关于欧氏平面r2上ros不等式的一些研究.pdf

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1、硕士学位论文 关于欧氏平面服 2上 Ros不等式的一 些研究 论文作者： 王贺军 指导教师： 周家足教授 学科专业： 基础数学 研宄方向： 积分几何与凸几何分析 提交论文日期： 201 6年 4 月 1 8日 论文答辩日期： 2 01 6年 6 月 2 日 学位授予单位： 西南大学 中 国 重 庆 2 0 1 6年 6 月 _独创性声明 学位论之题 11 : 关十欧氏平面 _ h Rm不等式的一些研宄 本人提交的学位论文是在导-师指 导 F进行的研究 n作及取得的研 究成果论文中引用他人已经发表或出版过的研允成果,文中己加广特 别标注 . 对本研究及学位论文撰 M曾做出贡献的老师、 朋友、 同

2、仁在文 1 1 3作 7明 确 说明并表 /j)犮心感谢 . 学位论 m n ： 王 _复 軍 . 签卞丨丨期 : /年 in I 1 1 学位论文版权使用授权声明 本学 0, (1.1) 等 号 成 立当且仅当 r 为圆 . 在 固 定周 长 的 域 中 圆 盘的面积 最 大， 这 一等周 问 题经 历 了 悠久 的发 展历史 ， 最 早 可 追溯 到 古希腊时 期， 直 到 1 9世纪 W eierstrass利 用 变 分学的方 法 第一 次给 出了 严格 的数学 证 明 . 对于 任意 可 求长 曲 线（ 不一定 光滑 )， H u rw itz于 1902年 运 用傅里 叶级数得到等

3、周不等式 简化 的 证 明 . 于 1938年， 通过与一个 圆 盘作 比较 ， Schmidt 仅运 用 弧长公 式、 G reen定理与 Cauchy-Schwarz不等式 给 出了等周不等式 比较简 洁 的 证 明 . 关于等周不等式， 数学家们 又给 出了 许多简洁漂亮 的 证 明， 并 且 得到 更 广义的结果， 比如 在 高维 的欧氏 空 间、 极小 曲面、 常 曲率平面、 仿射空 间与特 殊 的 黎曼流形 等中的 情形（ 参 见 2, 3, 10, 11, 26, 29, 36, 38, 43, 46). 等周不等式对应于 如下著 名的 Sobolev不等式： S o b o l

4、e v不等式： 设 函数 f 在平面 区域 D 中具有 紧支集 ， 则 J |V f (x )|d 4n J |f (x ) 2d x, (1.2) 其中 V f ( x )表 示 f ( x )的 梯度 . （ 1 .2 )的等 号 成 立当且仅当 f 是 圆 盘的特 征 函数 . Osserman (参 见 29) 证 明了等周不等式 (1 .1 )与 Sobolev不等式 （ 1 .2 )等 价 . n 维 欧氏 空 间中的等周不等式 也 与 相 应的 Sobolev不等式等 价 .在等周不等式的 不 断 发 展下 ， 产 生了 许多 具有几何背景的 Sobolev不等式 . Howar

5、d (参 见 25)建 立 了一个 较 强的 Sobolev不等式， 它 等 价 于 Osserman (参 见 30)在完备曲面上得 到的等周不等式 . 后 来 ， 张高勇（ 参 见 44) 获得了一个 仿射 Sobolev不等式 （ 又 称 Zhang-Sobolev不等式 )， 它被视为仿射 几何分析的基 石 ， 与 仿射 等周不等式 （ 又 称 P e tty投 影不等式） 等 价 . 随 后， 人们得到了 更多 的 仿射 Sobolev不等式 （ 参 见 12, 23, 27, 41). 关于 很多 几何不等式， 数学家们在分析中 也找 到了对应的结果 . 作 为 Brunn- Mi

6、nkowski 理论中 最核 心的结果之一， B runn -M in kow ski不等式与分析中 著 名的 1 _西南大学硕士学位论文 1.2 Ros不等式 Prekopa-Leindler不等式 相 对应 . 在凸几何中， 另外 两个重要的不等式是 Blaschke- S antalo不等式与 Busem ann截 面体不等式， 数学家们在分析中 也 获得了对应的结 果 （ 参 见 5, 6, 13, 15, 16).正 是 由 于几何不等式与分析不等式之间存在着 这种微 妙 的对应关 系 ， 不 仅扩 大了几何不等式的应用 范围 ， 而且也极 大 地激 发了数学家们 浓厚 的 兴趣 ，

