交大复旦同济自主招生数学试题完美版.pdf

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1、交通大学 2000 年保送生数学试题一、选择题一、选择题( (本题共本题共 1515 分，每小题分，每小题 3 3 分在每小题给出的分在每小题给出的 4 4 个选项中，只有一项正确，把所选项个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内的字母填在括号内) )1若今天是星期二，则31998天之后是()A星期四B星期三C星期二D星期一2用 13 个字母 A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是()A4813!18B21613!C172813!D813!()3方程 cos2xsin2x+sinxm+

2、1 有实数解，则实数m 的取值范围是Am Bm 3Cm 1D3 m 184若一项数为偶数 2m 的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q0 的两个根，则此数列各项的积是()m2mm2mApBpCqDq5设 f (x0)2，则limh0f (x0h) f (x0h)hC4D4()A2B2二、填空题（本题共二、填空题（本题共 2424 分，每小题分，每小题 3 3 分）分）1设 f(x)的原函数是x 1，则2设x(0,10f (2x)dx _2x)，则函数(sin2xxx112)(cos x)的最小值是_22sin xcos x3方程316 281 536的解 x_4向量a i 2 j在向量b

3、 3i 4 j上的投影(a)b_5函数y 2x33x2的单调增加区间是_6 两个等差数列 200， 203， 206， 和 50， 54， 58都有 100 项， 它们共同的项的个数是_7 方程 7x2(k+13)x+k2k20 的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内， 则 k 的取值范围是_8将 3 个相同的球放到 4 个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有 3 个盒子各放一个球”的概率是_三、证明与计算（本题三、证明与计算（本题 6161 分）分）1 (6 分)已知正数列 a1， a2， ， an， 且对大于 1 的 n 有a1a2试证：a

4、1，a2，an中至少有一个小于 1an3n，a1a22ann122(10 分)设 3 次多项式 f(x)满足：f(x+2)f(x)，f(0)1，f(3)4，试求 f(x)1p2pnp(p 0)3(8 分)求极限limnnp1x2bxc , x 014(10 分)设f (x) 在 x0 处可导，且原点到f(x)中直线的距离为，原点3x 0lxm ,到 f(x)中曲线部分的最短距离为3，试求 b，c，l，m 的值(b,c0)5(8 分)证明不等式：1sin x cosx 2，x0,6 (8 分)两名射手轮流向同一目标射击， 射手甲和射手乙命中目标的概率都是谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜

5、的概率7 (11 分)如图所示， 设曲线y 3421 若射手甲先射，2y1上的点与 x 轴上的x1上试求xB1B2OA1A2x点顺次构成等腰直角三角形OB1A1，A1B2A2，直角顶点在曲线y An的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在复旦大学 2000 年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题一、填空题（每小题 1010 分，共分，共 6060 分）分）1将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，第 n 组含 n 个数，即 1；2，3；4，5，6；令 an为第 n 组数之和，则 an_2sinsin (22)sin2()_333lim(n2)lo

6、g2(n2)2(n1)log2(n1)nlog2n_n4 已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60 度， 又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成 60 度角，则两对角面面积之比为_5正实数 x,y 满足关系式 x2xy40，又若 x1，则 y 的最小值为_6一列火车长 500 米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台 1000 米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了_米二、解答题（每小题二、解答题（每小题 1515 分，共分，共 9090 分）分）1数列an适

7、合递推式 an+13an+4，又 a11，求数列前 n 项和 Sn2求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明3正六棱锥的高等于 h，相邻侧面的两面角等于2arcsin求该棱锥的体积(cos1(3 2 6)，21( 2 6)1244设 z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0求证：这四个点组成一个矩形5设(12)n xn yn2，其中 xn,yn为整数，求 n 时，xn的极限yn6设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点请证明你的结论2001

