3第三章可靠性常用分布函数.ppt

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1、2022-5-30郭一鸣郭一鸣 肖生发肖生发 主编“十三五十三五”普通高等教育汽车服务工程专业教材普通高等教育汽车服务工程专业教材2022-5-30可靠性基本概念及其主要数量指标可靠性常用分布函数汽车系统可靠性分析汽车可靠性设计第二章第三章第四章第五章第六章汽车可靠性试验汽车失效分析方法第七章第八章汽车可靠性管理绪论第一章第三章 可靠性常用分布函数第一节 二项分布第二节 泊松分布第三节 指数分布第四节 正态分布第五节 对数正态分布第六节 威布尔分布第七节 威布尔概率纸及其参数估计第三章 可靠性常用分布函数 教学提示：汽车产品的可靠性有其自身规律，如果能得到产品的失效分布，可靠性指标便容易求得。

2、可靠性常用的分布有指数分布、正态分布、对数正态分布和威布尔分布。掌握这些分布的特性以及特征值的获取，对分析和解决可靠性问题具有较大帮助。 教学目标：要求学生了解二项分布、泊松分布的含义；掌握指数分布、正态分布、对数正态分布和威布尔分布的特性以及特征值的获取；会应用威布尔概率纸估计威布尔分布的参数和数字特征值。 在可靠性研究中，数据处理占有重要地位，要准确地给出寿命分布是不容易的，往往是通过统计推断得出可靠性的某些特征量。这些特征量大部分与具体的失效分布有密切的关系，可以根据失效机理和失效率函数形式导出其失效分布，所以研究失效分布函数具有重要的意义。第三章 可靠性常用分布函数 在汽车可靠性研究中

3、，失效分布函数的类型有很多，如正态分布、指数分布、对数正态分布和威布尔分布等。但不同的分布函数对应不同的应用领域：正态分布在日常生活中被广泛使用，但是在可靠性工程领域中却很少见；指数分布经常用在电气工程领域中；对数正态分布偶尔用在材料科学和机械工程领域中；威布尔分布是在机械工程领域中应用最广泛的寿命分布函数，因此要合理选用失效分布函数，这样就可以方便地对实际工程问题进行可靠性分析。第一节 二项分布 二项分布是离散型分布。二项分布必须满足的条件是：每次试验都是独立的，且每次试验只能出现两种结果或状态，要求母体很大。 若进行n 次独立重复试验，设事件A 表示成功，事件B 表示失败，每次成功的概率为

4、p，有K 次成功，每次失败的概率为q，有 次失败，以X 表示n 次试验中事件B 发生的次数，则X 是一个随机变量，它所有可能取的值为0、1、2、n，且有：第一节 二项分布 这种分布称为随机变量x 服从参数为n、q 的二项分布。 由于p+q=1，且式（3-1）正好是二项展开式的各项，所以有（p+q）n 等于1。因此，（p+q）n 的展开式也必须等于1：第一节 二项分布 二项分布不仅可以用来计算冗余系统的可靠度，还可以用于计算一次性使用装置或系统的可靠度估计。为了保证系统的正常工作，往往采用几个相同的单元并行工作，即为冗余单元。如汽车上采用双管路制动系统，便是冗余系统。计算冗余系统的可靠度，不仅依

5、赖于各个单元的可靠度和冗余元件的数量，而且也依赖于系统成功所需元件的数量。如果要求系统中的全部元件工作正常时系统才工作正常，这时系统成功的概率为二项展开式的第一项p n。如果不发生失效或只有一个失效，系统便是成功的，这时系统成功的概率为前两项之和。一般来说，若容许 个失效，则系统成功的概率为前+1项之和，即：第二节 泊松分布 在可靠性研究中，泊松分布也是一个重要的分布。随机变量X 服从参数为n、q 的二项分布，则当n 时，X 近似地服从泊松分布，此时q 很小，nq=0是常数，其近似等式为： 当随机变量X 所有可能取值为一切非负整数0，1，而取各个值的概率为： 则称X 服从参数为 的泊松分布。第

