陈波的《三角函数最值问题一》.ppt

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1、高三数学第一轮复习45. 1. 221. 221.DCBAsin coscossinyxxxx4.求函数的求函数的 最值。最值。2 cos()4yx 1.求函数求函数 的值域。的值域。2cos3sin ,6 3yxx x2.求函数的求函数的 值域。值域。4 ,42( ) cossinf xxx3.函数函数 在在 上的上的 最小值为（最小值为（ ）基础点拨：A1,31,211,22【例例1】sinyaxb（1）求函数）求函数 （ ,a,b为常数）的最值。为常数）的最值。0a 1 1 注意对参数进行讨论。注意对参数进行讨论。2 2 注意注意sinxsinx的有界性。的有界性。解解：0,aminma

2、x,yb a ya b minmax,.ya b yb a 0,a当当当当11()22yy显然等式不成立cos1 2yxy2cos1 cos1xx 故原函数的值域为故原函数的值域为1,1,.322213410(12 )yyyy 113yy或cos2cos1xyx（2）求函数）求函数 的值域。的值域。cos2cos1xyx由)cos,yxy得(1-2解解：分子分母为同名齐次式通常分离常数或反解出分子分母为同名齐次式通常分离常数或反解出y.y. 分析：213sincos22yx axa若函数若函数 的最大值为的最大值为1，求求a的值。的值。【例【例2】转化成二次函数的最值问题字母分类讨论思路。转化

3、成二次函数的最值问题字母分类讨论思路。,cos1,1x t 令则221( )()()142,21.2aatayf tt 则(1)1 a 2( )1,12af t当即时,在上为减函数.52,a3a 故此时 不存在.m ax( 1 ) 1.yf 21coscos2 2ayx ax 解解： 分析：221().2co42s2axaa 2max1(2)a 2( )12242 2aaaayf 当-11即-2时,.1772,17aa 但1+故此时.(3)1 a2( )1,12af t当即时,在上为增函数.75.综上所得a为1-或max3(1)12 2ayf .5 2a 符 合 . 小结： 有关此类值域问题，

4、转化为一种只含有三角函数名称有关此类值域问题，转化为一种只含有三角函数名称的二次函数式来考虑。的二次函数式来考虑。 （1 1）求函数求函数 的最大值的最大值 最小值最小值.) 2)(cos2(sinxxy【例【例3】 分析：展开出现展开出现sinx+cosx与与sinxcosx的形式。的形式。解解：sin cos2(sincos )4yxxxx由已知2sinsincos()2, 24xtxx 令则2211324(2)()2222,2tyttt2, 2t 所以y在 为减函数.2,t 当时max922.2y2,t 当时min922.2y2sin2sincos1ptt 则12t ，则22151()2

5、4pttt 而51,4p 故解解：sincos ,t令32sin4444t（） 小结：sincost0,sin2sincos.p设若若 , 用用t的式子表示的式子表示p；确定确定t的取值范围，并求出的取值范围，并求出p的最大值和最值；的最大值和最值；（2 2）sincosxx 含有含有 同时出现同时出现 的题型，用换元法解决。的题型，用换元法解决。 但要注意新元但要注意新元t t的范围。的范围。sincosxx2sincossincos2txxxx（t -1） 分析：232sin()1yxy即232sin()111yxy 又23y -12y+8 022(3 2 )1yy2 32 32233y故

6、原函数的值域为故原函数的值域为2 32 32,2.33【例【例4】3 cos2 sinxyx求函数求函数 的值域。的值域。sincos3 2yxxy 解解：思路思路1：思路思路2 2：利用斜率或万能公式化归为二次函数进行求解。利用斜率或万能公式化归为二次函数进行求解。A（2，3）BCOxy可得定点A(2,3)与动点P(-sinx,cosx)2121yykxx利用斜率3cos2( sin )xyx 由而点P在单位圆 上221xy设过定点A(2,3)直线(2) 3yk xmaxmin,.ACABykyk故原函数的值域为2 32 32,2.33三角函数求最值的常见题型三角函数求最值的常见题型方法与技

7、巧总结方法与技巧总结.)cos(sin 母的讨论函数的值域，注意对字型，利用三角或形如bxabxay.1sin.sinsin 2的约束值，应注意配方后求二次函数的最型形如xcxbxay.cossin 求正余弦函数的有界性来可用斜率公式或转化为型dxcbxay三角函数求最值的常见题型三角函数求最值的常见题型方法与技巧总结方法与技巧总结.)0()(.sinsin 的单调性求解利用均值不等式或函数型axaxxfxkxy.1sin ,sin.)coscos(sinsin 解决化归为解出可采用分离常数法或反型或xxdxcbxadxcbxaycossinxxt常用换元法令.cossin)cos(sin c

8、xxbxxay型,2.t 三角函数最值的常见类型及处理方法三角函数最值的常见类型及处理方法2、可化为关于某一个三角函数的二次函数形式，、可化为关于某一个三角函数的二次函数形式，再利用配方法求最值；再利用配方法求最值；3、利用均值不等式或三角函数的单调性、利用均值不等式或三角函数的单调性. 会用到1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值：22sincossin()axbxabx练习， ，则它的最大值和最小值则它的最大值和最小值 分别为分别为_。3.3.若若( ) cos28sinf xxx2.2.已知函数已知函数( ) asincosf xxx的最大值为的最大值为2 2，试确定常数试确定常数a a的值。的值。1.1.已知已知( ) sinsin()2f xxx , ,求它的最大值求它的最大值与最小值。与最小值。0,x时，求时，求的最小值及取得最小值时的最小值及取得最小值时22( ) cos2sin cossinf xxxxx0,2x( )f xx4.4.已知函数已知函数的集合。的集合。 当当