数学小课题研究教学案例可能性.doc

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1、数学小课题研究教学案例可能性可能性二、课题的确定二、课题的确定等可能性事件是概率论中研究得最早，在社会生活中又广泛存在的一种随机现象，它满足以下两个条件：(1)试验的全部可能结果只有有限个，比如 n 个。(2)每个试验结果发生的可能性是相等的，都是 1/n。等可能性事件在概率论发展初期即被人们所关注和研究。教师在教学这一部分内容时，最明显的感觉是时间不够用，听过这样的几节课，设计的体验活动，学生们用时过长，后面的研究反而淡化了。我想采用小课题研究的办法，因为试验比较简单，可以指导学生课下去完成，根据研究侧重点的不同，将学生划分成几个研究小组。课堂上同学们将自己的研究成果展示出来，大家可以进行充

2、分地辨析，真理就会越辨越明，数学知识也会理解得更深刻、更透彻。 二、课题的布置与指导二、课题的布置与指导我布置的研究任务是：一一盒糖果，应该谁获得呢？第一个方法，抛硬币，如果结果正面向上，男同学将获得糖果，如果结果反面向上，女同学将获得糖果；第二个方法，掷骰子，骰子的六个面上分别写着 16 六个数字，如果结果正面朝上的数大于 3，女生将获得糖果，如果结果正面朝上的数小于 3，男生将获得糖果；你觉得哪种方法公平？能说明你的理由么？我提前 3 天布置给全体学生。由于这个班小课题研究开展得比较扎实，第二天学生们就把研究报告写好交给了我。他们得出的研究成果很多，有的进行了采用多次实验的方法，有的采用思

3、考论证的方法，还有的采用上网搜集资料的方法。通过这些研究报告可以看出，有的思考得比较深入，有的还不太成熟；但他们很多的想法比较接近，根据研究的具体情况，我把研究方法相近的同学划分在相同的研究小组内，全班共分成了三个不同的研究小组。一组： 进行了几次实验后又通过思考就解决了问题。硬币有两个面，所以正、反面出现的机会相等，也就是男、女生获胜机会均等，第一种方法公平。学生们发现掷骰子的六个面大于 3 的数明显多于少于 3 的数，所以女生获胜的机会大，因此第二种方法不公平。二组：（人数最多）他们进行了大量的抛硬币实验、掷骰子实验。在此基础上我指导他们将实验数据记录在一份统计表中，并将实验次数累加起来记

4、录在表中，能发现什么？通过搜集资料查看，数学家们有没有进行过类似的实验？ 你有什么新的收获？三组：个别学生采用分数表示可能性的大小的办法，如何计算简单事件发生的可能性的大小呢，请他们课下多举几个例子继续研究。孩子们的研究潜力是巨大的，研究在逐步深入。在我的指导下学生又有了许多令人欣喜的发现。二组学生发现，试验次数越多，正面和反面出现的次数与抛硬币的总次数的比值都越来越接近 1/2。他们发现历史上许多数学家都进行过大量的抛硬币实验，数学家科学严谨的态度和实事求是的精神也打动了每个孩子。三组学生能够用分数表示出简单的等可能事件中可能性的大小。由于概率知识比较抽象，学生们可能总结不出什么公式，但他们

5、在研究中所发现的方法也是非常有价值的。三、课堂教学实录三、课堂教学实录（一）创设情境，回顾研究小课题师：前几天老师布置给大家一个研究任务（将研究任务用屏幕显示出来） ，实际上涉及到可能性的问题。 （板书：可能性）【评析评析：课前几天，老师已经把这一研究课题向同学们提了出来，并指导着学生进行了研究，对学生的研究情况了如指掌。在这里提出来，回应提出的课题，激发学生的热情。 】（二）课上展示成果，汇报交流师：同学们课下进行了研究，并获得初步的成果，现在小组内先讨论一下，然后展示给大家。 （小组内讨论后）哪一小组汇报你们的研究成果？（第一小组同学上来汇报）生 1： 我们小组经过认真思考认为，抛硬币的方

