21.3-离散型随机变量的均值与方差.pptx

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1、栏目索引21.3离散型随机变量的均值与方差高考数学（江苏专用）高考数学（江苏专用）第一页，编辑于星期六：三点 三十六分。栏目索引考点考点 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差考点考点清单清单考向基础考向基础1.若离散型随机变量X的概率分布为P(X=xi)=pi,i=1,2,n,则称E(X)=x1p1+x2p2+xnpn为随机变量X的数学期望或均值.其中,xi是随机变量X的可能值,pi是概率,pi0,i=1,2,n,p1+p2+pn=1.若Y=aX+b,其中a、b是常数,则Y也是随机变量,数学期望为E(Y)=aE(X)+b,即E(aX+b)=aE(X)+b.若XB(n,p),则E

2、(X)=np.若xH(n,M,N),则E(X)=n.MN第二页，编辑于星期六：三点 三十六分。栏目索引2.方差:把V(X)=(x1-E(X)2p1+(x2-E(X)2p2+(xn-E(X)2pn,叫做随机变量X的方差;标准差是=.其中,pi0,i=1,2,n,p1+p2+pn=()V X1.若XB(n,p),则V(X)=np(1-p).若XH(n,M,N),则V(X)=n.MN1MN1NnN第三页，编辑于星期六：三点 三十六分。栏目索引例例1 (2018江苏南京学情调研)袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球,每种颜色的小球各有4个,分别编号为1,2,3,4.现从袋中随机取两个球.(1)

3、若两个球颜色不同,求不同取法的种数;(2)在(1)的条件下,记两球编号的差的绝对值为随机变量X,求随机变量X的概率分布列与数学期望.考向突破考向突破考向一考向一 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值第四页，编辑于星期六：三点 三十六分。栏目索引解析解析(1)两个球颜色不同的情况共有-4=96(种).(2)随机变量X所有可能的值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以随机变量X的概率分布列为216C24C244C961411433C C963811432C C96141143C C9618X0123P14381418所以E(X)=0+1+2+3=

4、.1438141854第五页，编辑于星期六：三点 三十六分。栏目索引考向二考向二 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差例例2随机变量的取值为0,1,2.若P(=0)=,E()=1,则D()=.15解析解析设P(=1)=p,则P(=2)=-p,从而由E()=0+1p+2=1,得p=.故D()=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2=.451545p3515351525答案答案 25第六页，编辑于星期六：三点 三十六分。栏目索引方法方法 离散型随机变量的期望的综合问题离散型随机变量的期望的综合问题离散型随机变量的期望的综合问题主要是涉及的期望取值范围以及最值等问题.离散型随机变量的期望与方差

5、的求解,一般分两步:一是定型,即先判断随机变量的分布是特殊类型还是一般类型,如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型;二是定性,两点分布、二项分布、超几何分布等特殊分布的期望与方差可以直接代入相应的公式求解,而对于分布为一般类型的随机变量,应先求出其分布列,然后代入相应的公式计算,要注意离散型随机变量的取值与概率之间的对应.方法技巧方法技巧第七页，编辑于星期六：三点 三十六分。栏目索引例例 (2018江苏盐城中学最后一卷)袋中共有8个乒乓球,其中有5个白球,3个红球,这些乒乓球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球,如果取出红球,则把它放回袋中;如果取出白球,则该白球不再放回,并且另补一个

6、红球放入袋中,重复上述过程n次后,袋中红球的个数记为Xn.(1)求随机变量X2的概率分布列及数学期望E(X2);(2)求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式.第八页，编辑于星期六：三点 三十六分。栏目索引解析解析(1)由题意可知X2=3,4,5.当X2=3时,即两次摸球均摸到红球,其概率是P(X2=3)=;当X2=4时,即两次摸球恰好摸到一红球,一白球,其概率P(X2=4)=+=;当X2=5时,即两次摸球均摸到白球,其概率是P(X2=5)=.所以随机变量X2的概率分布列如下表:1318CC1318CC96411351188C CC C11541188C CC C35641154118

7、8C CC C516X2345P9643564516第九页，编辑于星期六：三点 三十六分。栏目索引数学期望E(X2)=3+4+5=.(2)设P(Xn=3+k)=pk,k=0,1,2,3,4,5.则p0+p1+p2+p3+p4+p5=1,E(Xn)=3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5.P(Xn+1=3)=p0,P(Xn+1=4)=p0+p1,P(Xn+1=5)=p1+p2,P(Xn+1=6)=p2+p3,P(Xn+1=7)=p3+p4,P(Xn+1=8)=p4+p5.所以E(Xn+1)=3p0+4+5+6+7+964356451626764385848485838682878188838015488pp124588pp233688pp342788pp第十页，编辑于星期六：三点 三十六分。栏目索引8=p0+p1+p2+p3+p4+p5=(3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+p0+p1+p2+p3+p4+p5=E(Xn)+1.由此可知,E(Xn+1)-8=(E(Xn)-8).又E(X1)-8=-,所以E(Xn)=8-.451888pp298368438508578648787878358358178n第十一页，编辑于星期六：三点 三十六分。