8、年上海交通大学联读班数学试题一、填空题（本题共一、填空题（本题共 4040 分，每小题分，每小题 4 4 分）分）1数N 2 5的位数是_2若 log2log3(log4x)log3log4(log2y)log4log2(log3z)0，则 x+y+z_3若 log23p，log35q，则用 p 和 q 表示 log105 为_4设 sin和 sin分别是 sin与 cos的算术平均和几何平均，则cos2:cos2_5设x0,1282，则函数 f(x)cosx+xsinx 的最小值为_6有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多 2 个小

9、球，则这盒小球的个数为_7若在数列 1，3，2，中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前 100 项之和是_8在(1+2xx2)4的二项展开式中 x7的系数是_9某编辑在校阅教材时，发现这句：“从 60角的顶点开始，在一边截取9 厘米的线段，在另一边截取 a 厘米的线段， 求两个端点间的距离”，其中 a 厘米在排版时比原稿上多1 虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a_10任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1 的等差数列的概率为_二、选择题（本题共二、选择题（本题共 3232 分，每小题分，每小题 4 4 分）

10、分）11a0，b0，若(a+1)(b+1)2，则 arctana+arctanb()A2B3C4D612一个人向正东方向走x 公里，他向左转 150后朝新方向走了 3 公里，结果他离出发点3公里，则 x 是A313(12132B2 3C31412D不能确定132()(12116)(12)(12)(12) B(12132118()11321A(12)2)C121132D(12)214设t表示 t 的最大整数，其中 t0 且 S(x,y)|(xT)2+y2T2,Ttt，则()A对于任何 t，点(0,0)不属于 SBS 的面积介于 0 和之间C对于所有的 t5，S 被包含在第一象限D对于任何 t，S

11、 的圆心在直线 yx 上15若一个圆盘被 2n(n0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔， 则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是()A2n+2B3n1C3nD3n+116若 i21，则 cos45+icos135+incos(45+90n)+i40cos3645()A12B21 22C2(2120i)2D2(2120i)217若对于正实数 x 和 y 定义x y xy，则x y()A”*”是可以交换的，但不可以结合B”*”是可以结合的，但不可以交换C”*”既不可以交换，也不可以结合D”*”是可以交换和结合的18两个或两个以上的整数除以N(N 为整数，N1)，若所得的余数相同且都是非负数，

12、则数学上定义这两个或两个以上的整数为同余若69，90 和 125 对于某个 N 是同余的，则对于同样的 N，81 同余于()A3B4C5D7三、计算题（本题共三、计算题（本题共 7878 分）分）19(本题 10 分)已知函数 f(x)x2+2x+2，xt,t+1的最小值是 g(t)试写出 g(t)的解析表达式11(x)6(x66)2xx20(本题 12 分)设对于 x0，f (x) ，求 f(x)的最小值1331(x) x 3xx21(本题 16 分)已知函数f1(x) 2x1，对于 n1,2,3,定义 fn+1(x)f1fn(x)若 f35(x)f5(x)，x1则 f28(x)的解析表达式

13、是什么？22(本题 20 分)已知抛物线族 2yx2-6xcost-9sin2t+8sint+9，其中参数 tR R(1) 求抛物线顶点的轨迹方程；(2) 求在直线 y12 上截得最大弦长的抛物线及最大弦长23(本题 20 分)设xn为递增数列，x11，x24，在曲线y P1(1,1),P2(4,2),P3(x3,x3),且以 O 为原点， 由 OPn、Pn(xn,xn)，OPn+1与曲线 PnPn+1所围成部分的面积为Sn，若Sn(nN N)是公比为PnyPn+1x上与之对应的点列为4的等比数5OXn列，图形 XnXn+1Pn+1Pn的面积为323(xn21 xn2)，3Xn+1x试求 S1

14、+S2+Sn+和limxnn复旦大学 2001 年选拔生考试数学试题一、填空一、填空( (每小题每小题 5 5 分，共分，共 4545 分分) )1sinxsiny0，则 cos2xsin2y_2平面1,2成的二面角，平面1中的椭圆在平面2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为_3(x2+2x+2)(y2-2y+2)1，则 x+y_4电话号码 0，1 不能是首位，则本市电话号码从7 位升到 8 位，使得电话号码资源增加_5200283a3+82a2+8a1+a0，0a0,a1,a2,a37 正整数，则 a0_6(x115)的常数项为_x7limn( n1n)_n8空间两平面,，是否一定存在一个