6、法公平，掷骰子不公平。生 2：（边讲边用硬币演示）硬币有两个面，抛硬币时既可能出现正面，也可能出现反面，不能确定，但由于正反两个面面积相等，我们觉得正面和反面出现的机率一样，也就是出现的可能性相等，都是 1/2。 （生 1 补充：也可以说是 50）所以是公平的。生 3：（边讲边用骰子演示）掷骰子时由于骰子有六个面，分别是 16，每个面出现的可能性大小相等。但大于3 的数有 3 个，而小于 3 的数只有 2 个，所以女生获胜的可能性大，所以这种方法不公平。生 4：我们得出的结论是，只要出现的可能性相等就公平，出现的可能性不相等就不公平。大家对我们的研究有什么看法？生：我认为很有道理，我也赞成你们

7、的观点。师：非常善于思考的一组同学，还有采用其它方法研究的吗？【评析：评析：这一组学生是在课下通过反复推测和交流得出的结论，这种推测很有道理，能使人信服，而且初步了解到可能性的大小可以用分数来表示。可以看出他们对自己的研究成果充满了信心。 】（第二小组同学展示并汇报）生 A：我们小组通过实验得出结论：抛硬币的方法公平。我们小组七人，每人在家都进行了抛硬币实验，下面是我们抛硬币实验的数据表：实验人/次数总次数正面向上反面向上李一晓624张林1266宋暖402317郭子铭532627樊怡麟532726陈东琪803941邵健飞1005050总计344173171我们发现：抛硬币正面和反面抛得向上的次

8、数很接近，甚至相等。所以我们认为抛硬币公平。生 B：我还上网搜集到一些数学家也进行过抛硬币实验。下面是他们的实验数据：试验者抛硬币次数正面朝上次数反面朝上次数正面占总次数德摩根4092204820440.5蒲丰4040204819920.5费勒10000497950210.5皮尔逊2400012012119880.5我们计算了正面朝上次数占总次数的多少，除得的结果保留一位小数都是 0.5。可以看出正面朝上的次数占总次数的一半，那么反面朝上的次数也占一半。我们还发现随着实验次数的增多，正面朝上占总数的比和反面朝上占总数的比都越来越接近 1/2。因此，抛硬币的方法是公平的。生 3：我们还进行了掷骰

9、子实验，一共掷了 40 次。其中大于 3 的有 27 次，而小于 3 的有 13 次。女生获胜的机率比男生大，所以这种方法不公平。大家对我们小组的研究有什么疑问吗？（学生纷纷质疑）生：我觉得实验也不是绝对的，我掷了 6 次骰子，结果大于 3 的只有两次，而小于 3 的有 4 次，和你们的实验正好相反，这怎么解释？研究成员：你掷骰子的次数太少不能说明问题。实验次数大量增加时，实验结果应该越来越接近于准确结果。数学家的实验就是很好的证明。生：可是你们试验中宋暖抛了 40 次，怎么抛得正面和反面向上的次数相差很大，足足差了 6 次，皮尔逊抛了两万多次，正面朝上和反面朝上的次数相差达到 24 次呢？你

10、们能解释一下吗？研究成员：当然我们也不排除实验存在着偶然性，但皮尔逊实验总次数特别多，正面朝上的次数与反面朝上次数才差 24 次，我们觉得不多，他们占总次数的比值都十分接近 1/2。师：这里的 1/2 是无数次重复试验下才能出现的结果，这是一个理论上的结果，实验是不可能无数次的，但大量实验已经证明，随着试验次数的增加，越来越接近于这个结果。是这个意思吧！（同学们都点头表示同意）生：你们小组有两人都进行了 53 次实验，虽然正反面出现的次数较接近，但总不可能相等，不利于发现实验结果。我建议你们进行双数次实验。小组成员：我们接受你的建议。 师：这些同学像数学家那样认真地进行实验，真了不起。还有哪一

11、小组补充？【评析评析：这一组学生是通过实验来说明问题的，当然仅仅凭有限的数据是不能说明问题的，可贵的是学生除了自己亲身实验外，还通过查找资料，了解到数学家做过大量的实验，认识到随着实验次数的不断加大，实验数据的显示结果和自己的推测是一致的。通过学生之间的辨析以及老师恰当的点拨，学生对有限和无限，实验数据的偶然性和理论数据的必然性有了深刻的理解，也对可能性大小的实质有了根本的认识。学生那种实事求是，严谨细致，勇于探索的精神令人叹服。由于做好了充分的准备，面对质疑，能够有理有据的进行说明。其他小组的同学敢于提出并善于提出尖锐的问题，也反映了他们思维的深刻和敏捷。真理不辨不明，通过辨析，事情的真假、

