正弦定理教学案例设计3.doc

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1、正弦定理正弦定理教学案例设计教学案例设计 3一、教学内容分析一、教学内容分析“正弦定理”是普通高中课程标准数学教科书数学（必修 5） （人教版）第一章第一节的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。为什么要研究正弦定理？正弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课” 。因此

2、，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。二、学生学习情况分析二、学生学习情况分析学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修 4 中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一， 课程标准强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，

3、可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。三、设计思想三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。 ”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的

4、教学，将遵循这个原则而进行设计。四、教学目标四、教学目标1、知识与技能：通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。2、过程与方法：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发三 1CBA现和创造的历程。3、情感态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。五、教学重点与难点五、教学重点与难点重点：正弦定理的发现和推导难点：正弦定理的推导六、教学过程设计六、教学过程设计（一）设置情境（一）设置情境利用投

5、影展示：如图 1，一条河的两岸平行，河宽。因上游暴发特大洪水，1dkm在洪峰到来之前，急需将码头 A 处囤积的重要物资及留守人员用船尽快转运到正对岸的码头 B 处或其下游的码头 C 处，请你确定转运方案。已知1km船在静水中的速度，水流速度。15/vkm h13/vkm h【设计意图设计意图】培养学生的“数学起源于生活，运用于生活”的思想意识，同时情境问题的图形及解题思路均为研究正弦定理做铺垫。（二）提出问题（二）提出问题师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑有关的问题，将各自的问题经小组（前后 4 人为一小组）汇总整理后交给我。FEDv v2v1三 2CBA待各小组将问题交给老师后，老

6、师筛选了几个问题通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的五个问题：1、船应开往 B 处还是 C 处？2、船从 A 开到 B、C 分别需要多少时间？3、船从 A 到 B、C 的距离分别是多少？4、船从 A 到 B、C 时的速度大小分别是多少？5、船应向什么方向开，才能保证沿直线到达 B、C？【设计意图设计意图】通过小组交流，提供一定的研究学习与情感交流的时空，培养学生合作学习的能力；问题源于学生，突出学生学习的主体性，能激发学生学习的兴趣；问题通过老师的筛选，确定研究的方向，体现教师的主导作用。师：谁能帮大家讲解，应该怎样解决上述问题？大家经过讨论达成如下共识：要回答问题 1，需要解决问题

7、 2，要解决问题 2，需要先解决问题 3 和 4，问题 3 用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题 4，问题 4 与问题 5 是两个相关问题。因此，解决上述问题的关键是解决问题 4 和 5。师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。生 1：船从 A 开往 B 的情况如图2，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小及 与的夹角 ：|v1v2v，2222 12|534vvv用计算器可求得12|3sin,|5v v37船从 A 开往 C 的情况如图 3，易求得1| | 5ADv2| | | 3DEAFv，还需求

8、及 ，我还45AEDEAF DAEv不知道怎样解这两个问题。师：请大家思考，这两个问题的数学实质是什么？部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。【设计意图设计意图】将问题数学化，有助于加深学生对问题的理解，有助于培养学生的数学意识。师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？生 3：不知道。师：图 2 的情形大家都会解，但图 3 的情形却有困难，那么图 2 与图 3 有何异同点？生 4：图 2 和图 3 的情形都是已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。但图 2 中是直角三ADE角形，而图 3 中不是直角三角形，不能象在直角三角形中ADE可直接利用

9、边角的关系求解。师：图 3 的情形能否转化成直角三角形来解呢？【设计意图设计意图】通过教师的问题引导，启发学生将问题进行转化，培养学生的化FEDvv2v1三 3CBAGFEDvv2v1三 4CBA归思想，同时为下一步用特例作为突破口来研究正弦定理以及用作高的方法来证明正弦定理做好铺垫。生 5：能，过点 D 作于点 G（如图 4） ， DGAE1| |sin|sinDGvDAGDEAED，1| |cosAGvDAG| |cosEGDEAED1|sin3sin453 2sin|510DEAEDDAGv| | |vAGGE师：很好！采取分割的方法，将一般三角形化为两个直角三角形求解。但在生活中有许多

10、三角形不是直角三角形，如果每个三角形都划分为直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一样直接利用边角关系求解呢？三角形中，任意两边与其对角之间有怎样的数量关系？【设计意图设计意图】通过教师对学生的肯定评价，创造一个教与学的和谐环境，既激发学生的学习兴趣，使紧接着的问题能更好地得到学生的认同，又有利于学生和教师的共同成长。（三）解决问题（三）解决问题1、正弦定理的引入师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。可以以直角三角形为特例，先在直角三角形中试探一下。师：如果一般三角形具有某种边角关系，对于特殊的三角形直角三角形也是成立的