15、平面均与平面,垂直？_9在ABC 中，cos(2AC)cos(2CB)，则此三角形的形状是_二、解答题二、解答题( (共共 8787 分分) )1求解：cos3xtan5xsin7x2数列 3，3lg2，,3(n1)lg2问当 n 为几时，前 n 项的和最大？3求证：xR R 时，|x1|4|x31|4a 为何值时，方程lgxlg(a x) log2(a21)有解？只有一解？lg2lg25一艘船向西以每小时10 公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20 公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离300 米，在台风中心周围 100 米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？

16、1x46x -2y 1 的所有整数解(x,y)，试证明：|23|y| y|333上海交通大学 2002 年保送生考试数学试题一、填空题一、填空题（本题共 64 分，每小题 4 分）1设方程 x3=1 的一个虚数根为, 则2nn1(n 是正整数)=_2设 a,b 是整数，直线 y=ax+b 和 3 条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7 与 y=x2+4x+5 的交点个数分别是 2，1，0，则(a,b)=_3投掷 3 个骰子，其中点数之积为9 的倍数的概率为_4若 x,y,z0 且 x2+y2+z2=1，则111的最小值为_x2y2z25若 2x2x=2，则 8x=_6若 a,b,c 为正实

17、数，且 3a=4b=6c，则7(1111=_a2bc11)(1)2223(11)的值为_2nsec2xtgx8函数y 的值域为_sec2xtgx9若圆内接四边形 ABCD 的边长 AB=4，BC=8，CD=9，DA=7，则 cosA=_10若 a,b 满足关系：a 1b2b 1a21，则 a2+b2=_11(x 1219)的展开式中 x9的系数是_2x2时，方程a2 x22| x|的相异实根个数共有_个212当1 a 13若不等式0 x ax5 4有唯一解，则 a=_14设 a,b,c 表示三角形三边的长，均为整数，且a b c，若 b=n（正整数） ，则可组成这样的三角形_个15有两个二位数

18、，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为_16某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5 所小学，各小学分别有电脑15，7，11，3，14 台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了 _台，从第二小学向第三小学移交了_台，从第五小学向第一小学移交了_台，移动总数是_台二、计算与证明题二、计算与证明题（本题共 86 分）17 （本题 12 分） （1）设 n 为大于 2 的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：11(1)12223x2sin x111，2 2；(2)已知当0 x 1时,16xnn试用此式

19、与(1)的不等式求lim111(sin12sin3sinnn231nsin)n18 （本题 14 分）若存在实数x，使f(x)=x，则称x 为 f(x)的不动点，已知函数f (x) 个关于原点对称的不动点(1) 求 a,b 须满足的充要条件；(2) 试用 y=f(x)和 y=x 的图形表示上述两个不动点的位置（画草图）19 （本题 14 分）欲建面积为 144m2的长方形围栏，它的一边靠墙（如图） ，现有铁丝网 50m，问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的长度220（本题 14 分） 设数列an满足关系an1 2an1(n 1,2,2xa有两xbx144m2y)， 若 N 满足

20、aN1(N 2,3,)，试证明：(1)|a1|1；(2)a1 cosk（k 为整数）N2221 （本题 16 分）设f (x) |lgx|, a,b为实数，且0 a b, 若 a,b 满足 f (a) f (b) 2 f (ab)2试写出 a 与 b 的关系，并证明在这一关系中存在b 满足 3b0，Bx|x+1|+|x3|6，则AB=_5数列an的前 n 项和为 Sn，若 ak=kpk(1p),(p1)，则 Sk_6若(x1)2+(y1)21，则y 1的范围是_x3z1_z27边长为 4 的正方形 ABCD 沿 BD 折成 60o二面角，则 BC 中点与 A 的距离是_8已知|z1|2，|z2

