圆锥曲线定义的运用教学案例设计.doc

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1、圆锥曲线定义的运用圆锥曲线定义的运用教学案例设计教学案例设计一、教学内容分析一、教学内容分析本课选自全日制普通高级中学教科书（必修） 数学 (人教版)高二 (上)，第八章（圆锥曲线方程复习课）圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,我认为有必要再一次回到定义,熟悉“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略.二、学生学习情况分析二、学生学习情况分析我所任教班级的学生是初中开始“课程改革”后的第一届毕业生，他们在初中三年的学习中，接受的是“新课改”的理念，学习的是“新

2、课标”下的课程、教材，由于 05 年高中“课改”还未全面推行，因此如今他们面对的高中教材还是旧教材。与以往的学生比较，这届学生的特点是：参与课堂教学活动的积极性更强，思维敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解，但计算能力较差，字母推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。三、设计思想三、设计思想由于这部分知识较为抽象,难以理解.如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,我有意识地引导学生利用波利亚的一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题,进行点评,强调“双主作用”的发挥.借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取

3、新知,提高教学效率.四、教学目标四、教学目标1.1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。2.2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解， 培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高空间想象力及分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法.3 3借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.在民主、开放的课堂氛围中,培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神.五、教学重点与难点五

4、、教学重点与难点: :教学重点教学重点1.对圆锥曲线定义的理解2.利用圆锥曲线的定义求“最值”3.“定义法”求轨迹方程教学难点教学难点: :巧用圆锥曲线定义解题六、教学过程设计六、教学过程设计【设计思路设计思路】由于这是一堂习题课, 加上我所任教的班级是重点中学的理科班，学生有较好的数学基础，学习积极性较高，领悟能力较好，所以在教学中,我拟采用师生共同参与的谈话法：由教师提出问题，激发学生积极思考，引导他们运用已有的知识经验，利用合情推理来自行获取新知识。通过个别回答，集体修正的方法让我及时得到反馈信息。最后，我将根据学生回答问题的情况进行小结，概括出问题的正确答案，并指出学生解题方法的优缺点

5、。（一）开门见山，提出问题（一）开门见山，提出问题一上课，我就直截了当地给出例题 1：(1) 已知 A（2，0） ， B（2，0）动点 M 满足|MA|+|MB|=2，则点 M 的轨迹是（ ） 。（A）椭圆 （B）双曲线 （C）线段 （D）不存在（2）已知动点 M（x，y）满足，则|43|)2() 1(22yxyx点 M 的轨迹是（ ） 。（A）椭圆 （B）双曲线 （C）抛物线 （D）两条相交直线【设计意图设计意图】定义是揭示概念内涵的逻辑方法，熟悉不同概念的不同定义方式，是学习和研究数学的一个必备条件，而通过一个阶段的学习之后，学生们对圆锥曲线的定义已有了一定的认识，他们是否能真正掌握它们的

6、本质，是我本节课首先要弄清楚的问题。为了加深学生对圆锥曲线定义理解，我以圆锥曲线的定义的运用为主线,精心准备了两道练习题。为杜绝一些错误认识在学生大脑中滋生、萌芽，我准备采用电脑多媒体辅助教学先制作好若干“电脑小课件”，一旦有学生提出错误的解法,就向学生们展示。希望用形象生动的“电脑课件”使学生对问题有正确的认识。此外，因为涉及的内容较多，学生的训练量也较大，所以考虑利用实物投影器等媒体来辅助教学，一方面能弥补在黑板上板演耗时多的不足，另一方面则可以让学生一边演示自己的“成果”，一边进行介绍说明，有利于激发更多的学生主动参与，真正成为学习的主体。【学情预设学情预设】估计多数学生能够很快回答出正

7、确答案，但是部分学生对于圆锥曲线的定义可能并未真正理解，因此，在学生们回答后，我将要求学生接着说出：若想答案是其他选项的话，条件要怎么改？这对于已学完圆锥曲线这部分知识的学生来说，并不是什么难事。但问题（2）就可能让学生们费一番周折如果有学生提出：可以利用变形来解决问题，那么我就可以循着他的思路，先对原等式做变形：这样，55|43|)2()1(22 yxyx很快就能得出正确结果。如若不然，我将启发他们从等式两端的式子入手，考虑通过适当的变形，转化为学生们熟知的两个距离公式。在对学生们的解答做出判断后，我将把问题引申为：该双曲线的中心坐标是 ，实轴长为 ，焦距为 。以深化对概念的理解。（二）理解