7、 人们 希望 获得 更多这样 的对应关 系 . 1.2 R os不等式 几何不等式主要是描 述 体积、表面积、 弧长 与曲率积分等几何不 变量 之间的 关 系 （ 参 见 11, 26) . 根 据几何不 变量 的性质， 几何不等式可分 为 内在型几何不等 式与 外 在型几何不等式 . 内在型几何不等式主要是与面积、体积、 弧长 、G auss曲 率等内 蕴 几何不 变量 有关， 大 多 数几何不等式 都属 于内在型几何不等式， 比如 经 典 等周不等式、 M inkow ski不等式等. 外 在型几何不等式主要是与平 均 曲率积分等 外 蕴 几何不 变量 有关，目 前这 方面的结果知之 甚少

8、 . 与内 蕴 几何不 变量 和 外蕴 几何不 变量均 有关的几何不等式 还为 数不 多（ 参 见 28, 31, 45, 46) ,著 名的 Fenchel不等 式与 Alexandrov-Fenchel不等式 属 于与体积和曲率有关的混合型几何不等式， 以 下 R o s不等式 也 是其中之一 . R o s不等式 （ 37) : 设 n 是 n + 1 维紧 致 黎曼流形 ， 其 R ic c i曲率 非负 . 令 V 为 n 的体积 . 若 n 的 边界 d n 是 光滑 的， 且 其平 均 曲率 h 处处 大于 0.则 dA (n + （ 1.3) Jan H 等 号 成 立当且仅当

9、 n 与欧氏 球 等 距 同构 . 通 常称 不等式 （ 1 .3 )为 R o s不等式， 是 R o s在 Reilly (参 见 35) 思想 的 启 发 下 得到的 . M o n tie l与 Ros (参 见 28)又给 出了 R o s不等式 更 加基本的 证 明 . 后 来 ,周 等人 （ 参 见 4) 基于 Osserman (参 见 31) 的 想法给 出了 R o s不等式 比较 几何 化 的 证 明 . 若外围空 间是欧氏平面 R 2, R o s不等式 （ 1 .3 )退化为 ： 命 题 1.2.1 ( 14, 37, 45) 设 K 为 平面 R 2上的 卵形域（

10、边界为 C2类光滑 曲 线且 曲率 k 处处 大于 0),则 K 的面积 A 与 边界 曲率 k 满 足不等式： I - ds 2A, (1.4) JdK K 等 号 成 立当且仅当 K 为圆 盘 . 2 _西南大学硕士学位论文 1 . 3 主要结果 不等式 (1 .4 )由 Zhou (参 见 45) 与 Escudero等 人 （ 参 见 14) 分别独 立 得到 . 并 且 ， Zhou (参 见 45) 将不等式 (1 .4 )加强， 得到 如下 结果： 命 题 1.2.2 ( 45) 设 K 为 平面 R 2上的 卵形域 ， 则 K 的周 长 P 与 边界 曲率 k 满 足不等式：

11、f 1 P 2 , 、 - ds (1.5) IdK - 2n 等 号 成 立当且仅当 K 为圆 盘 . 关于欧氏平面 R 2上的 R o s不等式， 基于几何不等式与分析不等式之间的对应 关 系 ， 我们考 虑寻找 函数型 R o s不等式 . 1.3 主要结果 我们首先构造了函数型 R o s不等式， 平面上的 R o s不等式 即为 其特 例 . 1 .函数型 R o s不等式 :设 f ( t )是以 2 i为 周期的 二次连续 可 微 函数， 且满 足 p 2n / f (t)dt = o, J0 则 对于 任意 的 实 数 a 3a ( f /2(t) - f 2 ) 出， （ 1

12、.6) 等 号 成 立当且仅当 存在 常 数 a, b使得 f (t) = a cos(t) + b sin(t), t G R. 函数型 R o s不等式 （ 1 .6 )对应于平面上一个加强的 R o s不等式， 正好 是 P a n等 人在文 3 2 所 提 问 题的一个分析解 . 然后， 我们 还 研宄了函数型 R o s不等式的稳定性， 并得到 如下 结果： 2 . 函数型 R o s不等式的稳定性质 :设 f ( t )是以 2 i为 周期的 二次连续 可 微 函 数 , 且满 足 p 2n / f (t)dt = 0， J0 则 对于 任意 的 实 数 a 9(1 - a) |f