21、|3，|z1+z2|4，则9解方程xlogaxx32，x_aan10(a0)，limn_n2 an二、解答题二、解答题(本大题共 120 分)11已知|z|1，求|z2+z+4|的最小值12a1,a2,a3,an是各不相同的自然数，a2，求证：(13已知sincos1a11) ()a()aa1a2a3(1a) 2an3，cossin2，求tancot的值214一矩形的一边在 x 轴上，另两个顶点在函数y x(x0)的图象上，21 x求此矩形绕 x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值15 一圆锥的底面半径为 12， 高为 16， 球 O1内切于圆锥， 球 O2内切于圆锥侧面， 与球 O1外切， ，

22、以次类推，(1) 求所有这些球的半径 rn的通项公式；(2) 所有这些球的体积分别为V1,V2,Vn,求lim(V1V2nVn)16 已知数列an的前 n 项和为 Sn，an17定义闭集合 S，若a,bS，则abS，abS(1) 举一例，真包含于 R 的无限闭集合(2) 求证对任意两个闭集合 S1,S2R，存在cR，但cS1S21， 求 S2003( n1n)( n1n1)( n n1)同济大学 2003 年暨保送生考试数学试题一、填空题一、填空题1f(x)是周期为 2 的函数，在区间1,1上，f(x)|x|，则f (2m)_(m 为整数)2函数 ycos2x2cosx,x0,2的单调区间是_

23、3函数y 2x 2 x2的值域是_45函数 yf(x)，f(x+1)f(x)称为 f(x)在 x 处的一阶差分，记作 y，对于 y 在 x 处的一阶差分，称为 f(x)在 x 处的二阶差分2y，则 yf(x)3xx 在 x 处的二阶差分2y_67从 1100 这 100 个自然数中取 2 个数，它们的和小于等于50 的概率是_8正四面体 ABCD，如图建立直角坐标系，O 为 A 在底面的投z影， 则M点坐标是_， CN与DM所成角是_229双曲线 x y 1 上一点 P 与左右焦点所围成三角形的面积A_MN22xy1在第一象限上一点 P(x0,y0)，若过 P 的切线B10椭圆3243OCDx

24、y与坐标轴所围成的三角形的面积是_二、解答题二、解答题2x22kxk 0对于任意 xR 都成立，求 k 的取值范围11不等式log223x 6x412不动点，f (x) 析式；(3)13已知y bxc11(1),3 为不动点，求 a,b,c 的关系；(2) 若f (1)，求 f(x)的解xa22sincos(0,2)，(1) 求 y 的最小值；(2) 求取得最小值时的2sincosCDBC1D1B1n14正三棱柱ABCA1B1C1，|AA1|h，|BB1|a，点E 从 A1出发沿棱 A1AA运动，后沿 AD 运动，A1D1E，求过 EB1C1的平面截三棱柱所得的截面面积 S 与的函数关系式15

25、已知数列an满足an1anan12(1) 若 bnanan1(n=2,3,) ，求 bn；(2) 求A1b；(3) 求limaii1nn16抛物线 y22px，(1) 过焦点的直线斜率为 k，交抛物线与 A,B，求|AB|(2) 是否存在正方形ABCD，使C 在抛物线上，D 在抛物线内，若存在，求这样的k，正方形ABCD 有什么特点？上海交通大学 2004 年保送生考试数学试题(90 分钟)2004.1.3一、填空题：一、填空题：1已知 x,y,z 是非负整数，且 x+y+z=10，x+2y+3z=30，则 x+5y+3z 的范围是_2长为 l 的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，则它的面积

26、的最大值是_3函数y sin x cos x（0 x 2）的值域是_4已知 a,b,c 为三角形三边的长，b=n，且 abc，则满足条件的三角形的个数为_5x ax b和x bx c的最大公约数为x1，最小公倍数为22x3 (c 1)x2 (b 3)x d，则a=_,b=_,c=_,d=_6已知1 a 7(720042,则方程a2 x22 x的相异实根的个数是_ 36)818的个位数是_8已知数列an满足a11,a2 2，且an2 3an1 2an，则a2004=_9nn的正方格,任取得长方形是正方形的概率是_10已知6xyzabc 7abcxyz,则xyzabc=_1112二、解答题二、解答

