上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷.doc

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1、上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷【说明说明】解答本试卷不得使用计算器解答本试卷不得使用计算器 一、填空题（本题满分 60 分，前 4 小题每小题 7 分，后 4 小题每小题 8 分）1. 设，则的最小值是 。1210,(1,)a aa 12101 2102009200920092009loglogloglogaaaa aa2. 已知，且，则将表示成的函数，其解,*x yN12121 999xy yx析式是 。y 3. 已知函数，若，且，则的取值范围是 2( ) |2|f xx( )( )f af b0abab。4. 满足方程的所有实数对 22 2213log 2

2、cos ()2cos ()4xyyyxy ( , )x y 。5. 若 表示不超过实数 的最大整数，则方程 的解是 aa2tan 2sinxx。6. 不等式的解集是 。2223 24 2xxxx 7. 设是由不超过的所有正整数构成的集合，即，集合，A20091,2,2009A LA且中任意两个不同元素之差都不等于，则集合元素个数的最大可能值是 L4L 。 8. 给出一个凸边形及其所有对角线，在以该凸边形的顶点及所有对角线的交点为顶1010 点的三角形中，至少有两个顶点是该凸边形顶点的三角形有 个。10 二、解答题 9.（本题满分 14 分）设函数定义于闭区间，满足，且对任意( )f x0,1(

3、0)0,(1)1ff，都有，其中常数满足，,0,1,x yxy22()(1) ( )( )2xyfaf xa f ya01a求的值。a10. （本题满分 14 分）如图，是双曲线的右顶点，过点的两条互相垂直A2 214xyA的直线分别与双曲线的右支交于点，问直线是否一定过轴上一定点？如果不,M NMNx存在这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点试求出这个定点的坐标。PP11. （本题满分 16 分）设是集合的两个不同子集，使得不是的,A B12345 ,a a a a aAB子集，也不是的子集，求不同的有序集合对的组数。BA( , )A ByxAOMN12. （本题满分 16 分）设正整数

4、构成的数列使得对一切na1091081019kkkaaa恒成立。记该数列若干连续项的和为，其中，且。*kN1jp p ia ( , )S i j,*i jNij求证：所有构成的集合等于。( , )S i j*N答案：一、1、； 2、； 3、； 4、10031 2x(0,2)1 2 2（k+,（(kZ)5、或； 6、； 7、； 8、。xk( ,)4xlk lZ0,41005960二、9、解：因为，210 1( )()22ffa2210112( )()( )422ffa fa 222411312( )()(1) ( )(1)2422ffafa faa 所以 8 分226413 11344( )()

5、(1) ( )( )232244ffafa faa 由此得，而，所以 14 分26423aaa 01a2 2a 10、解法一：，将轴向右平移个单位，使点成为新直角坐标系的原点，(2,0)Ay2A在新坐标系下，双曲线的方程为，即 (*)2 2( 2)14xy2244 0yxx若轴，则，即，代入（*）式可得，进而MNx1AMk:AMlyx4 4( , )3 3M。所以，则点在原坐标系中的坐标为。 5 分44( ,)33N4( ,0)3PP10(,0)3若不垂直轴，设，则，MNx:(0)MNlykxt t1ykx t于是（*）可以改写成，即2244 0ykxyxxt24 ()4()40yytktxx

6、 该方程的两个根既是的斜率。12,k k,AM AN因为，所以， 10 分AMAN12414ktk kt 所以，故4 3tk 44:( )33MNlykxkk x所以过定点，则点在原坐标系中的坐标为。4( ,0)3PP10(,0)3综上所述，直线过轴上的定点 14 分MNx10(,0)3P解法二：设直线的斜率为AM1(0,2)2k kkk 由，同理得2222244824(,)41 41(2)xykkMkkyk x222284(,)44kkNkk 当时，所以过 8 分1k 10 3MNxx10(,0)3当时，由直线的方程得， 10 分11,2,2kkk MN10()3yk x所以，直线过轴上的定

7、点 14 分MNx10(,0)3P11、解：集合有个子集，不同的有序集合对有组。12345 ,a a a a a52( , )A B552 (21)2 分 若，并设中含有个元素，则满足的有序集合对有ABB(15)kkAB( , )A B组 8 分555 55 555 100(21)232kkkkkkkkCCC同理，满足的有序集合对也有组。 10 分BA( , )A B5532所以，满足条件的有序集合对的组数为组。 16( , )A B55552 (21)2(32 )570分 12、证明：显然 2 分( , )*S i jN下证对任意，存在0*nN0( , )S i jn用表示数列的前项和，考虑个前项和：nSnan01010n n（1） 0121010nSSS由题设 6 分 0001010121011201011010()()()nnnSaaaaaaa另外，再考虑如下个正整数：01010n （2） 0102010100nSnSnSn显然 10 分 01010002019nSnn这样（1），（2）中出现个正整数，都不超过，02020n 02019n 由抽屉原理，必有两个相等。由于（1）式中各数两两不相等，（2）式中各数也两两不等， 故存在，使得，即，且,*i jN0jiSSnji0( , )jinSSS i j所以，所有构成的集合等于。 16 分( , )S i j*N