13、 (t) - g ( t) |2出， j 。 ( f + f/(t) ) dt - 3a j 。 ( f/2 - f 2 ( t ) ) dt 4(1 - a ) n ( 足 品 | f - g (t)|) , 3 _西南大学硕士学位论文 1 . 3 主要结果 其中 g(t) = a cos + b sin , a = 1 J。 2兀 f (t) cos tdt, b = 1 J。 2兀 f (t) sin tdt. 本文的主要结果 还 有函数型 R o s不等式及其稳定性质的几何 形 式： 3 .加强的 R o s不等式： 设 K 为 平面 R 2上的 卵形域 , 则 对于 任意 的 实 数

14、 a 2n 等 号 成 立当且仅当 K 为圆 盘 . 4 . 加强 R o s不等式的稳定性质 :设 K 为 平面 R 2上的 卵形域 ， 则 对于 任意 的 实 数 a 9(1 a )H 2( K ， B K ) , JdK K 2n f 1 7 3 a (P 2 - 4nA) + P 2 tt/t 。 ds 4(1 - a)nH(K， b k ), JdK K 2n 其中 B k 为 K 的 S teiner圆 盘， H 2(K , B k ) 与 H (K , B k ) 分别 为 h 度量 和 Hausdorff 度量 . 4 _西南大学硕士学位论文 第 2章预备知识 第 2章预备知识

15、 2.1 欧氏平面 R2上的凸体 设 K 为 R 2上的 任 一 非空子集 .如 果 连接 K 中 任意 两 点 x , y 的 线段 ;r， y也属 于 K ,即 (1 A)x + Ay G K , 入 G 0,1, 则称 K 为 凸 集 . 具有 非空 内 点 的 紧 凸 集称为 凸体， 平面 R2 上 所 有凸体构成的 集 合 记为 X 2. 平面上一个特 殊 的凸体是单位 圆 盘， 记为 B . 凸体 K 的 边界 通 常记为 d K , d K 的 长度称为 K 的周 长 ， d K 所围区域 的面积 称为 K 的面积. 常 用分 别表 示 K 的周 长 与面积 （ 若 本章 节 中

16、 无 其 它 特 殊 说明， 则 采用 此约 定). 若 平面上 凸体 K 的 边界 d K 是 C 2类光滑 曲 线 ， 并 且 在适 当 的定向 下边界 曲率 k 处处 大于 零 ， 则称 K 为卵形域 . 令 K , L G X 2与 A G R ,数 乘 A K 与 M inkow ski加 法 K + L 分别定义 为（ 参 见 22, 40): A K = A x : x G K , K + L = x + y : x G K ,y G K . 若 凸体 K 与 L 满 足 K = x + L 则称 K 与 L 互为 位 似 ， 其 中 G R 2, 0.对于 平面上的凸体 K ,

17、称 D K = x G R 2 : K n (K + x) = 0 = K K 为 K 的 差 分体 . 关于凸体的研宄， 支撑 函数是一个重要的基本 工 具.平面上凸体 K 的 支撑 函 数 h K 为 K 沿给 定方向 投 影的 最 大 值 ， 即 hK (t) = m axx u(t) : x G K , u (t) = (cos t, sin t). 凸体的数 乘 X K (A 0 )与 M inkow ski加 法 K + L 的 支撑 函数 满 足 hK (t) = AhK (t), hK+h(t) = hK (t) + h (t). 假设坐 标 系 x O y平 移 到 x iO

18、 iy i, O 为原点 ， O i的 坐 标 为 (a,b) x O y和 x i O i y i的 支持 函数分别 记为 h K (t), hk ( t ) ,则 (参 见 36) hK (t) IiK (t) = a cos t + b sin t. (2.1) . 凸体 K 关于 (2.2) 5 _西南大学硕士学位论文 2 . 1 欧氏平面 股 2上的凸体 1 f 2n u ( K ) = u K (t)dt. 2n Jo 由 C auchy公 式 （ 2.3) 可 得 u i(K ) = 盖 . 另夕卜 ，凸体 K 的 S te in e r点 表 示为 = (x i,x 2),其中