8、定义、解决问题（二）理解定义、解决问题例 2 (1)已知动圆 A 过定圆 B：的圆心，且与07622xyx定圆 C： 相内切，求ABC 面积的最大值。 091622xyx（2）在（1）的条件下，给定点 P(-2,2), 求的|35|ABPA 最小值。（3）在（2）的条件下求|PA|+|AB| 的最小值。【设计意图设计意图】运用圆锥曲线定义中的数量关系进行转化，使问题化归为几何中求最大（小）值的模式，是解析几何问题中的一种常见题型，也是学生们比较容易混淆的一类问题。例 2 的设置就是为了方便学生的辨析。【学情预设学情预设】根据以往的经验，多数学生看上去都能顺利解答本题,但真正能完整解答的可能并不

9、多。事实上，解决本题的关键在于能准确写出点 A 的轨迹，有了练习题 1 的铺垫，这个问题对学生们来讲就显得颇为简单，因此面对例 2（1） 、 （2） ，多数学生应该能准确给出解答，但是对于例 2（3）这样相对比较陌生的问题，学生要么就卡壳了，要么可能得出错误的解答。我准备在学生们都解答完后,选择几份有“共性”错误的练习，借助于实物投影仪与电脑，加以点评。这时，也许会有学生说应当是P、A、B 三点共线时，取最小值。那么，我应该鼓励学生进行的大胆构想，同时不急于给出标准答案，而是打开“几何画板” ，利用其能够准确测量线段的特点，让学生们自己发现错误，在电脑动画的帮助下,让学生们寻找到点 B 所在的

10、正确位置后，叫学生演练出正确的解题过程，并借助实物投影加以演示。在学生们得出正确解答后，由一位学生进行归纳小结：在椭圆中，当定点 A 不在椭圆内部时，则 A，F 的连线与椭圆的交点 M 就是使|BA|+|BF|最小的点；当定点 A 在椭圆内部时，则 A 与另一焦点的连线的延长线与椭圆的交点 B 即为所求。F（三）自主探究、深化认识（三）自主探究、深化认识如果时间允许，练习题将为学生们提供一次数学猜想、试验的机会练习：设点 Q 是圆 C：上动点,点25) 1(22yxA（1，0）是圆内一点,AQ 的垂直平分线与 CQ 交于点 M,求点M 的轨迹方程。 654321-1-2-3-4-8-6-4-2

11、2468xyMA CQ引申:若将点 A 移到圆 C 外,点 M 的轨迹会是什么?【设计意图设计意图】练习题设置的目的是为学生课外自主探究学习提供平台，当然，如果课堂上时间允许的话，可借助“多媒体课件” ，引导学生对自己的结论进行验证。【知识链接知识链接】（一）圆锥曲线的定义（一）圆锥曲线的定义1圆锥曲线的第一定义2圆锥曲线的统一定义（二）圆锥曲线定义的应用举例（二）圆锥曲线定义的应用举例1双曲线的两焦点为 F1、F2，P 为曲线上一点，若191622 yxP 到左焦点 F1的距离为 12，求 P 到右准线的距离。2P 为等轴双曲线上一点， F1、F2为两焦点，O222ayx 为双曲线的中心，求

12、的取值范围。|21 POPFPF 3在抛物线上有一点 A（4，m） ，A 点到抛物线的焦pxy22 点 F 的距离为 5，求抛物线的方程和点 A 的坐标。4 （1）已知点 F 是椭圆的右焦点，M 是这椭圆上192522 yx的动点，A（2，2）是一个定点，求|MA|+|MF|的最小值。（2）已知 A（）为一定点，F 为双曲线的右焦3 ,211127922 yx点，M 在双曲线右支上移动，当最小时，求 M 点|21|MFAM 的坐标。（3）已知点 P（2，3）及焦点为 F 的抛物线，在抛82xy 物线上求一点 M，使|PM|+|FM|最小。5已知 A（4，0） ，B（2，2）是椭圆内的点，M19