11、，因此我们先研究特例，请同学们对直角三角形进行研究，寻找一般三角形的各边及其对角之间有何关系？同学们可以参与小组共同研究。（1）学生以小组为单位进行研究；教师观察学生的研究进展情况或参与学生的研究。（2）展示学生研究的结果。【设计意图设计意图】教师参与学生之间的研究，增进师生之间的思维与情感的交流，并通过教师的指导与观察，及时掌握学生研究的情况，为展示学生的研究结论做准备；同时通过展示研究结论，强化学生学习的动机，增进学生的成功感及学习的信心。师：请说出你研究的结论？生 7：sinsinsinabc ABC师：你是怎样想出来的？生 7：因为在直角三角形中，它们的比值都等于斜边 。c师：有没有其

12、它的研究结论？（根据实际情况，引导学生进行分析判断结论正确与否，或留课后进一步深入研究。 ）师：对一般三角形是否成立呢？sinsinsinabc ABC众学生：不一定，可以先用具体例子检验，若有一个不成立，则否定结论：若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。师：这是个好主意。那么对等边三角形是sinsinsinabc ABC否成立呢？生 9：成立。师：对任意三角形是否成立，现在让我们sinsinsinabc ABC借助于几何画板做一个数学实验，【设计意图设计意图】引导学生的思维逐步形成“情境思考”“提出问题”“研究特例”“归纳猜想”“实验探究”“理论探究”“解决问题”的思维

13、方式，进而形成解决问题的能力。2、正弦定理的探究（1）实验探究正弦定理师：借助于电脑与多媒体，利用几何画板软件，演示正弦定理教学课件。边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。结论：对于任意三角形都成立。sinsinsinabc ABC【设计意图设计意图】通过几何画板软件的演示，使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。师：利用上述结论解决情境问题中图 3 的情形，并检验与生 5 的计算结果是否一致。生 10：（通过计算）与生 5 的结果相同。师：如果上述结论成立，则在三角形中利用该结论解决“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。 ”的问题就简单多了。【设计意图设计意

14、图】与情境设置中的问题相呼应，间接给出了正弦定理的简单应用，并强化学生学习探究、应用正弦定理的心理需求。（2）点明课题：正弦定理（3）正弦定理的理论探究师：既然是定理，则需要证明，请同学们与小组共同探究正弦定理的证明。探究方案：直角三角形已验证；锐角三角形课堂探究；钝角三角形课后证明。【设计意图设计意图】通过分析，确定探究方案。课堂只让学生探究锐角三角形的情形，有助于在不影响探究进程的同时，为探究锐角三角形的情形腾出更多的时间。钝角三角形的情形以课后证明的形式，可使学生巩固课堂的成果。师：请你（生 11）到讲台上，讲讲你的证明思路？生 11：（走上讲台） ，设法将问题转化成直角三角形中的问题进

15、行解决。通过作三角形的高，与生 5 的办法一样，如图 5 作 BC 边上的高 AD，则，所以sinsinADcBbC，同理可得sinsinbc BCsinsinab ABabc三 5 三 三 三 三 三DCBA师：因为要证明的是一个等式，所以应从锐角三角形的条件出发，构造等量关系从而达到证明的目的。注意： 表示的几何意义是三角形同一边上的高不变。这是sinsincBbC一个简捷的证明方法！【设计意图设计意图】点明此证法的实质是找到一个可以作为证明基础的等量关系，为后续两种方法的提出做铺垫，同时适时对学生作出合情的评价。师：在三角形中还有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？学生七嘴八舌地说出一些等

16、量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：三角形的面积不变；三角形外接圆直径不变。在教师的建议下，学生分别利用这两种关系作为基础又得出了如下两种证法：证法二：如图 6，设 AD、BE、CF 分别是的三条高。ABC则有，sinADbACB，sinBEcBAC 。sinCFaABC1sin2ABCSa bACB 1sin2b cBAC 1sin2c aABC F Eabc三 6 DCBA三 7 三 三 三 三 三 三cbaDCBAsinsinsinabc BACABCACB证法三：如图 7，设是外接圆的直径，则2BDrABC，90BADACBADB 2sinsinccB

17、DrACBADB 同理可证：2sinsinabrBACABCsinsinsinabc BACABCACB【设计意图设计意图】在证明正弦定理的同时，将两边及其夹角的三角形面积公式及一并牵出，使知识的产生自然合理。2sinsinsinabcrABC师：前面我们学习了平面向量，能否运用向量的方法证明呢？师：任意中，三个向量、间有什么关系？ABCAB BC CA 生 12：0ABBCCA 师：正弦定理体现的是三角形中边角间的数量关系，由转化成数量关系？0ABBCCA 生 13：利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。师：在两边同乘以向量 ,有,ABBCCA j()0ABBCCAj 这里的向量