27、题1已知矩形的长、宽分别为a、b，现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合，求所得折线长2某二项展开式中，相邻a 项的二项式系数之比为 1：2：3：a，求二项式的次数、a、以及二项式系数3f(x)=ax4+x3+(58a)x2+6x9a，证明： （1）总有 f(x)=0； （2）总有 f(x)04f1(x) 5对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹6已知bn为公差为6的等差数列，bn1 an1 an(n N)(1) 用a1、b1、n表示数列an的通项公式；(2) 若a1 b1 a，a27,33，求an的最小值及取最小值时的n的值1 x， 对于一切自然数 n

28、， 都有fn1(x) f1 fn(x)， 且f36(x) f6(x)， 求f28(x)x 1复旦大学 2004 年保送生考试数学试题（150 分钟）2003.12.21一、填空题（每题一、填空题（每题 8 8 分，共分，共 8080 分）分）841x 1 (x 2x21)(x4 ax21)，则a _2已知5x3 5x4 7，则x的范围是_x2y21，则椭圆内接矩形的周长最大值是_3椭圆169412 只手套（左右有区别）形成6 双不同的搭配，要从中取出4 只正好能形成 2 双，有_种取法5已知等比数列an中a1 3，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为_6x (a 1)x a 0的所有整

29、数解之和为 27，则实数a的取值范围是_2(x 4)2y2x2y21，则7已知的最大值为_494928设x1,x2是方程x xsin cos 0的两解，则arctgx1 arctgx2=_335359z z的非零解是_10y 21x1x的值域是_二、解答题（每题二、解答题（每题 1515 分，共分，共 120120 分）分）1解方程：log5(x 2已知sin() 3已知过两抛物线 C1：x 1 (y 1)2，C2：(y 1)2 4x a 1的交点的各自的切线互相垂直，求a4若存在M，使任意t D（D为函数f (x)的定义域） ，都有f (x) M，则称函数f (x)有x 3) 1124，si

30、n() ，且 0, 0,，求tg21352界问函数f (x) 5求证：1111sin在x(0, )上是否有界？xx21231331n3 36已知 E 为棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB 的中点，求点B 到平面 A1EC 的距离7比较log2425与log2526的大小并说明理由8已知数列an、bn满足an1 an 2bn，且bn1 6an 6bn，又a1 2，b1 4，求 (1)an,bn；简单解答：(2)limanbn一、填空题：1.二、解答题：5证明 1：122.(0.6,0.8)3.204.31m31(m1)m(m1)1m1 (11(m1)m)1m1(m1)m)1

31、m1m1=（m1m1m12而m 1 m 121m 11m 1m 1 m 1m21m原式1+31111111211=2 32324n1n1nn1证明 2：2n nn n(n1) (n1)(n1)11n 112n12n nn n 1n 11nn 1( n n1)n n 1n(n 1)原式12(1111111) 3 3223n1nn同济大学 2004 年自主招生优秀考生文化测试数学试卷一、填空题一、填空题（本大题共有 8 题，只要求直接填写结果，每题答对得5 分，否则一律得零分，本大题满分 40 分）1函数f (x) log1(sin xcos x)的单调递增区间是_22如图所示，为某质点在20 秒

32、内作直线运动时，速度函数20v v(t)的图象，则该质点运动的总路程s=_（厘米）v(cm/s)153设a 与 b 是两条非相互垂直的异面直线，与分别是过直线10a 与 b 的平面， 有以下 4 个结论： (1) b/，(2) b，(3)/，5(4)，则其中不可能出现的结论的序号为_510 15t(s)4设某地于某日午后2 时达到最高水位，为3.20 米，下一个最O高水位恰在 12 小时后达到，而最低水位为0.20 米。若水位高度 h（米）的变化由正弦或余弦函数给出，则该地水位高度h（米）作为时间t（单位：时，从该日零时起算）的函数的表达式为_5设是第二象限角，sin357, 则 sin2=_

