23双曲线的定义及其标准方程.ppt

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1、2.3.12.3.1双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 1. 1. 椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a ( 2a|F1F2|0) 的点的轨迹是椭圆的点的轨迹是椭圆.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2. 引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么曲线呢？的点的轨迹是什么曲线呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的复习复习|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) 如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点两边上各选择一

2、点 ，分别固定在点，分别固定在点F1、F2 上，上，双曲线在生活中双曲线在生活中 . 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2c 焦距焦距.（1）2a0 ；双曲线定义双曲线定义思考：思考：（1）若）若2a= |F1F2|则轨迹是？则轨迹是？（2）若）若2a |F1F2|则轨迹是？则轨迹是？说明说明（3）若）若2a=0,则轨迹是？则轨迹是？ | |MF1| - |MF2| | = 2a说说 明：明：双曲线定义用代数式表示为：双曲线定义用代数式表示为：，aMFMF221| | |. |212FFa 其中其中时时，当当aMFMF221|M点的轨迹是焦点点的轨迹是焦点F2

3、 所对应的一支；所对应的一支；时时，当当aMFMF221|时时，当当|212FFa M点的轨迹是以点的轨迹是以F1 、F2 为端点的两条射线；为端点的两条射线；时时，当当|212FFa M点的轨迹不存在点的轨迹不存在 .M点的轨迹是焦点点的轨迹是焦点F1 所对应的一支；所对应的一支；（1）（2）（3）（4）（5）当）当2a=0时时,M点的轨迹是点的轨迹是.如何建立适当的直角坐标系？如何建立适当的直角坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； ( (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴所在的直线

4、作为坐标轴.).) 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxy方案一方案一Oxy(对称、对称、“简洁简洁”)1F2FMOxy方案二方案二F2F1MxOy求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程双曲线的标准方程1. 1. 建系建系. .以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系的中点为原点建立直角坐标系2.2.设点设点设设M（x , y）,则则F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1| - |MF2|=2a4.4.化简化简aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(22222

5、22222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0, 0(12222babyax此即为此即为焦点在焦点在x轴上的轴上的双曲线双曲线的标准的标准方程方程12222byax12222bxayF2F1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系时若建系时,焦点在焦点在y轴上呢轴上呢?如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系xOy,使使x轴经过点轴经过点F1,F2,且点且点O与线段与线段F1,F2的中点重合的中点重合.设设M(x,y)是双曲线上任意一点，是双曲线上任意一点，.| | | |aMFMFMP221 ,222221ycxMFycxM

6、F .22222aycxycx ).()(22222222acayaxac 化简得：化简得：双曲线的标准方程双曲线的标准方程 :由双曲线定义知由双曲线定义知,22acac 即即022 ac因此因此得得令令),0(222 bbac,222222bayaxb 由定义知由定义知|F1 F2| =2c,F1(-c,0),F2(c,0), 又设点又设点M与与F1,F2的距离的差的距离的差的绝对值等于常数的绝对值等于常数2a .).0, 0( 12222 babyax _双曲线的标准方程双曲线的标准方程说明说明: 1.焦点在焦点在x轴轴;2. 焦点焦点F1(-c,0),F2(c,0) ;3. c2 = a

7、2 + b2.).0, 0( 12222 babxay4.焦点在焦点在y 轴上的双曲线标准方程是轴上的双曲线标准方程是:看看 前的系数，哪一个为正，前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上则在哪一个轴上22, yx222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0,b0,c2=a2+b2但但a不一定大于不一定大于bab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab例例1.已知双曲线两个焦点

8、的坐标为已知双曲线两个焦点的坐标为F1(-5,0),F2(5,0),双曲双曲线上一点线上一点P到到F1 ,F2的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于6,求双曲线求双曲线的标准方程的标准方程.解解:因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在x轴上轴上,).0, 0( 12222 babyax,102 , 62 ca. 5, 3 ca.1635222 b所以所求的双曲线标准方程为所以所求的双曲线标准方程为. 116922 yx说明：说明：本题利用待定系数法求解。本题利用待定系数法求解。直接利用双曲线的直接利用双曲线的定义找出定义找出a,b,c三者关系。三者关系。所以设它的标准方程为所以设它的标准方

