图 象 如 图 ， 则 ( )b 0,b 0,b 0,b 0,c 0 ,c 0 ,c 0 ,c 0 , 0 0 0 0数 y = 2 x2 - 4x -

17、 5的 图 象 向 左 平 移 2个 单 位 ， 再 向 下 平 移 3个 单 位 后 ， 所 得 到 的 函 数 图 象 的 解 析 式 为 ()+4 x - 8( B) y =2 x2 - 8 x + 8+4 x - 2( D) y =2 x2 - 8 x - 2， - 5 ) 到 x 轴 的 距 离 是 _ _ _； 到y 轴 的 距 离 是 _ _ _ _ ； 到 原 点 的 距 离 是y= k x + b 与 直 线 y = -x 平 行 ， 且 通 过 点 ( 2 ， - 3) ， 则 k = _ _ ， 在y 轴 上 的函数 的 图 象 经 过 ( 1 ， - 5) 点 且 与y

18、 轴 交 于 ( 0 ， - 1 ) 点 ， 则 一 次 函 数 的 解 析 式 为 _ _ _ _.抛物线的顶点为 M(4，8)且经过坐标原点，则抛物线所对应的二次函数的解析式为_.函 y =x +C 与点A 的一次函数解析式。分 别 与x 轴 ，y 轴 交 于 点，若BAC 为直角，求图象过点如图 ， 在A BC 中 ， AB= 4 ， AC= 6 , D是AB 边 上 一 点 ， E 是A C 边 上 一 点 ， ADE = C,设DB= x , AE=y 。y 与x 的 函 数 关 系 式 ；这个函数图象。角坐 标 系 x oy中 ， 直 线 l 过 点 ( 4 ， 0)， 且 与 x

19、， y轴 围 成 的 直 角 三 角 形 面 积 为 8， 一 个 二 次 函 数 图 象 过 直 线且以 x =3为 对 称 轴 ， 开 口 向 下 。 求 二 次 函 数 的 解 析 式 及 函 数 的 最 大 值 。抛物 线 y = x2 - mx + ( 2 m+ 3 ) ( m是 不 小 于 - 2 的 整 数 )与 x 轴 相 交 于A、 B 两 点 ， 且A、 B 两 点 间 的 距 离 恰 是 顶 点 到倍 。条抛物线的函数解析式；D( t , 2 )是 抛 物 线 上 一 点 且 在 第 一 象 限 ， 求D 点 坐 标 。与答 案3.C4.B5.C6.D7.A8.D11. B12. A13. 5 ， 3， 2， - 2 1 5. y =- 4 x - 1 1 6. y = -x2 + 4 xx -x +( 0 x 4 ) ； ( 2) 图 略x2 + 3x - 4, 最 大 值 为.x2 +2 x - 1; ( 2 ) D( 1, 2 )：