《近世代数》模拟试卷.doc

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1、1台州学院 2017 学年第 1 学期2017 级 数学与应用数学专业高等代数 I期中试卷(B)(闭卷)班级 学号 姓名 题号一二三四五六七总分分值20201015151010100得分一计算题（第一计算题（第 1,2,3,4 每小题每小题 3 分，第分，第 5,6 每小题每小题 4 分，共分，共 20 分）分）1. 设设=0，求，求 a. 2. =？ 3. =？11 131 211a2 3 5 2278271 9491 3231 11114. 计算箭形行列式计算箭形行列式的值的值. 5.5. 计算行列式计算行列式. .222 1212121212444nnnbbbbbbbbb6.6. 设设3

2、13233343040 2222644?0770 5322DAAAA，-10二二. 判别下列命题的对错，并把错误的命题改正（每小题判别下列命题的对错，并把错误的命题改正（每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1一个向量一个向量 线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是 =0. .2 2设向量组设向量组可由线性无关的向量组可由线性无关的向量组线性表出，则线性表出，则 r r s.s.12,.,r 12,.,s 3 3设向量组设向量组线性无关，则向量组线性无关，则向量组线性无关线性无关 123, 23, 4.4.设向量组设向量组线性无关，线性无关，线性相关，则线性相关，则可由向量组可由向量组1

3、2,.,s 12,.,s ，s线性表出线性表出. .121,.,s 5.5. 任一个排列都可以经过偶数次对换变为偶排列任一个排列都可以经过偶数次对换变为偶排列. .6.6.设设 nr 矩阵矩阵A是一个齐次线性方程组的系数矩阵，若是一个齐次线性方程组的系数矩阵，若，则该方程组有非零解，则该方程组有非零解. .nr7.7. 设设,如果向量组如果向量组12=(,.,),1,2,.,iiiinaaais1214=(,.,.,),1,2,.,iiiiniiaaabbis线性相关，则向量组线性相关，则向量组也线性相关也线性相关. .12,.,s 12,.,s 28.8.是一个数域，其中是一个数域，其中Q是

4、有理数域是有理数域. .3 | ,Paba bQ9.9. 5 5 元齐次线性方程组元齐次线性方程组的自由未知量有的自由未知量有 2 2 个个. .54321xxxxx10.10. n n 维向量空间的任意维向量空间的任意 n+4n+4 个向量必线性相关个向量必线性相关. . 三填空题（每题三填空题（每题 2 2 分，共分，共 1010 分）分） 1 1设设 8 级矩阵级矩阵的秩为的秩为 4，则，则有一个有一个 ，且，且的所有的所有 均为均为 0. .AAA 2非齐次线性方程组有解的充要条件是非齐次线性方程组有解的充要条件是 . 3 (253416789)+ 987614352）= . 4请写出

5、一个请写出一个 6 6 元排列元排列 ，其反序数是，其反序数是 9.5当当 j= ，k= 时，时，为为 6 阶行列式中带负号的项阶行列式中带负号的项.1265132345jka a a a a a四叙述题（每小题四叙述题（每小题 5 分，共分，共 15 分）分） 1.请叙述请叙述 Cramer 法则法则. 2.什么叫数域？什么叫数域？3.什么叫向量组什么叫向量组的极大无关组？的极大无关组？12,.,s 五五. （15 分）解下列线性方程组，用其特解和导出组的基础解系表示出全部解：分）解下列线性方程组，用其特解和导出组的基础解系表示出全部解：.12345123452345123451642268

6、2261543323xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 六六(10 分分)求向量组求向量组的一个极大无关组的一个极大无关组,并把不属于极大无关组的向量用求得的极并把不属于极大无关组的向量用求得的极12345, 大无关组线性表出，其中：大无关组线性表出，其中： 1=(1, 0, 6, 5)， 2=(1, 1, 4, 4)， 3=(1, 2, 2, 3)， 4=(1, 6, 6, 2), 5=(1, 1, 8, 3). 七证明题（每小题七证明题（每小题 5 分，共分，共 10 分）分）1. 设设都是都是矩阵，证明矩阵，证明.,A Bsn()( )( )R ABR AR B2. 设设；，证明，证

7、明123=(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)123=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)向量组向量组与与等价等价.123, 123, 3答案答案 一一计算题计算题(20 分分)1. . 2.2. 60. 3. 720. 4. 2n. 5. . 6. 0.5 7a 11(4)4n n i ib二是非题（是打二是非题（是打，非打，每小题，非打，每小题 2 分，共分，共 20 分）分）1一个向量一个向量 线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是 =0. . 2 2设向量组设向量组可由线性无关的向量组可由线性无关的向量组线性表出，则线性表出，则 r r s s. . 12,.,r

