平面向量数量积的物理背景及其含义教学案例设计1.doc

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1、平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义教学案例设计教学案例设计 1 1一、教学内容分析一、教学内容分析以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修 4 （A 版）第二章、第 4 节第 1 课时。它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。本节的知识结构：二、学生学习情

2、况分析二、学生学习情况分析本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆。利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任

3、务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。三、设计思想三、设计思想高中数学课程标准指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式” ，转变学生的学习方式，激发学生的学习积极性，让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来，这是新课程数学教学的基本要求。 高中数学课程标准还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标。为此，结合本节课的教学内容，教学中注重过程、方法，注重引导学生自觉去看书，不断提出问题，研究问题，并解决问题。重视在师生，生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观。四、教学目标四、

4、教学目标通过师生互动、学生的自主探究， （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）掌握向量数量积的性质和运算律，会进行平面向量数量积的运算；（3）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系；（4）通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想；通过数量积的性质、运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。五、教材重点和难点五、教材重点和难点重点是平面向量的数量积的概念和性质；用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角；平面向量数量积的运算律的探究及应用。难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面

5、向量数量积的灵活应用。六、教学过程设计六、教学过程设计情景情景 1问题问题 回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？ 结合向量的学习你有什么想法？若一个物体在力的作用F下产生的位移为 ，那么力所做的功等于多少？ SFW设计意图设计意图以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念做铺垫。师生互动师生互动 生： （其中 是和 的夹角） 。cosWF sFS师：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量来确定？显然功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。从中我们得到一个启发：能否将功看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果呢？从而得出平面向量的“数量积”的概念。情景情景 21、

6、定义向量数量积。弄清定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果是向量还是数量？2、如何确定两个非零向量的数量积的符号，什么情况下值为零？ 设计意图设计意图使学生从感性到理性去认知数量积的定义。通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，并掌握相关的性质及几何意义。同时加深对投影的认识。师生互动师生互动1、仿照物理问题建构“数学模型” 。引入“向量数量积”的概念：已知两个非零向量 与 ，把数量ab叫做 与 的数量积（或内积） ，记作：cosa b ab，即（其中 是 与 的夹角） 。a ba bcosa b ab叫做向量 在 方向上（ 在 方向cos(cos )ababba上）的投影。2、规

7、定：零向量与任何向量的数量积为 。03、 （1）数量积运算结果的符号取决于 与 的夹角 （ab）的大小；（2）两个向量的数量积是一个数量，它0,与两个向量的长度及其夹角有关；（3）符号不能写成a b或的形式；（4）找向量的夹角时，应将两向量的起a b ab点平移到同一个点上。4、探究其性质：（1）（ 与 都是非零向量） ；0aba bab设置情景：若，则向量 与 至少有一个是零向量？0a bab类比时，若或。而且此性质在解决有,a bR0ab 0a0b 关线段垂直问题时具有很好的作用。（2）当向量 与 共线同向时，；当向量 与aba ba b a共线反向时，。特别地或ba ba b 22a a

8、aa（与二次根式性质：进行类比） 。这是2aa aa2aa求向量长度的又一重要方法。情景情景 3由学生自主学习来完成书本例题 1。设计意图设计意图通过计算巩固对数量积定义的理解。进一步引导学生对和的大小关系进行一般的研究比较。a ba b 师生互动师生互动从例 1 容易得出性质和数量积的几何意义。a ba b 情景情景 4给学生分钟时间，阅读教材，并对前面所学的内2 3容及研究方法作一个归纳小结。设计意图设计意图培养学生的阅读能力和及时进行归纳小结的学习习惯。把课堂还给学生，体现师生间的合作探究，不管是老师还是课件，都是为学生服务的，都在同步配合学生的学习和探索。师生互动师生互动学生通过自主阅

9、读、总结并发表自己的看法，老师可以有针对性进行学习方法点拨并指出对学习过程进行及时反思的重要性。情景情景 5运算律和运算是紧密相联的，类比实数运算中的运算律，探究平面向量数量积的运算律。设计意图设计意图通过类比、探究使学生得出数量积的运算律，进一步培养学生的逻辑思维和研究问题的能力。师生互动师生互动1、回顾实数运算中有关乘法的运算律。类比数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，需要研究。已知向量 、 、 和实数 ，则abc(1)(2) ()()()(3) ()a bb aaba bababca cb c 2、对向量数量积的运算律进一步研究， （1）成立吗？显然，等式左边与向量 共线，右边

10、()()a b ca b c a与向量 共线，而向量 与 不一定共线，因此结论不一定成cac立；（2）由能否推出？（反例：当a bb c ac时，有。但不能得到） 。结合实数0,abc 0a bb c 0c ，有进行类比，辩析。,(0)a b cb abbcac3、老师可以通过学生的讨论进行纠错，理解不同的运算具有不同的运算律，体会到数学的法则与法则之间的区别与联系。同时注意利用学生错误这一重要的资源，让学生更容易找到易错点和易混点，从而更清晰、准确地掌握知识。情景情景 6例 2、例 3、例 4 的教学。设计意图设计意图1、要求学生体会实际解题中运算律的作用，比较向量运算与多项式乘法运算的异曲

11、同工；2、学会利用数量积来解决有关垂直问题，体会运算律带来的优越性。3、上面几个例题，层层递进，都是把较难的问题转化为已经解决的较易的标准问题，体现了知识和方法上的转化。师生互动师生互动1、老师可以将例题内容与多项式乘法运算进行类比；2、让学生自己体会用数量积将“几何问题”化归为方程问题来求解的简练，进一步体现向量的工具作用。情景情景 7课后反思：让学生回顾总结本节课的学习内容及探究、解决问题的方法。设计意图设计意图让学生整理相关的学习内容，使得“知识系统性、技能熟练性”得到更加充分体现，体会所学知识的引入基础及探究、解决问题时用到的数学思想和数学方法，培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能

12、力。七、教学反思七、教学反思本节课教学效果不错，主要是把学习的主动权交还给学生，注意学生的主动探索、思考及师生互动，还以物理知识为背景，建立了数学的平面向量数量积的概念和运算。使得学习内容直观、生动，抓住重点。使学生懂得对已有的知识进行迁移、采用类比的方法让学生主动学习合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力。在课堂中会体现自我，学会自己寻找解题的突破口，在探究中学会思考，在合作中学会推进，在观察中学会比较，进而推进整个教学程序的展开。但自我感觉 “讲”的还是偏多了一点，对于学生解题中出现的错误这一资源展开、分析得不够，以后应该更加注意引导。点评：点评：平面向量的数量积

13、与数的乘法既有区别又有联系。教材中以物体受力做功为背景，引出向量数量积的概念。功是一个标量，它用力和位移两个向量来定义，反映在数学上就是向量的数量积。苏老师在教学设计中，注重知识的发生和发展过程的展现，从数学和物理两个角度创设问题情景，通过数量积的几何意义使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更充分的认识。以问题设计为导向，以知识为载体，引导学生积极思维，循循善诱，发展学生的思维能力。以探究的方式概括出平面向量数量积的性质和运算律，体会其是实数乘积概念的延伸，培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。平面向量数量积概念的引入和运用是本节的两个知识点，苏老师在设计中对前半部分的设计具体到位，但在获得“数量积”的概念后，如何探究数量积的运算率，例题与习题如何进行教学，在设计中显得粗糙了点。