12、曲直自然明朗了。】（第三小组汇报）生 a：我们也赞成以上两个小组的意见。抛硬币只会出现两种可能：正面和反面。通过计算正面出现的可能性，可以用 1/2 表示，反面出现的可能性也可以用 1/2 表示。正反面出现的可能性相等，所以是公平的。 （教师板书出1/2）生 b：掷骰子一共出现 6 种可能，16 个数字。大于 3的有 4、5、6，正面朝上的可能性是 3/6；小于 3 的有 1 和2，正面朝上的可能性是 2/6；3/6 大于 2/6，所以掷骰子的游戏规则是不公平的。 （教师板书出 3/6、2/6）如果把男生获胜的规则改成掷得小于或等于 3 的数获胜，就公平了。生 c：我们还研究了如何用分数表示可

13、能性的大小。比如有 3 个球，一个白球和两个黄球，任意摸一个，一共出现三种可能。白球被摸到的可能性就是 1/3，黄球被摸到的可能性是多大？你知道吗？（生答 2/3）总之，用分数表示可能性的大小，首先弄清一共出现多少种可能，其中的一种可能占几分之一，几种可能就占几分之几。生 d：我们出个题考考大家，口袋中装 10 张卡片，随意摸一张，每张被抽到的可能性是多少？（生答：1/10）其中红桃 4 张，黑桃 5 张，方片 1 张，红桃被摸到的可能性是多少？（生答：4/10）答对了。师：你们介绍的计算方法真不错。我补充一点：在找出游戏的所有可能结果后，要注意每种结果出现的可能性都相等，才能用分数表示。大家

14、赞同吗？大家既然都认为抛硬币的规则公平，我们找一名同学用硬币抛一抛？我任意提问一名同学，每个人被提问到的可能性是多少？（1/40）【评析评析：对于可能性大小的计算，学生是很难理解的。然而在这里，学生为了用定量来说明定性，把如何计算可能性的大小作为一个子课题进行研究。通过研究，他们认识到了可能性大小的实质，并掌握了求可能性大小的方法。用可能性的大小，用具体的数据来说明游戏规则的公平与否，就显得非常严谨，令人信服。他们小组成了这方面的专家，通过出示一些练习题，让其他学生做，其他学生也就掌握了计算可能性大小的方法了。这既体现了因材施教，突出个性化解决问题的策略，也使得学生之间取长补短，互帮互学，共同

15、提高。 】（随机叫了一名男同学，又请一名女同学监督。抛硬币的结果是，硬币反面向上。因此，糖归女生。男生坦然接收事实。 ）师：掷骰子虽然对于男生是不公平的，但只掷一次的话，男生一定会输吗？（生答：不一定）因为实验本身是不确定的。只是说男生输的可能性很大。教师：同学们通过不同的方法进行了研究。其实可能性就是数学上的概率，概率在生活中应用很广泛，如降水概率、产品质量合格概率等。下面我们就应用同学们研究得到的知识去解决有关的数学问题。【评析：评析：通过教师这样的设问，学生更加明确了随机现象的确切含义。可能性大未必一定发生，可能性小也未必一定不发生。学生对于可能性的认识程度是不一样的，有的快一些，有的慢

16、一些，有的深刻一些，有的肤浅一些，老师要照顾到所有的学生。而且，只有通过老师的梳理、提升、点拨，真知才能在学生的头脑中确定下来。 】（三三）拓展应用。 （多媒体呈现多层次练习）1、出示判断。师：请你作小裁判，并说明理由。学生判断并分析原因。2、出示课本练习二十第 2 题转盘练习和 101 页例 2 击鼓传花游戏用合适的分数表示。（学生独立完成，汇报交流）3、应用：小明和小刚将 5、6、7 这三张数字卡片背面朝上任意摆放在桌子上，任选其中两张组成两位数。 （1）一共能组成多少个不同的两位数？（2）如果组成的两位数是单数，小明赢；如果组成的两位数是双数，小刚赢。这个游戏规则公平吗？为什么？（学生先

