数学小课题研究教学案例数学延伸性研究课题面积比拼.doc

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1、数学延伸性研究课题数学延伸性研究课题面积比拼面积比拼一、课题的确定一、课题的确定五年级下学期时，学生已学习了长方形、正方形、三角形、平形四边形、梯形的面积计算方法，练习当中有一道题是：在周长一定的情况下，长方形和正方形，谁的面积更大？学生对此有比较浓厚的兴趣，在讨论的过程中，学生又提出新的问题，比如周长一定的情况下，什么三角形的面积最大？周长不变，怎样让平行四边形、梯形的面积最大？把学生提出的问题综合以后，我们确定了“面积比拼”这一研究课题。研究这一课题既能考察学生对已有知识的掌握情况，又是对学生综合应用能力的挑战，难度又不是很大，属于学生跳一跳就能摘到果子的范围，利于学生获得成功的体验。另外

2、，本课题的研究便于学生采用实验、操作、观察、计算、分析比较、讨论等多种活动进行。学生在研究过程中不仅可对长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形这几种平面图形的本质特征有深刻的理解，还能发现它们之间的内在联系，构建起比较完整的知识网络，促进学生空间观念的发展。二、课题的布置与指导二、课题的布置与指导在确立研究任务以后，有兴趣的学生自主选择研究主题，并组建研究小组，每组 4-6 人。每个小组在共同研究“周长一定的情况下，长方形、正方形谁的面积更大”的任务基础上，各有所侧重。一组全是女孩子，主要研究长方形、正方形、平行四边形的面积情况；二组的研究力量相对薄弱，完成基本的研究任务即可；三组全是男孩子

3、，动手能力、思维能力、创造能力强，侧重研究三角形、梯形的面积情况；四组、五组侧重于研究周长一定情况下，谁的面积最大。研究过程中，研究小组成员及时向老师汇报他们的研究方法及研究成果，老师作相应的指导。比如一组采用计算的方法，老师指导他们如何画表格记录数据，并依据数据进行有效的分析；三组研究三角形时，一开始用很多一厘米长的小棒来摆图形，但是摆出的图形很不规则，无法准确测量计算出图形的面积，老师与他们共同想办法，最后确定用不易拉伸的尼龙线做成周长 12 厘米的线圈，然后用它来围成各种三角形，使研究顺利进行。三、课堂教学实录三、课堂教学实录（一）导入师：同学们，截止到现在，你们已经学会计算哪些图形的面

4、积？生：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形。(板书：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形。)师：这些都是平面图形，乍一看，彼此之间好像没有联系。但善于思考的同学提出这样一个问题：假如这几种图形的周长相同，它们的面积会怎样，谁的面积会是最大的呢？前段时间我班的小数学家们对此进行了较深入的研究，还给他们的研究起了一个响亮的名字叫“面积比拼” 。(板书：面积比拼)那他们到底有什么发现呢？今天，就让我们一起来听听他们精彩的汇报吧，有请一组同学。 【评析评析：引导学生回顾所学平面图形，暗示它们之间存在一定的联系，为研究小组的汇报交流做铺垫，同时激发了未参与研究学生的好奇心。 】（二）汇报展示1

5、、一组汇报展示：长方形、正方形、平行四边形的面积关系邵若涵：大家好!我们组研究的是长方形、正方形、平行四边形。我们是采用数据说明来比较面积大小的。在周长相同的情况下，我们把周长设定为 100 厘米，那么长和宽可以是多少呢？生 1：可以是 49 和 1生 2：可以是 30 和 20生 3：可以是 48 和 2邵若涵：你们说得很对，我们把它依次排列起来，请看这张表格。 （出示表格）长 49，宽 1，长 48，宽 2，这样依次排列下去，可以排列到长和宽分别是多少？生：25 和 25。邵若涵：对了，这就是一个正方形。这张表格中，哪个长方形的面积最大？生：24、26，面积是 624。邵若涵：你找得很对，