33、5826已知复平面上点 A 与点 B 分别对应复数 2 与 2i，线段 AB 上的动点 P 对应复数 Z，若复数 z对应点 Q，点 Q 坐标为(x,y)，则点 Q 的轨迹方程为_7设有正数a 与 b，满足a0)，点B 是抛物线的焦点，点C 在正 x 轴上，动点A在抛物线上，试问：点C 在什么范围之内时BAC 是锐角？上海交通大学 2005 年保送、推优生数学试题一、填空题一、填空题（每小题 5 分，共 50 分）1方程x px88214 0的两根x1,x2满足x14 x2 22，则 p_（pR R）22p41, x(0,)，则 x=_12821n1120043已知 nZ Z，有(1) (1)，

34、则 n_n20042sin xcos x 4将 3 个 12cm12cm 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分（如左图） ，将这 6 部分接于一个边长为6 2的正六边形上（如下图） ，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，该多面体的体积为_5已知2 3 3 62 4 6 8 22223x 3y，x、yR，则(x,y)=_(1)n1(2n)2=_7若 z3=1，且 zC C，则 z32z22z20_8一只蚂蚁沿 123 立方体表面爬，从一对角线一端到另一端最短距离为_94 封不同的信放入 4 只写好地址的信封中，装错的概率为_，恰好只有一封装错的概率为_10已知等差数列an中，a3a7a11a

35、19 44，a5 a9 a16=_二、解答题二、解答题（第 1 题 8 分，第 2、3、4 题各 10 分，第 5 题 12 分）1x ax bxc 0的三根分别为 a,b,c，并且 a,b,c 是不全为零的有理数，求a,b,c 的值2是否存在三边为连续自然数的三角形，使得32(1) 最大角是最小角的两倍；(2) 最大角是最小角的三倍；若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由ax28xb3y 的最大值为 9，最小值为 1，求实数 a,b2x 14已知月利率为，采用等额还款方式，则若本金为1 万元，试推导每月等额还款金额m 关于的函数关系式（假设贷款时间为2 年） 5对于数列an：1,3,3,

36、3,5,5,5,5,5,，即正奇数k 有 k 个，是否存在整数r,s,t，使得对于任意正整数 n 都有an r nst恒成立（x表示不超过 x 的最大整数） 2005 年复旦大学考试试卷一、填空题：一、填空题：1A=xR R |log2x x1 0，B=xR R|2x21x1，A B=_ (BC表示 B 在R R 上的补集)2数 x 满足x 2C11 1，求x300300 _xx3求=5 3sin5cos的圆心坐标，0,24抛物线y 2x 2ax a与直线y x 1交于 A 和 B 两点，AB最大时, a=_5limn22n2n1n2n1_n(n 1) _26求 1+3+6+7 一个班 20

37、个学生， 有 3 个女生， 抽 4 个人去参观展览馆， 恰好抽到 1 个女生的概率为_8求31000在十进制中最后 4 位_9定义在 R R 上的函数 f(x)（x1)满足fx 2 f 10求y x 2002x 1 4015 x，则 f(2004)_1sin x的最大值是_2cosx二、解答题二、解答题x2y21在四分之一个椭圆221（xo, y0）上取一点P，使过P 点椭圆的切线与坐标轴所围ab成的三角形的面积最小2在 ABC 中，tanA:tanB:tanC=1:2:3，求ACAB3在正方体 A B C DA1B1C1D1中，E、F、G 点分别为 AD、AA1、A1B1中点，求：(1) B

