二项式定理.pdf

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1、二项式定理专题二项式定理专题 例例 1 (1)1 (1)求求 3 3x x 1 1 4 4x x 的展开式的展开式5 54 43 32 2（2 2）化简多项式）化简多项式(2(2x x1)1) 5(25(2x x1)1) 10(210(2x x1)1) 10(210(2x x1)1) 5(25(2x x1)1)1 1 的结果是的结果是( )( )A A(2(2x x2)2) B B2 2x x C C(2(2x x1)1) D D3232x x【举一反三】【举一反三】1.1.化简：化简：(2(2x x1)1) 5(25(2x x1)1) 10(210(2x x1)1) 10(210(2x x1

2、)1) 5(25(2x x1)1)1.1.nn02233n23n2 2 已知已知Cn4C14 C 4 C 14 Cn 729，则，则C1 nCnCn Cn（）nnn5 54 43 32 25 55 55 55 5A A64 B64 B32 C32 C63 D63 D31313 31 12C2Cn n4C4Cn n8C8Cn n( (2)2) C Cn n等于等于( )( )A A1 B1 B1 C1 C( (1)1) D D3 3n nn n1 12 23 3n nn n21x 4x的展开式中，的展开式中，例例 2 2 （1 1）（20192019 吉林省实验高二期末吉林省实验高二期末 （理）

3、（理） ） 在二项式在二项式含含x的项的系数是的项的系数是。（2 2） （20202020浙江高三专题练习）二项式浙江高三专题练习）二项式(3x 518)的展开式的常数项是的展开式的常数项是_2x2（3 3） （20192019全国高三专题练习（理）全国高三专题练习（理） ）在二项式）在二项式(x )的展开式中，的展开式中，x的系数为的系数为。52x【举一反三】【举一反三】 11 1x展开式中的常数项为展开式中的常数项为_x2 2(x )展开式中含展开式中含x5的项的系数为（的项的系数为（）A A8 B B8 C C4 D D43 3 二项式二项式(3x 1)11的二项展开式中第的二项展开式中

4、第 3 3 项的二项式系数为项的二项式系数为_._.2例例 3 3 （1 1）x x 2622x4x 14的展开式中的展开式中x项的系数为（项的系数为（）A A9 B B5 C C7 D D8（2 2）x2yx y的展开式中的展开式中x y的系数为（的系数为（）335A A10 B B20 C C 、30 D D401【举一反三】【举一反三】1 1x 1 5(x 3)展开式中含展开式中含x x的项的系数为（的项的系数为（）xA A-112 B-112 B112 C112 C-513 D-513 D5135132 211 61x展开式中展开式中x2的系数为（的系数为（）2xA A15 B15 B

5、20 C20 C30 D30 D3535y 223 312x1的展开式中的展开式中x y的系数是（的系数是（）484A A58 B58 B62 C62 C52 D52 D42424 4x yx2y的展开式中的展开式中x y的系数为的系数为_. .33例例 4-14-1 若若f (x) (12x) a0a1xa2x L a7x. .求：求： （1 1）a0a1 a7；（2 2）a1a3a5a7；（3 3）a0 a1 a2L a7. .例例 4-24-2 在二项式在二项式(2(2x x3 3y y) ) 的展开式中，求：的展开式中，求：(1)(1)二项式系数之和；二项式系数之和； (2) (2)各

6、项系数之和；各项系数之和； (3) (3)所有奇数项系数之和所有奇数项系数之和【举一反三】【举一反三】1 1 设设(12x)20139 9727 a0a1xa2x2 a2013x2013(xR). .（1 1）求）求a1a2 a2013的值；的值；（2 2）求）求a1a3a5 a2013的值；的值；（3 3）求）求a0 a1 a2 a2013的值的值22 2设设(2(2 3 3x x) ) a a0 0a a1 1x xa a2 2x xa a100100 x x，求下列各式的值，求下列各式的值(1)(1)求求a a0 0；(2)(2)a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a a10

7、0100；(3)(3)a a1 1a a3 3a a5 5a a9999；(4)(4)(a a0 0a a2 2a a100100) ) ( (a a1 1a a3 3a a9999) ) ；(5)|(5)|a a0 0| | |a a1 1| | |a a100100|.|.2 22 21001002 21001001例例 5 5 已知二项式已知二项式3x 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. .32x（1 1）求正整数）求正整数n的值；的值；（2 2）求展开式中二项式系数最大的项；）求展开式中二项式系数最大的项；（3 3）求展开式中系数最大的项