8、 12,.,s 3 3设向量组设向量组线性无关，则向量组线性无关，则向量组线性无关线性无关. .123, 23, 4 4设向量组设向量组线性无关，线性无关， 线性相关，则线性相关，则可由向量组可由向量组12,.,s 12,.,s ，s线性表出线性表出. . 121,.,s 5 5 任一个排列都可以经过偶数次对换变为偶排列任一个排列都可以经过偶数次对换变为偶排列. 6.6.设设 nr 矩阵矩阵A是一个齐次线性方程组的系数矩阵，若是一个齐次线性方程组的系数矩阵，若，则该方程组有非零解，则该方程组有非零解. . nr7.7. 设设,如果向量组如果向量组12=(,.,),1,2,.,iiiinaaai

9、s1214=(,.,.,),1,2,.,iiiiniiaaabbis线性相关，则向量组线性相关，则向量组也线性相关也线性相关. . 12,.,s 12,.,s 8.8. 是一个数域，其中是一个数域，其中Q是有理数域是有理数域. . 3 | ,Paba bQ9.9. 5 5 元齐次线性方程组元齐次线性方程组的自由未知量有的自由未知量有 2 2 个个. . 54321xxxxx10.10. n n 维向量空间的任意维向量空间的任意 n+4n+4 个向量必线性相关个向量必线性相关. . 三填空题（每题三填空题（每题 2 2 分，共分，共 1010 分）分） 1 1设设 8 级矩阵级矩阵的秩为的秩为

10、4，则，则有一个有一个 4 阶子式非零阶子式非零 ，且，且的所有的所有 5 阶子式阶子式 均为均为 0. .AAA 2非齐次线性方程组有解的充要条件是非齐次线性方程组有解的充要条件是 系数矩阵和增广矩阵的秩相等系数矩阵和增广矩阵的秩相等 . 3 (253416789)+ 987614352）= 36 . 4请写出一个请写出一个 6 6 元排列元排列 632145 ，其反序数是，其反序数是 9.5 当当 j= 4 ，k= 6 时，时，为为 6 阶行列式中带负号的项阶行列式中带负号的项.1265132345jka a a a a a四叙述题（每小题四叙述题（每小题 5 分，共分，共 15 分）分）

11、 1.请叙述请叙述 Cramer 法则法则. 答：答：n n 个方程个方程 n n 个未知量的线性方程组如果其系数行列式个未知量的线性方程组如果其系数行列式 dd 2.2.什么叫数域？什么叫数域？3.什么叫向量组什么叫向量组的极大无关组？的极大无关组？12,.,s 五五. （10 分）求下列线性方程组的一般解：分）求下列线性方程组的一般解：4.123451234523451234516422682261543323xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解：解：111111111111111111 6422680244122012261 012261012261000011 543323012

12、232000000 得，方程组的特解为，导出组的基础解系，导出组的基础解系为：101103012205000011000000 0=( 3,5,0,0, 1)，.1=(1, 2,1,0,0)2=(1, 2,0,1,0)方程组的全部解为方程组的全部解为，为任意数为任意数.01 122=kk 12kk，方程组的一般解为：为任意数.123453522, ,1xklxklxkk lxlx 六六(5 分分)求向量组求向量组的极大无关组。其中：的极大无关组。其中： 1=(1, 0, 6, 5)， 2=(1, 1, 4, 4)，1234, 3=(1, 2, 2, 3)， 4=(1, 6, 6, 2), 5=

13、(1, 1, 8, 3).解：得极大无关组为解：得极大无关组为. .124, 3125124=2,35 七证明题（七证明题（10 分）分）1. 证明向量组证明向量组线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是线性无关线性无关.123, 221232, 证明：设证明：设的行向量为的行向量为(1):，的行向量为的行向量为(2):，则，则的行向量的行向量A12,.,s B12,.,s AB为为(3):，再设，再设，向量组，向量组(1)的极大无关组为的极大无关组为1122+,+, .,+ss( ),( )R ArR Bt，向量组，向量组(2)的极大无关组为的极大无关组为，于是向量组，于是向量组(3)的每一

14、个向量都可由向量的每一个向量都可由向量12,.,iiir12,.,jjjt组组(4): ,线性表出，所以线性表出，所以12,.,iiir12,.,jjjt5.1212( + )= (3)(,.,.,)= ( )( )iiirjjjtR A BRRrt R AR B命题得证命题得证. 2.证明：只需证明两个向量组可以彼此线性表出证明：只需证明两个向量组可以彼此线性表出.一方面，一方面，.1123212331232,2,2另一方面，另一方面，.131232212313123111=(),(),()4446台州学院 2017 学年第 1 学期2017 级 数学与应用数学专业高等代数 I期中答卷（B）班级 学号 姓名 题号一二三四五六七总分分值20201015151010100得分一. 计算题（计算题（20 分）分）