6、我们把这个面积与正方形的面积比较一下，正方形的面积是 625 平方厘米，625 大于624，所以在周长相同的情况下，围长方形和正方形，围成的正方形面积最大楚梦雪：刚才，我们发现正方形的面积最大，我们继续来看这张表格，看面积这一栏，从下往上看，同学们发现了什么？生：从下往上看，面积越来越小。从上往下看，面积越来越大。楚梦雪：那么，这跟长和宽有什么关系呢？生：长和宽的长度越接近，面积就会越大，长和宽的长度差距越大，面积就会越小。楚梦雪：对，你说的就是我们组的发现，同学们对我们的研究有什么问题吗？生：有没有最小的面积呢？楚梦雪：你提的问题，我们组也想到了，在这张表格上最小的面积是 49 平方厘米，其

7、实还有比它更小的面积，同学们请看这张表格， （出示表格二）大家看，长 49.9，宽0.1，面积是 4.99；长 49.99，宽 0.01，面积是 0.4999。再往下看，它们的面积越来越小，因为再往下还有很多例子，所以我们用省略号表示。通过看表格，我们发现永远找不出最小的面积，但是我们能找出最大的面积，那就是围正方形的时候。孙怡雯：下面由我来汇报平行四边形的研究情况，我做了 2 个平行四边形，周长都是 60 厘米， （拿第一个平行四边形）我拉动它的两个对角，它的面积会有什么变化？生：面积变小了。孙怡雯：为什么？生：高变短了。孙怡雯：你说得很对，那么向里推动两个对角，它的面积又会慢慢变大，请问同

8、学们，它的面积什么时候最大呢？生：成为长方形的时候。孙怡雯：是这样的，大家再看四条边都相等的这个平行四边形。拉动它的两个对角，面积也会慢慢变小，再向里推动两个对角，面积又会慢慢变大，请问同学们；它的面积什么时候最大？生：成为正方形的时候孙怡雯：所以综合前面的研究结果，我们认为，周长一定时，围成的正方形面积最大，我的汇报完毕。李雪：下面由我来说一下平行四边形在生活中的实际应用，平行四边形容易变形的特性在我们的生活中有许多实际的应用，例如我们学校的电动推拉门，就是由一个个平行四边形连接而成的，平行四边形的高变短，面积变小，电动推拉门慢慢合拢到一边，同学们和车辆就可以自由出入了，当平行四边形的高变长

9、，面积变大，电动推拉门就会关紧，我们就不能自由出入了，我的汇报完毕。师：一组同学采用了数据计算、实验演示的方法进行研究，她们的发现还真不少呢，感谢一组同学的精彩汇报，有请二组同学。【评析评析：小课题研究对学生能力的培养是普通课堂无可比拟的，正因为他们深入细致的研究，所以他们才能有理有据的汇报自己的发现，所以才能与台下同学展开互动交流，并在同学的质疑面前处变不惊，有条不紊的回答！】2、二组汇报展示：长方形、正方形的面积关系（发现了一个数列）牟不雨：大家好！我们组研究的方法和 1 组同学一样，也是用数据来研究长方形与正方形，我们也发现了周长相同时，围成的正方形面积最大。有一点不同的是，我们发现了一

10、个数列。大家看这张表，我们把周长定为 24 厘米，用24212，12 就是一个长与宽的和，长和宽可以是11、1，10、2，9、3，8、4，7、5，6、6。面积分别是11，20，27，32，35，36。大家请看，36 和 35 的差是1；35 和 32 的差是 3；32 和 27 的差是 5；27 和 20 的差是7，20 和 11 的差是 9，1、3、5、7、9，这不就是一个奇数列吗？我们又把周长定为 20 厘米，用 20210，10 是一个长与一个宽的和，长和宽可以分别是9、1，8、2，7、3，6、4，5、5。面积分别是9，16，21，24，25。大家请看面积栏，24 与 25 的差是1，2