8、）求展开式中系数最大的项. .【举一反三】【举一反三】1 1 在在( x n28)的展开式中，的展开式中，2x（1 1）求展开式中所有的有理项；）求展开式中所有的有理项；（2 2）展开式中系数的绝对值最大的项是第几项？并求系数最大的项和系数最小的项）展开式中系数的绝对值最大的项是第几项？并求系数最大的项和系数最小的项2 2 已知已知(12x)n的展开式前三项的三项式系数的和等于的展开式前三项的三项式系数的和等于 3737 ，求：，求：4（1 1）展开式中二项式系数最大的项的系数）展开式中二项式系数最大的项的系数（2 2）展开式中系数最大的项）展开式中系数最大的项例例 6 6 （1 1）1- 9

9、0C10+ 90 C10- 90 C10+ 90 C10除以除以 8888 的余数是（的余数是（）A A1 B1 B1 C1 C87 D87 D87873122331010（2 2）1.957的计算结果精确到个位的近似值为（的计算结果精确到个位的近似值为（）A A106 B106 B107 C107 C108 D108 D109109【举一反三】【举一反三】1 1 若若1717 a(aZ,0a 4)能被能被 3 3 整除，则整除，则a a= =（）A A0 B0 B1 C1 C2 D2 D3 32 2211除以除以 9 9 的余数为的余数为_；例例 7 7“杨辉三角”“杨辉三角” 是我国数学史

10、上的一个伟大成就，是我国数学史上的一个伟大成就， 是二项式系数在三角形中的一种几何排列是二项式系数在三角形中的一种几何排列. .如图所示，如图所示，去除所有为去除所有为 1 1 的项，依此构成数列的项，依此构成数列2 2，3 3，3 3，4 4，6 6，4 4，5 5，1010，1010，5 5，则此数列的前，则此数列的前4646 项和为项和为_._.【举一反三】【举一反三】1 1 杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在我国南宋数学家杨辉所著的杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法详解九章算法 （126

11、11261 年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律现把杨辉三年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列： 1 1，1 1，1 1，1 1，2 2，1 1，1 1，3 3，3 3，1 1，1 1，4 4，6 6，4 4，1 1记记作数列作数列an，若数列，若数列an的前的前 n n 项和为项和为Sn，则，则S47（）A A265 B265 B521 C521 C1034 D1034 D2059205942 2如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”如图所示的数阵叫“莱

12、布尼茨调和三角形” ，他们是由正整数的倒数组成的，第，他们是由正整数的倒数组成的，第n n行有行有n n个数且两端的个数且两端的1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1数均为数均为 ( (n n2)2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如： ， ， ，则第，则第n n( (n nn n1 12 22 22 23 36 63 34 412123)3)行第行第 3 3 个数字是个数字是_【强化训练】【强化训练】2 1 1x2的展开式中，常数项为的展开式中，常数项为xA A60 B B15 C C15 D D602 2 （1+21+2x

13、x2 2） （1+1+x x）4 4的展开式中的展开式中x x3 3的系数为的系数为A A12 B12 B16 C16 C20 D20 D24243 3a b622a2b的展开式中的展开式中a b的系数为（的系数为（）644A A320 B320 B300 C300 C280 D280 D2602604 4(x )展开式中含展开式中含x5的项的系数为（的项的系数为（）A A8 B B8 C C4 D D422x415 5x422x的展开式中含的展开式中含x5项的系数为（项的系数为（）xA A160 B160 B210 C210 C120 D120 D2522526 6(1516)(1 x)展开

14、式中展开式中x2的系数为（的系数为（）2xA A30 B30 B15 C15 C0 D0 D-15-1517 72x的展开式的中间项为（的展开式的中间项为（）34x A A-40 B-40 B40 x2 C C40 D40 D40 x26518 8 若若x ax的展开式中的展开式中x6的系数为的系数为30，则，则a等于（等于（）x210A A11 B B C C1 D1 D2 22302233nn123n9 9 已知已知Cn2C1n2 Cn2 Cn 2 Cn 729，则，则CnCnCn Cn（）A A63 B63 B64 C64 C31 D31 D32321010 设设 i i 为虚数单位，则