17、独立完成）生 1：一共组成 6 个不同的两位数，其中单数有 4 个，双数有 2 个。小明获胜的可能性用分数表示是 4/6，小刚获胜的可能性是 2/6。通过比较可以看出，小明获胜的可能性大，所以这个游戏规则不公平。生 2：我也认为这个游戏规则对小刚不利，游戏不公平。但我判断的方法不一样。判断某个数是单数还是双数主要看这个数的个位，如果个位上的数字是单数，那么这个数就是单数；相反，这个数是双数。5，6，7 这 3 个数字，5和 7 都是单数，只有 6 是双数，所以当 5 或 7 放在个位时，组成的两位数就是单数，只有当 6 放在个位时，组成的两位数才是双数，因而摆出的两位数是单数的可能性是 2/3

18、，是双数的可能性是 1/3。师：同学们的方法都很正确，特别是第二种方法十分巧妙，也很简便。【评析评析：练习的设计很有层次性。既有基础性的，也有提高性、拓展性的。通过练习，可以看到学生对这部分知识内容的掌握是不错的。对第 3 题的不同解答方法，更显现出学生思维层次的不同。生 1 借助具体操作，完成了题目的解答。而生 2 完全抛弃了具体操作，只通过逻辑推理就得出了结论，可以看出学生闪现出的智慧火花和巨大的潜能。如果老师继续出一些类似的题目，学生研究的热情会更高，研究的效果会更好。 】4、设计活动方案：要在一个口袋里装入若干个形状与大小完全相同的三种不同颜色的球，使得从口袋中摸出一个红球的可能性为

19、1/6，应该怎么办？师：同学们，在小组内讨论设计方法，用彩笔画在卡纸上。每种方案应标清序号。（学生自己设计，在小组内汇总，并讨论设计的诀窍。 ）第六小组：我们小组一共设计了三种方案， （在展台上展示出设计的方案）我们发现红球只要 1 个，其它两种颜色的球有 5 个就行。第四小组：我们没有进行具体的设计，通过研究，我们认为，只要口袋中一共装 6 个球，并且只装 1 个红球就可以保证，从口袋中摸出一个红球的可能性为 1/6。师：很好！【评析评析：根据要求设计游戏方案与前面的思考过程是相反的，但学生没有被难住。可以看出学生的思维是非常清晰的。有的小组设计出多种方案，通过多种方案总结出了共同的规律，有

20、的小组经过思考就认识到了这个规律。学生的求异思维和求同思维都得到了发展。 】（四）总结提升师：同学们在自己研究的基础上，又从他人和课堂上学到了什么呢？生：我学会了判断游戏规则是否公平的方法，通过用分数表示可能性大小的方法比较简便，我知道这就是概率知识。生：我比较佩服二组，大量的实验验证了他们的猜想是对的。看出他们有认真、一丝不苟的科学实验精神。师：同学们，这节课表现得很好，下课！【评析评析：通过总结，学生对本节课的学习内容进行了回顾整理，完成由薄到厚，由厚到薄的转变。同时，体验到了数学学习带来的情感、态度、价值观方面的收获。 】四、课后研究及成果展示交流四、课后研究及成果展示交流感兴趣的同学继

21、续研究：用所学到的知识去观察“街边的游戏”是否公平？引导学生用学到的数学知识去解释生活现象，使课堂延伸到社会。将课上汇报情况整理成研究报告，张贴在评比栏里，继续交流研究成果。五、教学反思五、教学反思通过学生上课前研究的层层深入，课堂上实实在在的汇报交流，可以看出，他们已经成为学习的主人。看似平淡无奇的课堂，学生的思维暗流在涌动。学生的质疑与师生的互动可以说是比较成功的。我对学生的课下指导点到为止，绝不包办代替；在课堂上，我不仅是一位听众，更是一位引导者。对于重点和难点，我结合学生的研究，进行深入浅出的讲解、梳理和点拨，巧妙地一一予以解决。当一个学生回答判断一个数是单数还是双数时，他通过逻辑推理就得出了结论，这种方法十分巧妙，也很简便，如果我继续出一些类似的题目，学生研究的热情会更高，研究的效果会更好。