11、1 与 24 的差是 3，16 与 21 的差是 5，9 与 16 的差是7。1、3、5、7，这也是一个奇数列。我们又把周长定为 26 厘米，这时又有了一个新的发现，同学们想知道吗？用 26213，13 是一个长与宽的和，长和宽分别是 12、1，11、2，10、3，9、4，8、5，7、6，面积分别为 12、22、30、36、40、42，42 和 40 差了 2，40和 36 差了 4，36 和 30 差了 6，30 和 22 差了 8，22 和 12差了 10，2、4、6、8、10，这一次是一个偶数列！为什么前两次是奇数列，这一次是偶数列呢？经过研究，我们觉得问题出现在长与宽上，为什么呢？因为

12、前两次长和宽的和是双数，所以是奇数列，后一次的长与宽的和是单数，所以是偶数列，大家还有什么问题要问我吗？生：如果长和宽是小数，会不会存在这样的数列？牟小雨：我的研究在整数范围内，没有涉及到小数的情况。师：这个同学的问题提得非常好，你们小组课下做一下研究，然后再交流好吗？二组同学也采用数据计算的方法研究了长方形、正方形，发现周长相等时正方形的面积最大，但她们并没有满足于这一发现，而是继续研究数据之间的关系，发现了有趣的数列，她们是不是应该得到表扬呢？（生鼓掌）师：三组同学又会带给我们什么发现呢？有请三组同学汇报。【评析评析：学生的探究总是伴随着意外和惊喜，今天他们能发现一个数列，谁敢说他们明天不

13、会有更伟大的发现呢？】3、三组汇报展示：画方格图的方法研究长方形、摆小棒来研究梯形、计算和数方格来研究三角形郑润东：大家好，我们组采用了画方格图的方法研究长方形，大家看这 4 幅图。 （图略）我们一眼便可以看出图 4 的面积最大，而它也是这些图中长和宽最接近的，由此可以得到一个结论，当周长一定的时候，长方形的长和宽越接近面积越大，如果我们由下往上看，就会发现长和宽的差距越来越大，面积越来越小，由此又可以得到一个结论，当周长一定时，长方形的长和宽差距越大，面积越小。师：老师想问一个问题，你们为什么要采用画方格图的方法，这种方法有什么优势？郑润东：我们觉得这种方法更直观，能看出长和宽的变化，还有面

14、积的变化。师：你说得很好，二组同学不妨也用画方格图的方法来研究一下你们的数列问题，请你们继续汇报。葛昊：我研究的是在周长相同的情况下，什么梯形的面积最大，在我讲之前，先请同学们猜一猜在周长相同的情况下，什么梯形的面积最大？我们组研究的结果是这样的，先确定周长是 13 厘米，然后再用 13 根 1 厘米长的小棒摆出一个梯形，它的上底是4 厘米，下底是 6 厘米，高是 0.9 厘米，两腰分别是 2 厘米和 1 厘米，面积是 4.5 平方厘米。接着我又摆出一个上底 4 厘米，下底 5 厘米，高是 1.9厘米的等腰梯形，面积是 8.55 平方厘米，比上一个梯形的面积大。现在我们把图 1 和图 2 比较

15、，图 1 上下底之和较大，高很短，图 2 与图 1 比较上下底之和变化不大，但高变长了，是 1.9 厘米，面积变成了 8.55 平方厘米，自然变大了，通过这个比较，我们可以发现在周长相同的时候，一个梯形上下底之和大，高越短，面积越小，上下底之和大，高越长，面积越大。怎样才能使梯形面积再大一些呢？下面请金煜坤来汇报。金煜坤：下面由我来汇报，大家看，图 1、图 2 高都在梯形的里面，高不是周长的一部分，要想增大梯形的面积，就要充分利用周长，也就是让高成为梯形的一条边，就是要成为一个直角梯形，刚才葛昊已经说了，只有上底下底之和大，还不行，高也要大，面积才能大，所以我摆了这样一个梯形，上底 3 厘米，