15、为虚数单位，则( (x xi)i)6 6的展开式中含的展开式中含x x4 4的项为的项为( )( )A A1515x x4 4 B B1515x x4 4 C C20i20ix x4 4 D D20i20ix x4 411111 已知已知x的展开式的第的展开式的第4项等于项等于5，则，则x等于（等于（）xA A717B B17C C7D D7121213x5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求，求a0+ a1+ a2+ a3+ a4+ a5=（）A A10241024B B2432436C C3232D D24241 1313 二项式二项式mx2m 0的展开式中常数项为的

16、展开式中常数项为 6060，则，则m（）xA A21414 设设，且，且B B3，若，若C C2 2能被能被 1313 整除，则整除，则D D3 3A A0 B0 B1 C1 C11 D11 D121215151 x的展开式中，系数最小的项为（的展开式中，系数最小的项为（）A A第第 6 6 项项513B B第第 7 7 项项25C C第第 8 8 项项D D第第 9 9 项项1616 设设(2 x) a0 a1x a2x L a5x，那么，那么A Aa0 a2 a4的值为（的值为（）a1 a3 a56160D D-1-1244241B B122121C C1717 我国南宋数学家杨辉我国南宋

17、数学家杨辉 12611261 年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为行的所有数字之和为2n1，若去除所有为，若去除所有为 1 1 的项，的项，依次构成数列依次构成数列 2 2，3 3，3 3，4 4，6 6，4 4，5 5，1010，1010，5 5，则此数列的前，则此数列的前 1515 项和为（项和为（）6A A1101104B B114114C C124124D D1251251717(x2y)展开

18、式中二项式系数最大的项的系数为展开式中二项式系数最大的项的系数为_.(用数字作答用数字作答)18181 x 1 y的展开式中的展开式中x y的系数是的系数是_（用数字作答）（用数字作答）22841919设设(1ax)2018 a0a1x a2x2L a2018x2018， 若若a12a23a3 2018a2018 2018aa 0，则实数则实数a _._.2020 若若1 x a0a1xa2x2L a5x5，则，则a1a2 a5_._.2121 若若n n是正整数，则是正整数，则7 751515nn112n1Cn7n2CnL 7Cn除以除以 9 9 的余数是的余数是_._.2222 50 50

19、 1 1 被被 7 7 除后的余数为除后的余数为_2323 若若(12x)2019a0a1x a2x2L a2010 x2019(xR)，则，则aa1a222019_22220192424 在在(2x-3y)(2x-3y)1010的展开式中的展开式中, ,求求: :(1)(1)各项的二项式系数的和各项的二项式系数的和; ;(2)(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和; ;(3)(3)各项系数之和各项系数之和; ;(4)(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和奇数项系数的和与偶数项系数的和. .12525 若若x 展开式中前三项系数成等差数

20、列，求：展开式中前三项系数成等差数列，求：42 x （1 1）展开式中含）展开式中含x x的一次幂的项；的一次幂的项；（2 2）展开式中所有）展开式中所有x x的有理项；的有理项；（3 3）展开式中系数最大的项）展开式中系数最大的项7n2626 已知已知(1(13 3x x) )n n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于的展开式中，末三项的二项式系数的和等于 121121，求：，求：(1)(1) 展开式中二项式系数最大的项；展开式中二项式系数最大的项；(2)(2) 展开式中系数最大的项展开式中系数最大的项 （结果可以以组合数形式表示）（结果可以以组合数形式表示）2727（20202020浙江

21、高三专题练习）已知浙江高三专题练习）已知(1 x)的展开式中第的展开式中第 4 4 项和第项和第 8 8 项的二项式系数相等项的二项式系数相等( () )求求n的值和这两项的二项式系数；的值和这两项的二项式系数；( () )在在(1 x) (1 x) L (1 x)2828 设设(2x1) a0 a1xa2x anx (xR)展开式中仅有第展开式中仅有第 10101010 项的二项式系数最大项的二项式系数最大. .（1 1）求）求n；（2 2）求）求a1a2a3L an；（3 3）求）求a12a23a3L nan. .29.29.写出写出( (x xy y) ) 的展开式中：的展开式中：(1)(1)二项式系数最大的项；二项式系数最大的项；(2)(2)项的系数绝对值最大的项；项的系数绝对值最大的项；(3)(3)项的系数最大的项和系数最小的项；项的系数最大的项和系数最小的项；(4)(4)二项式系数的和；二项式系数的和；(5)(5)各项系数的和各项系数的和1111n34n2的展开式中，求含的展开式中，求含x2项的系数（结果用数字表示）项的系数（结果用数字表示） n2n8