9、程为1. 过双曲线过双曲线 的焦点且垂直的焦点且垂直x轴的弦的长度轴的弦的长度 为为 .14322yx3382. y2-2x2=1的焦点为的焦点为 、焦距是、焦距是 .),(260 6练习巩固练习巩固:3.方程方程(2+ )x2+(1+ )y2=1表示双曲线的充要条件表示双曲线的充要条件 是是 . -2 680|AB|680m, ,所以爆炸点所以爆炸点的轨迹是以的轨迹是以A A、B B为焦点的双曲线在靠近为焦点的双曲线在靠近B B处的一支上处的一支上. . 例例3 3.(.(课本第课本第5454页例页例) )已知已知A,BA,B两地相距两地相距800800m, ,在在A A地听到炮弹爆地听到炮

10、弹爆炸声比在炸声比在B B地晚地晚2 2s, ,且声速为且声速为340340m/ /s, ,求炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程. .如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xO Oy, ,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为( (x, ,y) )，则则3402680PAPB即即 2a=680，a=340800AB 8006800 ,0PAPBx1(0)11560044400 xyx22222800,400,ccxyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca222222答答: :再增设一个观测点再增设一个观测点C，利用，利用B、C（或（或A、C）

11、两处）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置准确位置. .这是双曲线的一个重要应用这是双曲线的一个重要应用. .28课堂练习：课堂练习：.112. 222的的取取值值范范围围表表示示双双曲曲线线，求求已已知知方方程程mmymx 解解1：满足：满足：，轴上时轴上时当双曲线的焦点在当双曲线的焦点在mx 0102mm.1 m 0102mm满足：满足：，轴上时轴上时当双曲线的焦点在当双曲线的焦点在my.2 m1)2()1(22 mxmy方程为方程

12、为.12 mm或或综上所述：综上所述：22121xymm思考：思考：21mm 得得或或解解2： 表示双曲线表示双曲线方程方程11222mymx0)1)(2( mm.112. 222的的取取值值范范围围表表示示双双曲曲线线，求求已已知知方方程程mmymx .11222的取值范围的取值范围表示椭圆，求表示椭圆，求已知方程已知方程mmymx 解：解： 表示椭圆表示椭圆方程方程1)1(222mymx )1(20102mmmm 2312mmm.2312 mm且且:的取值范围的取值范围m232 m.123 m或或变式：变式：.15151925. 32222的焦点相同的焦点相同与双曲线与双曲线证明椭圆证明椭

13、圆 yxyx证明：证明：知：知：由椭圆由椭圆192522 yx，92522 ba.16222 bac. )04()04(19252122，的焦点是的焦点是椭圆椭圆FFyx 知：知：由双曲线由双曲线111522 yx，11522 ba.16222 bac. )04()04(11152122，是是的焦点的焦点双曲线双曲线FFyx .151519252222的焦点相同的焦点相同与双曲线与双曲线故椭圆故椭圆 yxyx线的标准方程：线的标准方程：求适合下列条件的双曲求适合下列条件的双曲. 4；，54)1( ca解：解：191622 yx双曲线方程为双曲线方程为，54 ca9222 acb.191622

14、xy或或；，经过点经过点，、，焦点为焦点为)52()60()60()2( 解：解：由双曲线定义，有由双曲线定义，有|)65(2)65(2|22222 a|555| .54 .52 a，又又6 c.162036222 acb.1162022 xy故双曲线方程为故双曲线方程为. )2315()32()3(，、，经过点经过点 ).0, 0(12222 babxay或或解解1：)0, 0(12222 babyax设双曲线方程为：设双曲线方程为：则 129151322222baba 191521232222baba或或 1322ba或或 3122ba解得：解得：舍去）舍去）(.1322 yx故双曲线方程为故双曲线方程为. )2315()32()3(，、，经过点经过点 解解2：122nymx设双曲线方程为：设双曲线方程为：1235132nmnm则则解得解得.311nm，.1322 yx故双曲线方程为故双曲线方程为说明：求双曲线方程时，若没有指明焦点位置，说明：求双曲线方程时，若没有指明焦点位置，一般可设为：一般可设为：122nymx)(0mn)(0mn家庭作业：1.双曲线的标准方程一 活页；2.课本P49 A组5，6，7，8，9 B组3，4 做作业本上