16、下底 3.5 厘米，高是 3 厘米，另一斜边为 3.5 厘米的直角梯形，通过计算得出它的面积是 9.75 平方厘米，这个面积比前两个面积都要大，那 9.75是不是就是最大的面积呢？不是，大家现在都知道周长相同时，围长方形、正方形，围出的正方形面积最大，大家看，图 4 已经接近正方形，如果它继续接近正方形面积就会越来越大，由此可得结论，在周长相等时，一个近似于正方形的直角梯形在梯形中面积最大。我的汇报完毕，请问同学们有什么问题呢？下面请张涛继续汇报。张涛：大家好！我重点研究的是周长相等的时候什么三角形的面积最大，一开始我并没有研究出来，后来请教老师，老师说可能等边三角形的面积最大。于是我们进行验

17、证。确定周长为 12 厘米，先画出一个等边三角形，边长为4 厘米，然后测量出三角形的高是 3.4 厘米多一点，计算出它的面积是 6.8 平方厘米，然后我又想周长 12 厘米还可以围成什么样的三角形呢。然后我剪了一根长度为 12 厘米的线，用它围成了以下几种三角形，通过测量计算出了它们的面积分别是 5.75 平方厘米、5.225 平方厘米、3.135 平方厘米、4.6 平方厘米，它们却都小于等边三角形的面积，所以说，周长相等时等边三角形的面积最大。我的汇报完毕，同学们有什么问题吗？生：有没有比等边三角形再小一点的面积？张涛：我围出来的图形，除了等边三角形，就是直角三角形的面积最大了。师：前面同学

18、提出的问题是不是说，有没有比直角三角形面积大，比等边三角形面积小一点的三角形，是吗？生：是。张涛：那我回去再围一围，看一看吧。师：那好，有结论了，你们再交流，好吗？师：三组同学发现了周长相等的三角形，等边三角形的面积最大，周长相等的梯形中，近似于正方形的直角梯形面积最大，这是多么了不起的发现啊，表扬三组同学。（生鼓掌）师：四组同学又会带给我们什么惊喜呢，有请四组同学继续汇报。【评析评析：师生之间、生生之间互学、互勉。教师富有激励性的评价既促进了师生之间的共同发展，又让学生体验了自主探究解决问题带来的无穷魅力和成功体验】4、四组汇报展示：在周长一定的情况下，什么图形的面积最大。陈晓：大家好！我们

19、组研究的是在周长一定的情况下，什么图形的面积最大，为什么？我们做了广泛的研究，运用了各种工具，比如钉子板就是其中的一种，我们请王宇来给大家作汇报。王宇：以上三组同学们已经做了非常精彩的汇报。我们组的结论与其它组相同，只是采取的方法不同，我们组采用的是取一定的周长 20 厘米，在钉子板上围图形。我在钉子板上围了 1-5 号图形，1-4 号是长方形，5 号是正方形，5 号图形的面积大于 1-4 号的任何一个长方形的面积，所以在周长一定的情况下，正方形的面积比长方形的面积大。陈晓：王宇同学是用钉子板证明在周长一定的情况下，正方形的面积最大，那你们有什么问题要问王宇吗？如果没有的话，请方红宇继续汇报我

20、们的研究。方红宇：上面王宇讲了正方形的面积最大， 我觉得还有比正方形面积更大的图形，那就是圆形。我用相同周长的圆形和正方形作了一个比较。我先画了一个圆形，用绳子围了围，然后又用尺子测了测，它的周长是 54 厘米，我用 54413.5（厘米） ，求出正方形的边长是 13.5 厘米，我把它画在了圆形的正中央。大家可以看到，正方形的四个小角的面积小于阴影部分的面积，所以说圆形的面积最大。师：老师说明一下，因为我们还没有学习圆，所以方红宇同学画的这个圆形是用家里塑料桶的圆盖，比着画的，是不是很有创意呀！看来，生活中随处可见的东西也能为我们的研究提供帮助。苏文轩：我想问个问题，你把正方形画在了圆形的正中