6、二节 泊松分布 根据概率定义的条件之一，有： 相应地，随机变量X 的概率为： 泊松分布P（X）=P（）的计算可查泊松分布表。第二节 泊松分布 在可靠性中，当元件或系统的失效率为常数时，若用t 代替，这里 为失效率，t 为时间。那么t 和前述的np 一样，代表系统在t 内的平均失效率。为了使系统失效率不变，必须使工作元件数不变。如有一个元件失效，必须修复，使它恢复到原来的状态，或者用相同的元件替换。这种工作方法称为后备冗余法。相应的系统称为后备冗余系统。 第二节 泊松分布 泊松分布可用来计算后备冗余系统的可靠度。将式（3-4a）中的改为t，则有： 式（3-5）中，第一项代表没有元件失效时的概率，

7、第二项代表一个元件失效时的概率，依此类推，展开式中项数是无限的。不过，一个系统中可以修复或替换的元件数量是有限的。所以，用展开式中的有限项数就可以确定系统成功的概率。第三节 指数分布 在可靠性理论中，指数分布是最基本、最常用的分布。 第二章第三节中曾介绍过失效率的概念，当产品的失效率（t）为常数，即：（t）=（t 0） 则其失效密度函数：第三节 指数分布 相应的失效分布函数和可靠度函数为：F（t）=1-e-tR（t）=e-t 由以上表达式可知，当（t）= 常数时，产品的寿命分布是指数分布（或负指数分布）。 许多元件特别是电子元件，在工作时间内，可能由于偶然的原因而失效，这段时间里，没有一种元件

8、或机构对失效起主导作用。产品失效率曲线的偶然失效阶段的失效率为常数，因而是服从指数分布的。 第三节 指数分布 指数分布是单参数分布，即失效率一旦确定，可靠度函数R（t）便完全确定了。只是可靠度曲线随 值的不同，其下降速度有所不同， 值大，可靠度曲线下降急剧；反之，下降缓慢，如图3-1所示。图3-1 服从指数分布的可靠度函数曲线第三节 指数分布 指数分布数字特征如下。第三节 指数分布 从上述式子中可以看出，指数分布的平均寿命与失效率互为倒数，指数分布的特征寿命就是其平均寿命。 指数分布的一个重要性质是“无记忆性”。就是说，如果产品的失效率为，在某一间隔时间内的可靠度为e-t，若在本工作段结束时仍

9、可工作，则在下一个间隔相同的时间段内可靠度仍为e-t，可靠度与工作过的时间长短无关，类似于一个新产品开始工作。有人说，指数分布是“永远年青”的，就是这个道理。第三节 指数分布 【例3-1】设某元件在偶然失效阶段寿命服从指数分布Te（），且已知数学期望为10000h，求：寿命为15000h的可靠度；寿命为900011000h的概率。第四节 正态分布 正态分布（或高斯分布）是数理统计理论中一个最基本的概率分布。正态分布的密度函数为： 式中：均值，是位置参数； 均方差，是尺度参数。第四节 正态分布 设随机变数T服从正态分布N（， 2），它有如下性质： （1）正态分布的密度函数f（t）是一条关于t =

10、 对称的钟形曲线。在t = 处，f（t）取得极大值 ，在t =时，有f（t）0，t 轴是f（t）的渐近线，如图3-2所示。图3-2 正态分布密度函数曲线第四节 正态分布 （2）正态分布是二参数分布，即f（t）取决于数学期望 和方差 2。当 和 取不同值时，f（t）曲线是不一样的。 决定了分布的中心位置， 2表示了分布的离散程度。当 一定时，也就是曲线形状一定时，随着 值的不同，形状一定的曲线沿t 轴方向作平移，如图3-3所示。当 一定时，也就是曲线分布中心一定，随着N（2， 2） 的取值不同，曲线形状亦不同。 取值越大，其离散程度越大，如图3-4所示。图3-3 对f（t）的影响第四节 正态分布

