高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法(五)——在立体几何中综合应用.ppt

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1、空间向量空间向量在立体几何中的应用在立体几何中的应用5 5 前段时间我们研究了用空间向量求前段时间我们研究了用空间向量求角角(包括线线角、线面角和面面角包括线线角、线面角和面面角)、求距离求距离(包括线线距离、点面距离、线包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离面距离和面面距离) 今天我来研究如何利用空间向量来今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明及计算问解决立体几何中的有关证明及计算问题。题。 一、一、 用空间向量处理用空间向量处理“平行平行”问问题题 RDBCAA1QPNMD1C1B1例例1.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，P、Q分别是分别是A1B1和和

2、BC上的动点，且上的动点，且A1P=BQ，M是是AB1的中点，的中点，N是是PQ的的中点中点. 求证：求证： MN平面平面AC.（）（）M是中点，是中点，N是中点是中点 MNRQ MN平面平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1法（）法（）作作PP1AB于于P1，作作MM1 AB于于M1，连结连结QP1， 作作NN1 QP1于于N1，连结连结M1N1N1M1P1NN1PP1 MM1AA1又又NN1、MM1均等于边长的一半均等于边长的一半故故MM1N1N是平行四边形，故是平行四边形，故MNM1N1MN平面平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图证明：建立如图所示的空间直角所

3、示的空间直角坐标系坐标系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为2，又又A1P=BQ=2x则则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故故N(2-x, 1+x, 1),而而M(2, 1, 1)MN所以向量所以向量 (-x, x, 0)，又平面，又平面AC的法的法向量为向量为 (0, 0, 1)， n0nMN又又M不在平面不在平面AC 内，所以内，所以MN平面平面ACnMNDCBAD1C1B1A1例例2.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：中，求证： 平面平面A1BD平面平面CB1D1(1)平行四边形平行四边形A1BCD1 A1BD1C平行四边形平行四边形DBB1D1 B1D1

4、BD于是平面于是平面A1BD平面平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx(2)证明：建立如图所示证明：建立如图所示的空间直角坐标系的空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为1，则向量则向量)1 , 0 , 1 (1DA)0 , 1 , 1 (DB设平面设平面BDA1的法向量的法向量为为),(zyxn 则有则有x+z=0 x+y=0令令x=1,则得方程组的解为则得方程组的解为x=1 y=-1 z=-1故平面故平面BDA1的法向量为的法向量为) 1, 1, 1 (n同理可得平面同理可得平面CB1D1的法向量为的法向量为) 1 , 1 , 1(m则显然有则显然有mn即得两平面即得两

5、平面BDA1和和CB1D1的法向量平行的法向量平行所以所以 平面平面BDA1CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyxDCBAD1C1B1A1FGHE例例3.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F、G、H分别是分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的的中点中点. 求证：求证： 平面平面AEH平面平面BDGFADGF，AD=GF又又EHB1D1，GFB1D1 EHGF平行四边形平行四边形ADGE AEDG 故得平面故得平面AEH平面平面BDGFDCBAD1C1B1A1HGFEozyx略证：建立如图所示的略证：建立如图所示的空间直角坐标系空间直角坐标系o-xyz则求得平面则

6、求得平面AEF的法向的法向量为量为) 1 , 2 , 2(n求得平面求得平面BDGH的法向的法向量为量为) 1 , 2 , 2(m显然有显然有nm故故 平面平面AEH平面平面BDGF 二、二、 用空间向量处理用空间向量处理“垂直垂直”问问题题 二、二、 用空间向量处理用空间向量处理“垂直垂直”问问题题 0mnnmnmnm: ,.ABCD A B C DCC BDA FBDE例5 在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面FEXYZ,DA DC DDxyzA 证明:如图取分别为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2,0,0),B(2,2,0), (2,0,2)E(0,2,1

7、),F(1,1,0)( 1,1, 2),(2,2,0),(0,2,1)( 1,1, 2) (2,2,0)0( 1,1, 2) (0,2,1)0,.A FDBDEA F DBA F DEA FDB A FDEDBDEDA FBDE 又平面例4ADBPCMN练习1ADBPCMN证明证明: 分别以分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系为坐标向量建立空间直角坐标系 , ,i j k Axyzxyz,1PAADABPAAC ADABDAi ABj APk PA 且且平平面面可可设设(0,0,0),(0,1,0),( 1,1,0),( 1,0,0),ABCD (0,0,1)P11 1 1(0,0),(, )

8、22 2 2MN 11(,0,)22MN ( 1,0, 1)PD (0,1,0)DC 11(,0,) ( 1,0, 1)022MNPDMNPD 11(,0,) (0,1,0)022MNDCMNDC PDDCDMNPDC 又又平平面面例例6 6：如图，在正三棱柱：如图，在正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，AB=AAAB=AA1 1/3=a/3=a，E E、F F分别是分别是BBBB1 1、CCCC1 1上上的点，且的点，且BE=aBE=a，CF=2a CF=2a 。 求证求证: : 面面AEFAEF 面面ACFACF。AFEC1B1A1CBxzy不防设不防设 a

9、=2a =2，则，则A A（0 0，0 0，0 0），），B B（ 3 3 ，1 1，0 0）C C（0 0，2 2，0 0），），E E（ 3 3，1 1，2 2） F F（0 0，2 2，4 4），），AE=AE=（ 3 3，1 1，2 2）AF=AF=（0 0，2 2，4 4），因为，），因为，x x轴轴 面面ACF ACF 所以所以 可可取面取面ACFACF的法向量为的法向量为m=m=（1 1，0 0，0 0），设），设n=n=（x,y,z)x,y,z)是面是面AEFAEF的法的法向量，则向量，则AFEC1B1A1CBzyxnAEnAE= = 3x+y+2z=03x+y+2z=0nAF

10、nAF=2y+4z=0=2y+4z=0 x=0 x=0y= -2zy= -2z令令z=1z=1得得, , n=n=（0 0，-2 -2，1 1）显然有显然有m n=0m n=0，即，即，m m n n面面AEFAEF 面面ACFACF证明：如图，建立空间直角证明：如图，建立空间直角坐标系坐标系A-xyz A-xyz ，ADCB求证：平面求证：平面MNC平面平面PBC；已知已知ABCD是矩形，是矩形，PD平面平面ABCD，PDDCa，AD ，M、N分别是分别是AD、PB的中点。的中点。a2PMN练习练习2小结：小结： 利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是利用向量的有关知识解决一些立体几何

11、的问题，是近年来很近年来很“热热”的话题，其原因是它把有关的的话题，其原因是它把有关的“证明证明”转化为转化为“程序化的计算程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几。本课时讲的内容是立体几何中的证明何中的证明“线面平行、垂直线面平行、垂直”的一些例子，结合我们的一些例子，结合我们以前讲述立体几何的其他问题以前讲述立体几何的其他问题(如：求角、求距离等如：求角、求距离等)，大家从中可以进一步看出基中一些解题的大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路套路”。 利用向量解题利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标。及写出有关点的坐标。 用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具，故学会用向量法解立体几何问题是学好立体要工具，故学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础。几何的基础。