21、央，如果往下画会怎么样。方红宇：如果往下画，正方形露在圆形外面的还有 4个角的和，4 个小角的和小于圆形比正方形多出的部分，还是能看出圆形的面积大陈晓：我们在研究圆形时，还有一些意外的发现，也能说明圆形的面积最大，请韩欣汇报一下。韩欣：我们小组在研究的过程中，还了解了这样一条知识，在日常生活中，用来装液体的东西通常为圆柱形，也就是底面是一个圆形，这是因为在底面积相同的情况下，三角形的周长最长，正方形的周长第二，圆形的周长最短，也就是说做出同样高度的杯子，底面是圆形的最省材料。既然面积相等的情况下，圆形的周长最短，那同学们我们倒过来想，周长相等的情况下，不就是圆形的面积最大吗？【评析评析：正是因

22、为小课题研究不受课堂时间的限制，所以学生才有了充分探究的机会，充分的探究空间。也正因为这样，学生才自主探究出了圆形的面积最大。 】师：同学们听明白了吗？生：没有师：那老师再解释一下，在面积相同的情况下，三角形的周长最长，圆形的周长最短，那反过来想，如果周长相同，不就是生：圆形的面积最大。师：对， “反着想”其实就是反向思维，许多创造发明就是运用反向思维产生的。如果同学们能在生活中主动地运用反向思维思考问题，也许你们会有许多了不起的发现呢。生：我想问个问题，为什么说底面是圆形的杯子最省材料呢？韩欣：刚才我们已经作了初步说明，如果你们还不明白，我们可以回去做底面是三角形、正方形、圆形的杯子来验证一

23、下，欢迎有兴趣的同学加入我们组。师：四组同学的汇报非常精彩，而且还引发了同学们深层次的思考，不简单，表扬她们，有请五组同学继续汇报。【评析评析：展示交流活动是互动的，其他学生也可以参与讨论、质疑，课堂充满了生动活泼、富有挑战的研讨氛围。在这样充满丰富交流的数学课堂中，所有学生都对数学获得了更好的理解，培养了思辩能力，培养了良好数学思维的习惯。 】五组汇报展示：周长一定的情况下，什么图形的面积最大（摆小棒）张志强：大家好，我们小组研究的是周长一定的情况下，什么图形的面积最大，我们也发现了围长方形、正方形时，围成的正方形面积最大，下面请成山泉汇报我们与其它小组研究不一样的地方。成山泉：大家好！下面

24、由我来为大家讲解为什么周长一定的时候圆的面积最大，我们为了方便，使用了小棒来摆图形，确定的周长是 24 厘米，前几组的同学已经采取了各种方法证明了正方形的面积最大，但是正六边形、正八边形，正十二边形的面积更大于正方形，不信咱们来做一个实验，把正六边形，正八边形，正十二边形的周长都确定为 24 厘米，那么正六边形的一条边便是 2464 厘米，正八边形的一条边是 2483 厘米，正十二边形的一条边是 24122 厘米。我们分别用 4 厘米、3 厘米、2 厘米的小棒摆出正六边形、正八边形、正十二边形，它们的面积都大于正方形，而且它们的形状也越来越接近圆形。我们想当正多边形的边数很多很多，每条边的长度

25、变成一个点的时候不就是个圆形了吗？所以说圆形的面积最大。师：边数越多，越接近圆形，最后就发展成了一个圆形，同学们的这个发现真的太好了。师：以上各组同学做了非常精彩的汇报，同学们看黑板上的这几种图形，周长相同时，面积最大的是谁？生：正方形。师：如果再加上圆形呢？生：圆形的面积最大【评析评析：没学过圆，却已研究了圆，不知道极限思想，却在不知不觉中渗透了极限的思想，这就是小课题研究的魅力。 】（三）总结这次的课题研究，同学们表现出来的探究热情让老师惊讶，同学们在探究过程中的投入程度让老师欣喜，同学们在研究中展示出来的聪明才智让老师欣赏，同学们在研究中勇于克服困难的精神让老师感动。让我们为自己热烈地鼓