11、图3-4 对f（t）的影响第四节 正态分布 （3）当=0，=1时的正态分布N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为： 分布函数为：第四节 正态分布 对于一般的正态分布，可以通过变换 化为标准正态分布： 标准正态分布函数可查标准正态分布表。 若产品失效服从正态分布，其失效密度函数为：第四节 正态分布失效分布函数为： 可靠度函数为： 失效率函数为：第四节 正态分布 【例3-2】从一批弹簧中，取出件在同一应力水平下进行疲劳试验。若已知失效时间服从正态分布，其均值为=302千周，均方差为=68千周。按要求寿命t 大于250千周为合格，在250千周以下为不合格。求合格品的概率（百分数）。第五节 对数正

12、态分布 若t 是一个随机变量，x=lnt 服从正态分布，则称t 是一个服从对数正态分布的随机变量。其中，t=e x，x=lnt，即xN（， 2），则tLN（， 2）。 对数正态分布的密度函数为：第五节 对数正态分布 累计分布函数为： 如果t 服从对数正态分布，则可靠度函数为： 对数正态分布的失效率函数为：第五节 对数正态分布 对数正态分布的两个参数 和，分别称为对数均值和对数标准离差。图3-5表示了对数均值=1，对数标准离差 取不同值时的失效率函数曲线。 从图3-5可见，失效率曲线在开始阶段一般是随t 增大而上升，达到最高峰后又开始下降，当t 时，（t）0。图3-5 服从对数正态分布的失效率函

13、数曲线第五节 对数正态分布 计算可靠度和失效率均可利用标准正态分布表。如可靠度和失效率分别表示为： 第五节 对数正态分布 对数正态分布随机变量t 的均值E（T）和方差D（T），不同于随机变量x 在正态分布曲线中的均值 和均方差，它们之间的关系及表达式为：第五节 对数正态分布 【例3-3】已知某零件的寿命服从对数正态分布。随机抽取个零件进行试验，测得其寿命分别为93、79、83、87、92h。试计算：分布参数E（T）和D（T）；要求工作80h的可靠度；可靠度为0.95的可靠寿命。第五节 对数正态分布第六节 威布尔分布 威布尔分布是以瑞典物理学家威布尔（WWeibull）的名字命名的。这是他在19

14、39年分析材料强度时在实际经验的基础上推导出来，后来在理论上加以证明了的分布类型。威布尔分布含有2个或3个参数，要比指数分布适应能力强，也就是说对各种类型的试验数据拟合的能力强。威布尔分布是可靠性中广泛使用的连续型分布，可以描述很多不同的失效行为。第六节 威布尔分布 一、威布尔分布函数 威布尔分布是从链条的强度模型推导出来的，其推导过程略去，直接得出有关的表达式。 威布尔分布密度函数为：第六节 威布尔分布 威布尔分布的分布函数为： 式中：m形状参数； 位置函数； 真尺度参数。若令 m=t0，则t0称为尺度参数。第六节 威布尔分布 式（3-9）就是三参数的威布尔分布。 服从威布尔分布的可靠度函数

15、为： 失效率函数为：第六节 威布尔分布 二、威布尔分布的参数 1形状参数m 形状参数m 的数值不同，将直接影响分布密度函数f（t）的形状，故称为形状参数。当t0、 取固定值（取t0=1，=0），m 取不同值时，大致可分为3大类型：m1，其相应的威布尔分布的密度曲线f（t），可靠度曲线R（t）以及失效率曲线（t）如图3-6所示。第六节 威布尔分布图3-6 威布分布f（t）、R（t）、（t）曲线第六节 威布尔分布 当m1时，（t）为递增函数，反映了产品的耗损失效过程。 在分布形式上，威布尔分布具有较好的兼容性。当m=1时，三参数的威布尔分布密度函数即成为两参数的指数分布密度函数，因此指数分布是威布