38、 到面 EFG 距离；(2) 二面角 GEFD1平面角4在实数范围内求方程：410 x 47 x 3的实数根5已知sincos a0 a 2，求sinn cosn关于 a 的表达式6 直线 l 与双曲线 xy1 交于 P 和 Q 两点， 直线 l 与 x 轴交于 A， 与 y 轴交于 B， 求证：AP BQ4x17定义在 R R 上的函数fxx，Sn f 4 2n(1) 求Sn；(2) 是否存在常数 M0，n 2，有 2f n11S2S3 n 1f n=2,3,n1 MSn12006 年上海交通大学推优、保送生考试数学试题一、填空题一、填空题（每题 5 分，共 50 分）1矩形ABCD 中，A

39、D=a，AB=b，过A、C 作相距为 h 的平行线 AE、CF， A则 AF=_2一个正实数与它的整数部分， 小数部分成等比数列， 那么这个正实数是_B32005！的末尾有连续_个零34(x x2)展开式中，x项的系数为_210FDEC5在地面距离塔基分别为100m、200m、300m 的 A、B、C 处测得塔顶的仰角分别为, 且 90，则塔高为_6三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为 _；在一次游戏中，甲获胜的概率为_7函数y log3(x2axa)在(,1 3)上单调递增，则实数 a 的取值范围是_8是 x 1的非实数根，(1)(1)=_92 张 100 元，3

40、张 50 元，4 张 10 元人民币，共可组成_种不同的面值10已知ak52k 2，则数列an前 100 项和为_k!(k 1)!(k 2)!二、解答题二、解答题（第 11 题 8 分，第 12、13、14 题每题 10 分，第 15 题 12 分）11a,b,cR R ，abc0，bc，a(bc)x2b(ca)xc(ab)0 有两个相等根，求证：1 1 1,成等差数列a b cx2212椭圆2 y 1(a 1)，一顶点A(0,1)，是否存在这样的以A 为直角顶点的内接于椭圆的等a腰直角三角形，若存在，求出共有几个，若不存在，请说明理由13已知|z|=1，k 是实数，z 是复数，求|z2+kz

41、+1|的最大值14 若函数形式为f (x, y) a(x)b(y)c(x)d(y), 其中a(x),c(x)为关于 x 的多项式，b(y),d(y)为关于 y 的多项式，则称f (x, y)为 P 类函数，判断下列函数是否是P 类函数，并说明理由(1) 1+xy；322(2) 1+xy+x2y215设k 9, 解方程x 2kx k x9k 27 02006 年复旦大学推优、保送生考试数学试题1 （本题 20 分）求和：(1)7 77 777 777n个77 200520052005n个2005(2)2005 20052005 200520052005 2 （本题 15 分）试构造函数 f(x)

42、,g(x)其定域为（0,1） ，值域为 0,1(1) 对于任意 a0,1，f(x)a 只有一解；(2) 对于任意 a0,1，g(x)a 有无穷多个解3 （本题 15 分）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数4 （本题 15 分）对于任意nN, x1,x2,试用数学归纳法证明：(1 x1)(1 x2)xn均为非负实数，且x1 x2 xn1，2(1 xn) 1成立20212225 （本题 20 分）求证：(Cn) (Cn) (Cn) n2n(Cn) C2nx2axb6 （本题 20 分）a,b 满足何条件，可使21恒成立x 2x27 （本题 20 分）下列各式能否在

43、实数范围内分解因式？若能，请作出分解；若不能，请说明理由(1) x+1(2) x2+x+1(3) x3+x2+x+1(4) x4+x3+x2+x+18 （本题 20 分）解三角方程：asin(x4) sin2x9, a为一实常数x2 y21，曲线 C 关于直线y 2x对称的曲线为曲线C，曲9 （本题 20 分）已知曲线C :4线C与曲线C关于直线y 1x5对称，求曲线C、C的方程2210 （本题 20 分）已知抛物线y ax，直线l1,l2都过点（1，2）且互相垂直，若抛物线与直线l1,l2中至少一条相交，求 a 的取值范围11 （本题 15 分）f(x)在1,)上单调递增，且对任意 x,y1,)，都有 f(xy)f(x)f(y)成立，证明：存在常数 k，使 f(x)kx 在 x1,)上成立