18、可否任意？又如何选择向量 ?jj生 14：因为两个垂直向量的数量积为 0，可考虑让向量 与j三个向量中的一个向量（如向量）垂直，而且使三个项的关BC 系式转化成两个项的关系式。师：还是先研究锐角三角形的情形，按以上思路，请大家具体试一下，看还有什么问题？教师参与学生的小组研究，同时引导学生注意两个向量的夹角，最后让学生通过小组代表作完成了如下证明。证法四：如图 8，设非零向量 与向量jBC 垂直。因为，0ABBCCA 所以()0ABBCCAj 即0AB jCA j | | cos,| | cos,0ABjAB jCAjCA j | cos(90)| cos(90)0cjBbjC | ( sin

19、)| sin0cjBbjC 所以，同理可得sinsinbc BCsinsinab AB师：能否简化证法四的过程？（留有一定的时间给学生思考）师：有什么几何意义？0AB jCA j 生 15：把移项可得，由向量数量积0AB jCA j CA jBA j 的几何意义可知与在 方向上的投影相等。CA BA j生 16：我还有一种证法师：请你到讲台来给大家讲一讲。 （学生 16 上台板书自己的证明方法。 ）证法五：如图 9，作，则ADBCj三 8 三 三CBAabcabcD三 9 三 三CBA与在方向上的投影相等,即AB ACADAB ADAC AD | | cos(90) | | cos(90)AB

20、ADBACADC sinsincBbC 故，同理可得 sinsinbc BCsinsinab AB师：利用向量在边上的高上的射影相等，证明了正弦定理，方法非常简捷明了！【设计意图设计意图】利用向量法来证明几何问题，学生相对比较生疏，不容易马上想出来，教师通过设计一些递进式的问题给予适当的启发引导，将很难想到的方法合理分解，有利于学生理解接受。（四）小结（四）小结师：本节课我们是从实际问题出发，通过猜想、实验，归纳等思维方法，最后发现了正弦定理，并从不同的角度证明了它。本节课，我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，利用了几何画板进行数学实验。我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问

21、题的一般方法。（五）作业（五）作业1、回顾本节课的整个研究过程，体会知识的发生过程；2、思考：证法五与证法一有何联系？3、思考：能否借助向量的坐标的方法证明正弦定理？4、当三角形为钝角三角形时，证明正弦定理。【设计意图设计意图】为保证学生有充足的时间来完成观察、归纳、猜想、探究和证明，小结的时间花得少且比较简单，这将在下一节课进行完善，因此作业的布置也为下节课做一些必要的准备。七、教学反思七、教学反思为了使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者” ，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。我想到了“情境问题”教学模式，即构建一个以情境为基础，提出

22、问题与解决问题相互引发携手并进的“情境问题”学习链，并根据上述精神，结合教学内容，具体做出了如下设计：创设一个现实问题情境作为提出问题的背景（注：该情境源于普通高中课程标准数学教科书数学（必修 4） （人教版）第二章习题 B 组第2.5二题，我将其加工成一个具有实际意义的决策型问题） ；启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性问题 4 与 5 时需要使用正弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和一边的对角，

23、求另一边的对角及第三边。解决这两个问题需要先回答目标问题：在三角形中，两边与它们的对角之间有怎样的关系？为了解决提出的目标问题，引导学生回到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的解，从而形成猜想，然后使用几何画板对猜想进行验证，进而引导学生对猜想进行严格的逻辑证明。总之，整个过程让学生通过自主探索、合作交流，亲身经历了“情境思考”“提出问题”“研究特例”“归纳猜想”“实验探究”“理论探究”“解决问题”“反思总结”的历程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者” ，切身感受了创造的苦和乐，从而使三维教学目标得以实现。点评点评：本节课是典型合作探究课，教师先设计一个实际问题引导学

24、生讨论问题解决方案，将方案数学化，归纳出一类数学问题“在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边” ，顺利地引入新课，实现了从“现象”到“本质”的飞跃，培养了学生提出问题、分析问题、数学建模的能力。为寻求解决问题的普遍方法，对三角形的边角关系进行探索，在特殊情况（直角三角形）下得到正弦定理，又在等边sinsinsinabc ABC三角形和一般三角形中验证，坚定了结论成立的猜想，最后通过严格证明，得到了正弦定理，再返回到前面的引例中，利用正弦定理问题迎仞而解。从而使学生亲身经历了“情境思考”“提出问题”“研究特例”“归纳猜想”“实验探究”“理论探究”“解决问题”“反思总结”的历程，学会研究数学问题的方法，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者” ，切身感受了创造的苦和乐。在对具体的一般三角形验证成立的过程中，利用几何画板软件，不断sinsinsinabc ABC变换三角形，观察上式成立，提高了效率，现代教育技术的运用恰到好处。