16、尔分布的特殊情形；当m=2时的威布尔分布即为瑞利分布；当m=3.57时，威布尔分布近似于正态分布。第六节 威布尔分布 2位置参数 在相同的m，t 数值下，不同的 值将使曲线的起始位置不同。因而，称 为起始参数或位置参数。 当=0时，式（3-29a）可以写成： 当0时，令t=t-，y=y，则式（3-29a）可以写成：第六节 威布尔分布 比较式（3-32）和式（3-33），其形式相同，不同的仅是横坐标，即横坐标作了平移，但并不影响威布尔分布曲线的形状。 位置参数的意义在于：当=0时，说明产品一投入试验就有产品失效；当0时，说明产品在t 时间内不发生失效；当0时所作的线稍向下弯，呈凸形；当0时，沿所

17、构成的回归曲线顺势延长至与t 轴相交，交点的刻度就是 的初始估计值。因为当t= 时，有： 而威布尔概率纸的底边F（t）=0.001，所以用曲线和t 尺的交点作为 的初始估计值是可行的。有了 值后，在所描的数据点中，按F（t）的大小顺序适当地选35点，左移，看移动后的各点是否大致在一条直线上，如果仍不在一条直线，修改 后再试，直到所得数据点呈现为一条直线为止，这时 的估计值就被确定了。将所描的各点全部左移，即ti =ti - 。由移动后所得到的直线，按前述方法估计m 和t0值。图3-16给出了 的估计和数据点平移的情况。第七节 威布尔概率纸及其参数估计 三、t 尺的数据变换 在威布尔概率纸上，t

18、 尺的刻度范围是0.1100，即t=0.1100。为了扩大数轴的范围，可做变换，令t=t10，式中，t 为试验数据的数值范围， 为扩大倍数的幂指数。例如，t 值范围为11000时，则选=-1，依此类推。 对t 尺作了变换以后，威布尔分布的参数也要发生相应的变化。因为：第七节 威布尔概率纸及其参数估计第七节 威布尔概率纸及其参数估计 由上述关系，当假定t、m、t0、 为未变换t 尺时的参数，则当t 尺变换后，可得如下结论： （1）t 轴扩大后，形状参数m 值不变。 （2）t 轴扩大后，位置参数，真尺度参数 的扩大倍数与t 轴扩大倍数相同，即： =10 （3-52） （3）t 轴扩大后，尺度参数t

19、0应作如下变换： t0=t010m （3-53）第七节 威布尔概率纸及其参数估计 四、寿命特征的估计 威布尔分布平均寿命和方差的计算公式为：第七节 威布尔概率纸及其参数估计 式（3-54）式（3-57）中 都是m 的函数，因此它们与m 之间有一一对应关系。将这些关系用4把与m 相对应的尺子，即 尺与F（）尺列于威布尔概率纸的右边，就可用来对产品的寿命特征进行估计，作图求得所需要的值。第七节 威布尔概率纸及其参数估计 1平均寿命 的估计第七节 威布尔概率纸及其参数估计图3-17 利用 尺估计第七节 威布尔概率纸及其参数估计 （2）利用F（）尺估计：过M 点作回归直线y=mx-B 的平行线与y 轴

20、相交，由交点右引水平线过与y 尺相交的m 估计点延伸到F（）尺上，然后在F（t）尺上找到读数为F（）值的点，过此点右引水平线与回归直线y=mx-B 相交，由交点下引垂线与t 轴相交，其垂足就是平均寿命的估计值 ，如图3-18所示。图3-18 利用F（）尺估计第七节 威布尔概率纸及其参数估计 2均方差 的估计第七节 威布尔概率纸及其参数估计图3-19 利用 尺估计第七节 威布尔概率纸及其参数估计 （2）利用F（）尺估计：过M 点作回归直线y=mx-B 的平行线与y 轴相交，过交点右引水平线与y 尺相交，通过m 的估计点再延伸到F（）尺上，得到F（）值，然后在F（t）上读到读数为F（）的点，过此点

