无理函数值域的常见求法.doc

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1、 http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网无理函数值域的常见求法无理函数值域的常见求法牛广义在解题过程中，同学们遇到无理函数的值域问题时，普遍采用的是“判别式法” ，但由 于无理函数的定义域一般不为 R，所以在解题过程中容易扩大自变量的取值范围，使用“判 别式法”失效。本文将对常见的无理函数类型及解法作一归纳，使得在求无理函数的值域时 避开“判别式法” ，尽快求出正确答案。一、形如一、形如“”的函数的函数ymxnaxb例例 1. 求函数的值域。yxx23134解：解：令，则且，则tx134t 0xt1 4132()ytt 1 27 22 1 212()t。当，即时，当时，。故函数值域为4t 1

2、x 3ymax 4t y 。(，4说明：说明：此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令，将原taxb函数转化为 t 的二次函数，当然也适用于“”的函数。ymxnaxb22二、形如二、形如“”的函数的函数ymxnaxbxc abac，22040()例例 2. 求函数的值域。yxxx210232解：解：由。令且xxx2102305252，得x 25sin，则。 22，y 272247sincossin()由，得。 443 42 241sin()http:/ 快乐学习，尽在中小学教育网当时，；sin()41ymax 9当时，。sin() 42 2ymin72故函数值域为。729，说明：说

3、明：这类函数根号内外自变量的次数不同，不适合第一类型的解法。又且a 0的函数定义域一定为闭区间，如，则可作三角代换为 0xx12，xxx21 2sin且，即可化为k 型函数。至于且xx21 2 22，yAsin()a 0及其他类型，同学们可自己分析一下。 0三、形如三、形如“”的函数的函数ym axbn cxd ac()0例例 3. 求函数的值域。yxx836解：解：由，得。36080xx 28x令且，x 1022sin ,02则。y 10302 106cossinsin()由，得， 662 31 261sin()则，故函数的值域为。102 10y102 10，说明：说明：此法适用于两根号内自变量都是一次，且，此时函数的定义域为闭区间，ac 0如，则可作代换，且，即可化为xx12，xxxx()sin212 102，型的函数，无理函数类型有多种，这里不再赘述，有兴趣的同学不妨探讨yAsin()一下。