13、2522 yx是椭圆上的动点，求|MA|+|MB|的最小值与最大值。七、教学反思七、教学反思本课将借助于“POWERPOINT 课件” ，利用两个例题及其引申,通过一题多变,层层深入的探索,以及对猜测结果的检测研究,培养学生思维的深刻性、创造性、科学性、批判性,使学生从学会一个问题的求解到掌握一类问题的解决方法,领略数学的统一美.“电脑多媒体课件”的介入，将使全体学生参与活动成为可能，使原来令人难以理解的抽象的数学理论变得形象，生动且通俗易懂，同时，运用“多媒体课件”辅助教学，节省了板演的时间，从而给学生留出更多的时间自悟、自练、自查，充分发挥学生的主体作用，这充分显示出“多媒体课件”与探究合

14、作式教学理念的有机结合的教学优势。1.“满堂灌”的教学方式已被越来越多的教师所摒弃,“满堂问”的教学方式形似启发式教学,实则为“教师牵着学生,按教师事先设计的讲授程序”所进行的接受性学习.基于以上考虑,本人期望在教学中能尝试使用“探究合作”式教学模式进行教学.使学生们的“知识的获得过程”不再是简单的“师传生受”,而是让学生依据自己已有的知识和经验主动的加以建构.在这个建构过程中,学生应是教师主导下的主体,是知识的主动建构者.所设计的问题以及引导学生进行探究过程的发问,都力求做到“把问题定位在学生认知的最近发展区” 2.在有限的时间内应突出重点,突破难点,给学生留有自主学习的空间和时间.为了在课

15、堂上留给学生足够的空间.我将几类题型作了处理将“定义法求轨迹问题”分置于例 2（1）与练习中，循序渐进的让学生把握这类问题的解法；将学生容易混淆的两类求“最值问题”并为一道题，方便学生进行比较、分析。虽然从表面上看，我这一堂课的教学容量不大，但事实上，学生们的思维运动量并不会小。3.现代教育技术的发展为我们提供了丰富的媒体条件，然而，教师所编导的教学活动应该随着整体环境的变化、学生群体的变更而变化。在本节课，我只是根据需要制作了一个较为简单的“小课件” ，并在其中作了多个按钮，以便根据学生的上课情况及时对教程进行调整。总之,如何更好地选择符合学生具体情况,满足教学目标的例题与练习、灵活把握课堂

16、教学节奏仍是我今后工作中的一个重要研究课题.而要能真正进行素质教育，培养学生的创新意识，自己首先必须更新观念在教学中适度使用多媒体技术，让学生有参与教学实践的机会，能够使学生在学习新知识的同时，激发起求知的欲望，在寻求解决问题的办法的过程中获得自信和成功的体验，于不知不觉中改善了他们的思维品质，提高了数学思维能力。点评点评本节课是在学习了椭圆、双曲线、抛物线后的一节习题课，主要利用两个例题及其引申，通过一题多变，层层深入地探索，强化对圆锥曲线定义的理解.本节习题课的选题具有明显的层次性，由浅入深，所设计的问题以及引导学生进行探究过程的发问,都力求做到“把问题定位在学生认知的最近发展区” 。教师

17、通过对问题的引申、变化，引起学生新的认知冲突，将对问题的讨论层层引向深入，重点突出、分析到位，基本实现了预期目标。在此过程中,学生对圆锥曲线定义的认识不断深化，而且思维深刻性、创造性、科学性、批判性等良好品质得到了很好的训练，分析问题、解决问题的能力大大提高 。 教学方式的选择合理、高效，符合新课程理念。设计的问题强调了基础性、探究性、层次性。这种“探究合作”式教学模式，使学生在“知识的获得过程”上不再是简单的“师传生受”,而是让学生依据自己已有的知识和经验主动的主动建构，实现了教师主导下的主体建构。这节课还能充分显示出“多媒体课件”与探究合作式教学理念的有机结合的教学优势。借助于电脑多媒体课件，全体学生参与空间增大；难以理解的抽象的数学理论变得形象、生动且通俗易懂，学生拥有更多的时间自悟、自练、自查，充分发挥主体作用。