21、右引水平线与回归直线y=mx-B 相交，由交点下引垂线与t 尺相交，其垂足就是估计值 ，其作法如图3-20所示。图3-20 利用F（）尺估计第七节 威布尔概率纸及其参数估计 3产品可靠度的估计 首先在t 轴上找到时间为t1的点，然后由t1点上引垂线与回归直线y=mx-B 相交，过交点左引水平线与F（t）轴交于F（t1）的点，再由R（t）=1-F（t）计算求得对应时间为t1时产品的可靠度，做法如图3-21所示。图3-21 利用回归线估计可靠度值第七节 威布尔概率纸及其参数估计 4可靠寿命tr的估计 对于给定的可靠度R *，在F（t）轴上找到其值为1-R *的点，由此点右引水平线与回归直线y=mx

22、-B 相交，其垂足就是可靠寿命的估计值tr，如图3-22所示。图3-22 利用回归线估计可靠寿命第七节 威布尔概率纸及其参数估计 五、威布尔概率纸应用实例 应用威布尔概率纸进行数据处理的主要步骤如下： （1）将失效时间ti（广义）从小到大顺序排列。 （2）做数据单位变换，即ti =ti10，使ti 的最大值落入威布尔概率纸标尺范围内。 （3）计算累计失效频率F（ti）%，步骤如下。第七节 威布尔概率纸及其参数估计 （4）用i 、ti 、ti 、F（ti）%列表。 （5）用ti 、F（ti）%在威布尔概率纸上描点，并作最佳拟合直线，从概率纸上得到估计值 。 （6）当 时，计算 并列表，按 重新描

23、点，若F（ti）%在50%90%段内，拟合线近似为一条直线，则该产品失效分布服从威布尔分布。 （7）用图解求分布函数的参数：m、t0、 的估计值，并将数据单位还原。 （8）用图解或计算求分布函数的寿命特征参数、t0.5和R 的估计值。第七节 威布尔概率纸及其参数估计 【例3-5】某批零件，取10个样本进行可靠性试验，全部试验到失效为止。试验结果为：140h，90h，190h，220h，270h，200h，115h，170h，260h，330h。试用威布尔概率纸进行试验数据处理。第七节 威布尔概率纸及其参数估计 （5）按ti 、F（ti）%作图，得 =1.75； （6）0，但在F（ti）在10%

24、90%范围内呈直线，该批零件的失效分布服从威布尔分布； （7）图解得出：m *=2.6， *=22。 将数据单位还原：第七节 威布尔概率纸及其参数估计 （8）寿命特征估计值； 平均寿命 的估计： 利用F（）尺估计：m=2.6时，F（）尺上F（）=0.52，在F（t）尺上找到读数为F（）值的点，过此点右引水平线与拟合线相交，由交点下引垂线与t 轴相交，得： *=20，还原数据单位，有：第七节 威布尔概率纸及其参数估计 均方差 的估计： 可靠寿命tR 的估计：复习思考题 1为什么说指数分布是“永远年青”的分布？ 2威布尔分布的3个参数各表示什么样的具体含义？ 3为什么说威布尔分布具有很好的兼容性？

25、 4已知某部件的寿命分布为威布尔分布，且m=2、t0=40000h、=0，试计算该部件的平均寿命、可靠度R=0.90的可靠寿命和在150h之内的最大失效率。 5有一批轴，按要求轴径不超过1.5cm就是合格品，根据经验已知轴径尺寸服从正态分布，其均值=1.480cm，标准差=0.004cm。试计算：该批轴的废品率是多少？若要保证有0.95的合格率，其轴径的合格尺寸是多少？复习思考题 6设某元件的寿命分布服从指数分布，它的平均寿命为5000h，试求其失效率和使用125h的可靠度。 7某产品的寿命分布服从=5、=1（其单位为h）的对数正态分布，求t=150h的可靠度。 8某批零件，抽取8个样本进行可靠性试验，测得各零件从开始试验到失效为止的时间为：123h，170h，552h，215h，779h，289h，290h，462h。试用威布尔概率纸判断该批零件失效分布是否服从威布尔分布，并估计其参数和数字特征值。