19、 凸体 被 其 支持 函数 唯 一 确 定， 且 以 2 i为 周期的 二次连续 可 微 函数 h ( t )是一个 凸体的 支持 函数的 充 要 条 件是 h(t) + h (t) 0, 0 0, 其中 h K (t) + hK (t)为边界 d K 的曲率半径 1/k. 设 平面凸体 K 的 边界 是 C 类光滑 的，曲率和 支持 函数分别 为 k 及 h K . K 的 周 长 P ,与面积 A 可 利 用 支持 函数表 示为（ 参 见 36)： r2n n2n P = P ( K ) = H k (t)d t = (Hk (t) + hK (t)d t, (2.3) Jo Jo A =

20、 A (K ) = 2 / hK (t)ds = 2 / (hK - hK(t)dt. (2.4) 2 J dK 2 J 0 (2 .3 )即为著 名的 C auchy公 式. 若 凸体 K 边界 d K 的曲率 k 处处 不 为零 ， 则 K 的 曲率半径积分 T ( K ) 可 利 用 支持 函数表 示为 ： T (K ) = 1 ds = (h K (t) + hK ( t ) ) 2 dt. (2.5) JdK K J。 ) 一个特 殊 的 圆 盘是 S te in e r圆 盘. 给 定凸体 K , 借 助支撑 函数， 定义其 宽度 函 数： k = Hk (t) + Hk (t +

21、 n), t G 0, 2n. 而 平 均宽度 ( K )为 n2n p2n x i = Hk (t) cos tdt, x 2 = Hk (t) sin tdt. o o 以凸体 K 的 S te in e r点 s (K ) 为圆 心，以平 均宽度 ( K ) 为直 径的 圆 盘 称为 K 的 S te in e r圆 盘 B k . 于是， K 与其 S teiner圆 盘 B k 具有 相 同的 S teiner点 与周 长 . 6 _西南大学硕士学位论文 2 . 2 傅里叶级数 为 了 讨 论 R o s不等式的稳定性 问 题， 我们 还需 要一个 测度 - L p 度量 .利 用凸

22、体 K , L 的 支撑 函数， 定义 L p 度量 HP(K ,L ) = ( J |hK (t) - hL (t)|pd t) / , p = 0. H P(K ,L ) = 0 当且仅当 K = L . 特别 地 ， 当 p + 时 ， H + ( K , L )即为 经 典 的 H ausdorff度量 ， 简记为 H (K , L ) .由 Jensen不等式 （ 参 见 24)可得 H P(K ,L ) 0, (2.10) 其中 $ 为实值泛 函， 并 且 （ 2 .1 0 )对于定义 域 D 中的 任意 ; r均 成 立 .令为$ 的 所 有 零点 构成的 集 合， 即 = y

23、： $ (y ) = 0,y g D . 对于 x ,y G D , 令 G ( x ,y )为 一个 非负实值泛 函 且 G (x ,y ) = 0 当且仅当 ;r = y. 长 期以 来 ， 人们对于不等式的稳定性 问 题 比较 感 兴趣 . 不等式 （ 2.10)具有稳定 性质是指： 当 $ 0 r )趋 向于 0 时 ， x 一定 逼近 于 爲 中的 某 个 元素 .用数学 公 式表 达 为 ： 对于 任意 e 0,若 $ (x ) G (x ,y ) / ( c ) i . (2.12) 事 实 上， （ 2 .1 2 )为 （ 2 .1 0 )的加强 . 于是， 对于一 般 不等式

24、 $ 0 r) 0,人们 渴 望 获得 形 如 （ 2 .1 2 )的结果 . 关于几何不等式与分析不等式稳定性的结果， 更多 信息 可参 见 文 献 7- 9 , 18-2 1 , 39, 42. 9 _西南大学硕士学位论文 第 3章欧氏平面 R2上 Ros不等式 第 3章欧氏平面 R 2上 R o s不等式 在本章中， 我们主要研宄平面 R 2 上函数型 R o s不等式 . 首先， 利 用傅里叶级 数得到一个函数型 R o s不等式， 它 对应于平面上一个加强的 R o s不等式 . 然后， 通 过 讨 论函数型 R o s不等式的稳定性， 得到了平面上的 R o s不等式的稳定性 .

