《高中数学解题基本方法配方法.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学解题基本方法配方法.doc(4页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、高中数学解题基本方法配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方” )的技巧,通过配方找到已 知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项” 与“添项” 、 “配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法” 。 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者 未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺 xy 项的 二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab) a22abb2,将这个2公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:a2b2(ab)22
2、ab(ab)22ab;a2abb2(ab)2ab(ab)23ab(ab 2)2(3 2b)2;a2b2c2abbcca1 2(ab)2(bc)2(ca)2a2b2c2(abc)22(abbcca)(abc)22(abbcca)结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如:1sin212sincos(sincos)2;x212x(x1 x)22(x1 x)22 ; 等等。、再现性题组:、再现性题组: 1. 在正项等比数列a中,aa+2aa+aa=25,则 aa_。 2. 方程 xy4kx2y5k0 表示圆的充要条件是_。A. 1 41 C. kR D. k1 4或 k13. 已知 sin
3、cos1,则 sincos 的值为_。A. 1 B. 1 C. 1 或1 D. 04. 函数 ylog1 2(2x5x3)的单调递增区间是_。A. (, 5 4 B. 5 4,+) C. (1 2,5 4 D. 5 4,3)5. 已知方程 x+(a-2)x+a-1=0 的两根 x、x2,则点 P(x,x2)在圆 x+y=4 上,则实数a_。【简解】 1 小题:利用等比数列性质 am pam pam2,将已知等式左边后配方(aa)2易求。答案是:5。 2 小题:配方成圆的标准方程形式(xa)2(yb)2r2,解 r20 即可,选 B。 3 小题:已知等式经配方成(sin2cos2)22sin2c
4、os21,求出sincos,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选 C。 4 小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选 D。5 小题:答案 311。、示范性题组、示范性题组:例例 1.1. 已知长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长度之和为 24,则这个长方体的一条对 角线长为_。A. 23 B. 14 C. 5 D. 6 【分析】 先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为 x,y,z,则211 424() ()xyyzxz xyz ,而欲求对角线长xyz222,将其配凑成两已知式的组合形式可得。 【解】设长方体长宽高分别为 x,y,z,由已知“长方体的全面积
5、为 11,其 12 条棱的长度之和为 24”而得:211 424() ()xyyzxz xyz 。长方体所求对角线长为:xyz222()()xyzxyyzxz2261125所以选 B。 【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分 析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而 求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例例 2.2. 设方程 xkx2=0 的两实根为 p、q,若(p q)+(q p)7 成立,求实数 k 的取值范围。 【解】方程 xkx2=0 的两实根为 p、q,由韦达定理得:pqk,pq2 ,(p q)+(q p
6、)pq pq442 ()() ()pqp q pq2222222() ()pqpqp q pq2222222()k2248 47, 解得 k10或 k10 。又 p、q 为方程 xkx2=0 的两实根, k80 即 k22或 k22综合起来,k 的取值范围是:10k2 2 或者 2 2k10。【注】 关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“” ;已知方程有两 根时,可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到 pq、pq 后,观察已知不等式,从其 结构特征联想到先通分后配方,表示成 pq 与 pq 的组合式。假如本题不对“”讨论, 结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“”的讨论,
7、但解答是不严密、不完 整的,这一点我们要尤为注意和重视。例例 3.3. 设非零复数 a、b 满足 a2abb2=0,求(a ab)1998(b ab)1998 。【分析】 对已知式可以联想:变形为(a b)(a b)10,则a b ( 为 1 的立方虚根) ;或配方为(ab)2ab 。则代入所求式即得。【解】由 a2abb2=0 变形得:(a b)(a b)10 ,设 a b,则 210,可知 为 1 的立方虚根,所以:1 b a,331。又由 a2abb2=0 变形得:(ab)2ab ,所以 (a ab)1998(b ab)1998(a ab2 )999(b ab2 )999(a b)999
8、(b a)9999999992 。【注】 本题通过配方,简化了所求的表达式;巧用 1 的立方虚根,活用 的性质, 计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开。【另解】由 a2abb20 变形得:(a b)(a b)10 ,解出b a 13 2i后,化成三角形式,代入所求表达式的变形式(a b)999(b a)999后,完成后面的运算。此方法用于只是未 13 2i联想到 时进行解题。假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由 a2abb20 解出:a 13 2ib,直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的计算。 、巩固
9、性题组:、巩固性题组:1. 函数 y(xa)2(xb)2 (a、b 为常数)的最小值为_。A. 8 B. ()ab22C. ab222D.最小值不存在2. 、 是方程 x22axa60 的两实根,则(-1)2 +(-1)2的最小值是_。A. 49 4B. 8 C. 18 D.不存在3. 已知 x、yR,且满足 x3y10,则函数 t2x8y有_。A.最大值 22 B.最大值2 2C.最小值 22 B.最小值2 24. 椭圆 x22ax3y2a260 的一个焦点在直线 xy40 上,则 a_。A. 2 B. 6 C. 2 或6 D. 2 或 65. 化简:218sin228cos的结果是_。 A. 2sin4 B. 2sin44cos4 C. 2sin4 D. 4cos42sin4 6. 设 F1和 F2为双曲线x2 4y21 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足F1PF290,则F1PF2的面积是_。7. 若 x1,则 f(x)x22x1 1x 的最小值为_。8. 已知 20; 是否存在一个实数 t,使当 t(m+t,n-t)时,f(x)1,t1,mR,xlogstlogts,ylogs4tlog t4sm(log s2tlog t2s), 将 y 表示为 x 的函数 yf(x),并求出 f(x)的定义域; 若关于 x 的方程 f(x)0 有且仅有一个实根,求 m 的取值范围。
限制150内