26、一次掌吧!同学们还想继续这样的探究吗？希望同学们做生活的有心人，数学的有心人，去发现有价值的数学问题，我们再一起探究！四、课后研究及成果展示交流四、课后研究及成果展示交流汇报展示课结束以后，学生的探究热情意犹未尽，纷纷询问什么时候再开展这样的研究，我说“做事情要有始有终，咱们这次的研究很成功，同学们也一定有很多收获，就把我们的收获写一写吧，形式可以是数学小论文或数学报告。 ” 有的学生面有难色，有的学生跃跃欲试，我说：“没写过，不知道怎么写，对吧?怕什么，有老师呢。 ”终于在我的鼓励与辅导下一篇篇数学小论文诞生了。 什么三角形的面积最大 、 面积比拼 、 有趣的数列等等，学生在论文里既叙述了自

27、己的探究过程、研究方法，也谈到了自己的收获和体会。这些论文在市里评选时多数获得一等奖。为了激发大多数同学的探究热情，我们又把研究成果做成手抄报的形式张贴在教室，使越来越多的同学加入到了研究中来五、教学反思五、教学反思反思这次数学小课题研究活动，我也有很多的收获和体会。首先是学生所表现出的才能令我惊叹，尤其是某些平时不起眼的孩子，在探究和展示活动中出色的表现，使我对他们有了重新认识。我相信：孩子在活动中得到的体验将是他们今后人生路上的重要财富。其次，本次研究活动之所以成功，是因为选取的课题有研究的价值和可操作性。 面积比拼以学生掌握的知识为基础，学生可采用计算、画图、测量、比较、摆小棒等多种方法

28、研究，操作性强，避免了抽象、枯燥、学生无从下手的现象。另外，选取的材料学生感兴趣，通过努力可以解决问题。兴趣是最好的老师，学生对课题感兴趣，就会主动运用已有知识、生活经验及周围可以利用的一切资源，探求问题的解决办法。第三个体会是，老师在研究过程中要有针对性地指导，让学生体验探索和发现的基本过程，而不是把答案直接告诉学生。要在问题解决的过程中，特别关注学生被激发起来的求知欲望，充分让他们享受成功的体验，在学生获得了良好情感体验之后，他们会以一种主动的姿态投入到学习中去。【总评总评：面积比拼是以学生已有知识为基础的一次课外研究课，纵观本堂课有以下几个特点：1、以学生已有的知识为基础，选取研究课题。

29、小课题研究能否顺利开展，并取得成功，选题非常重要。许老师以教材为资源开发生成了面积比拼这一研究课题，体现了教师对小课题研究有较准确的理解。课题难度不大，然而有价值、具有可操作性。从课堂展示中我们可以看到，学生的研究方法非常多，有计算、有测量、有画图、有摆小棒这些方法都是学生能想到并已掌握的方法。这些研究方法使学生的研究不是空中楼阁，而是实实在在的。这也正符合了新课程理念：学生学习的内容要有利于学生主动的进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流。2、新课程对教师的角色定位是，学习的组织者、引导者、合作者。这样的角色定位在本次小课题研究中，得到了充分的体现。在研究初期，教师以组织者的身份指导帮助学生

30、认识了解要研究的课题，促使学生形成一种主动探求知识、重视解决问题的积极态度，激发他们的积极参与意识；在研究过程中，以指导者、合作者的身份进行启发、引导，使学生走出误区，明确任务、改进方案，形成研究结论；在课堂展示中我们看到，老师还起着主持人的作用，老师通过灵活的主持，把五个小组的交流与汇报成果进行了有效的提升和有机的串联。3、学生展现出了良好的思辨能力。在课堂教学中，少不了学生的思辨，只有通过思辨，学生的思维才能变得敏锐和缜密，学生的情感才能得到陶冶和升华，学生的心智才能变得扩展和充盈。第三小组得出结论：周长一定，等边三角形的面积最大。学生并没有停留在听的层面上，而是在思考并提出问题：有没有比直角三角形面积大，比等边三角形面积小一点的三角形呢?又如：第四小组在演示时，把等周长的正方形画在了圆的中央，比较出圆的面积大，结果已经很清楚了，但仍有学生提出质疑：你把正方形画在了圆形的正中央，如果往下画还能看出来圆的面积大吗?学生这种严谨的数学精神让我们感到惊喜。 】