25、3.1 函数型 R os不等式 我们首先 利 用傅里叶级数， 构造了 R 2 上的函数型 R o s不等式： 定理 3 .1 .1设 f ( t )是以 2 n为 周期的 二次连续 可 微 函数， 且满 足 r*2 n f (t)d t = 0, 则 对于 任意 的 实 数 a 3a ( f /2(t) - f 2 ) 出， 等 号 成 立当且仅当 存在 常 数 a, b使得 f (t) = a cos(t) + b sin(t), t G R. 证 明： 设 函数 f 的傅里叶级数 展 开 式 为 (3.1) f (t) = a + ( a n cos n t + bn sin nt), 其

26、中 a。 ， an, bn (n = 1, 2 , )为 f ( t )的傅里叶 系 数. 由条 件 / 。 2 ? 1 “ fd t = 0 知 a。 = 0. 所 以 o f /( t ) n(an sin n t bn cos nt), n=1 f / ( t ) n 2 (an cos n t + bn sin n t) , n=1 f (t) + f /( t ) E ( 1 n 2)(an cos n t + bn sin nt). 10 _西南大学硕士学位论文 3 . 1 函数型 Ros不等式 由 Parseval 恒 等式 (2.9) 得 广 2n / f dt = 兀 : (

27、an + bn ), J。 n=i 广 2n / f 1 2 d = J 2 n2(a2n + 仏 Jo n=i 广 2n ( ) 2 / (f + r ) dt = n (1 - n2)2(an + bn) 故 对于 任意 的 实 数 a o， 如 ( f + f 11)2dt 3a 广 ( f 1 2 - f 2、 dt. (3.2) 等 号 成 立当且仅当 an = bn = 0 (n = 2, 3 , ),即 存在 常 数 a, b 使 得 f (t)= a cos(t) + b sin(t), t G 0, 2n. 由 定理 3.1.1, 我们可得到平面 R 2上一个加强的 R o

28、s不等式 . 推 论 3 .1 .2设 K 为 平面 R 2上的 卵形域 ， 则 对于 任意 的 实 数 a 3 a (P 2 - 4nA) + P 2 , (3.3) JdK K 2n 等 号 成 立当且仅当 K 为圆 盘 . 证 明： 设卵形域 K 与 其 S te in e r圆 盘 B k 的 支撑 函数分别 为 h K , Hbk . 令 f = Hk - Hbk ,由 于 K 与其 S te in e r圆 盘 B k 有 相 同的周 长 ， 则由（ 2.3)可得 n2n n2n n2n n2n / fd t = (Hk - Hbk )dt = Hk dt - Hbk dt = 0

29、. Jo Jo Jo Jo 因 此 ， f = Hk - Hbk 满 足定理 3 .1 .1的 条 件 . 11 _西南大学硕士学位论文 3 . 1 函数型 Ros不等式 结合 (2 .3 )与 (2.5)可得 n 2 n / 、 2 c/ f + dt r2n K + hK K ) (hBK + hfK ) ) d r2n r 2 n (hK + hK K ) d 2 (hK + hK K )(h BK + hK )dt r 2 n + (hBK + h, B 丨 K ) d JO 1 P -2n P 2. -d s -(hK + hKK)dt + ( ) 2n IdK k n Jo 2 n

30、 / 1 P 2 P 2 J d s -+ 7T- IdK k n 2n ! - ds p 2 . IdK K 2n (3.4) 又由 (2.3) 与 (2.4) 得 r2n 2 2 f 2 dt r 2 n r 2 n 1丨K Bk )2 (hK hBK )2) d JK K hK c) + 2(hK hBK h,Kh,B K ) + (h2K h 2 BK) d Jo K 7 J h K h2 K ) dt + 2hBK j hKdt + J hK dt P / P 、 2 2A + 2 P 2n( ) 2n 2 n ) 2A + P2 P2 = P 2 - 4 n A . (3.5) n 2n 2n 因 此 , 利 用定理 3.1.1, 并结合 （ 3 .4 )与 （ 3 .5 )得， 对于 任意 的 实 数 a 3a 2 “ /f 丨 2 f 2、 dt = - (P 2 - 4nA) 2n n r 即 1 3 a (P 2 4nA) + P 2 I ds - - . IdK K 2n 等 号 成 立当且仅当 存在 常 数 a, b使得 h K (t) = h K (t) + a cos(t) + b sin(t), t G R. o 12 _