2022最新初三数学二次函数知识点总结归纳.doc

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1、2022最新初三数学二次函数知识点总结归纳c|个单位得到.当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动.初三二次函数知识点总结1二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax2 bx c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax2;bx c(a0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b2)/4a);顶点式y=a(x m)2 k(a0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)2 k(a0,a、h、k为常数)，

2、顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2)仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线;重要概念：a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)(

3、y1(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1x2)(y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=-b(b2-4ac)/2a(即一元二次方程求根公式)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。2画出对称轴，并注明X=什么3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质轴对称1.

4、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)顶点2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，4ac-b2;)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b2;-4ac=0时，P在x轴上。开口3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。决定对称轴位置的因素4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就

5、是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定抛物线与y轴交点的因素5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0，c)抛物线与x轴交点个数6.抛物线与x轴交点个数

6、=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-bb2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在x|x<-b/2a上是减函数，在x|x>-b/2a上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是y|y4ac-b2/4a相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2 c(a0)特殊值的形式7.特殊值的形式当x=1时y=a b c当x=-

7、1时y=a-b c当x=2时y=4a 2b c当x=-2时y=4a-2b c二次函数的性质8.定义域：R值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)(4ac-b2)/4a，正无穷);t，正无穷)奇偶性：当b=0时为偶函数，当b0时为非奇非偶函数。周期性：无解析式：y=ax2 bx c一般式a0a>0，则抛物线开口朝上;a<0，则抛物线开口朝下;极值点：(-b/2a，(4ac-b2)/4a);=b2-4ac,>0，图象与x轴交于两点：(-b-/2a，0)和(-b/2a，0);=0，图象与x轴交于一点：(-b/2a，0);<0，图象与x轴无交点

8、;y=a(x-h)2 k顶点式此时，对应极值点为(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b2)/4a;y=a(x-x1)(x-x2)交点式(双根式)(a0)对称轴X=(X1 X2)/2当a>0且X(X1 X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X(X1 X2)/2时Y随X的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连用)。交点式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。26.2用函数观点看一元二次方程1.如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时

9、，函数的值是0，因此就是方程的一个根。2.二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。26.3实际问题与二次函数在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。初三数学二次函数知识点总结1.二次函数的概念二次函数的概念：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零.二次函数的定义域是全体实数。2.二次函数的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最

10、高次数是2。是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。2.初三数学二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a0)。顶点式：y=a(x-h)2+k抛物线的顶点P(h，k)。交点式：y=a(x-x)(x-x)仅限于与x轴有交点A(x，0)和B(x，0)的抛物线。注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b2)/4ax,x=(-bb2-4ac)/2a。3.二次函数的性质1.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过

11、原点。2.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b>0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点;当b<0时，直线必通过三、四象限。特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。4.初三数学二次函数图像对于一般式：y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称。y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称。y=ax2+bx+c

12、与y=-ax2-bx+c-b2/2a关于顶点对称。y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称。(即绕原点旋转180度后得到的图形)对于顶点式：y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称，即顶点(h,k)和(-h,k)关于y轴对称，横坐标相反、纵坐标相同。y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称，即顶点(h,k)和(h,-k)关于x轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称，即顶点(h,k)和(h,k)相同，开口方向相反。y=a(x-h)2+k与y=-a(x+h)2-k关于原点对称，即顶点(h,k)和(-h,-k)关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。(其实就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况)初三数学二次函数知识点总结第 7 页 共 7 页