123三角函数的诱导公式.ppt

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1、第第1 1章章 三角函数三角函数1.2.3 1.2.3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式xyoP(x,y)(1,0)的终边yxoP(x,y)(1,0)的终边xyoP(x,y)(1,0)的终边xyoP(x,y)(1,0)的终边如左图，如左图，由定义，由定义，：由此可得到由此可得到:诱导公式一诱导公式一思考思考: :终边相同的角的三角函数值有什么关系终边相同的角的三角函数值有什么关系? ?tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk)(Zk公式一可以用弧度表示为：公式一可以用弧度表示为：公式一有什么作用呢？公式一有什么作用呢？ 能把能把外的角的三角函数值，外的角的三角函数值，化

2、为化为间的角的三角函数求值间的角的三角函数求值来求来求 能否再把能否再把 间的角的三角函数的间的角的三角函数的值，化为我们熟悉的值，化为我们熟悉的 间的角的三角间的角的三角函数求值问题呢？函数求值问题呢？ 3600900 如果能的话，那么任意角的三角函数求如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可以化归为锐角三角函数求值，下面值，都可以化归为锐角三角函数求值，下面就来讨论这一问题就来讨论这一问题公式一的用途公式一的用途本节课的内容本节课的内容（2）设设0，那么，对于，那么，对于 90间的角，间的角， 可表示成：可表示成：- -180间的角，间的角， 可表示成：可表示成：270间的角，间的角，

3、可表示成：可表示成：- -请思考：请思考：1，研究，研究与与 的三角函数值的关系的三角函数值的关系（1）锐角）锐角 的终边与的终边与角的终边，角的终边，位置关系如何？位置关系如何？（2）任意角）任意角 与与？yxoP(x,y)(1,0)的终边xyoP(x,y)(1,0)的终边PP1，研究，研究与与 的三角函数值的关系的三角函数值的关系由分析可得：由分析可得：角角终边关系终边关系关于原点对称关于原点对称点的关系点的关系P(x,y)P(-x,-y)函数关系函数关系因此，可得：因此，可得：公式二公式二sin()sincos()costan()tan 公式二的作用是什么呢？公式二的作用是什么呢？2，研

4、究，研究 与与 的三角函数值的关系的三角函数值的关系yxoP(x,y)(1,0)的终边的终边- -的终边的终边P角角终边终边关系关系关于关于X轴对称轴对称点的点的关系关系P(x,y)P(x,-y)函数函数关系关系因此，可得：因此，可得：公式三公式三tan)tan(cos)cos(sin)sin(atan)tan(cos)cos(sin)sin(asin()sincos()costan()tan 用用去代替公式二中的去代替公式二中的，再由，再由公式三可得到一个什么样的关系式？公式三可得到一个什么样的关系式？可得公式四可得公式四:tan)tan(cos)cos(sin)sin( +2k( kZ),

5、-, +2k( kZ),-,的三等于的三等于的的同名三角函数值同名三角函数值, ,前面加上一个把个锐角时前面加上一个把个锐角时, ,原函数所在象限的符号原函数所在象限的符号. .利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数角三角函数 一般可按下面步骤进行一般可按下面步骤进行 02角的三角函数角的三角函数锐角三角函数锐角三角函数用公式一用公式一或公式三或公式三用公式一用公式一用公式二、用公式二、或四或四任意负角的三角函数任意负角的三角函数任意正角的三角函数任意正角的三角函数sin()sincos()costan()tan 总结总结tan)tan(cos)

6、cos(sin)sin(atan)tan(cos)cos(sin)sin(+2k( kZ),-,+2k( kZ),-,的三角函数于的三角函数于的的同名三角函数值同名三角函数值, ,前面加上一个把前面加上一个把看成一角时看成一角时, ,原函数所在象限的符号原函数所在象限的符号(4)sin(1200(4)sin(12000 0)cos(1290)cos(12900 0)+cos(-)+cos(-102010200 0)sin(-1050)sin(-10500 0)+tan945)+tan9450 03(1)23(2)2(4)1/2(3)0巩固练习巩固练习: :化归化归: :负化正负化正, ,大化小

7、大化小. . 1.1.求下列三角函数的值求下列三角函数的值 (1)sin(-1200(1)sin(-12000 0) (2)cos(47/6) ) (2)cos(47/6) (3)cos(/5)+cos(2/5)+cos(3/5)+cos(4/5)(3)cos(/5)+cos(2/5)+cos(3/5)+cos(4/5)cos(180) sin(360 )sin(180 ) cos( 180)2.化简：)180cos()180sin(sincos :原式解)cos(sinsincos13 31 13 3. .已已知知s si in n( (3 3 ) ) l lg g, ,1 10 0c co

8、 os s( ( ) )求求c co os s c co os s 1 1c co os s( ( 2 2) )的的值值. .c co os sc co os s c co os s( ( 2 2) )18 下面我们来研究下面我们来研究与与/2的三角函数的三角函数值之间的关系值之间的关系设设是锐角是锐角,它的终边它的终边与单位圆的交点为与单位圆的交点为 P(x,y),则则/2的终的终边与单位圆的交点为边与单位圆的交点为 P1(y,x),由三角函数的由三角函数的定义知定义知:sin(/2)=xcos(/2)=y由此可得到s si in n( ( ) )c co os s , ,2 2c co o

9、s s( (公公) )s s式式 五五 : :i in n . .2 2由公式二与五可得六s si in n( () ) c co os s, ,2 2c co os s( () )s si in n. .2 2公公式式: : /2的三角函数值等于的三角函数值等于的余函数的余函数(正弦函数与余弦函数互为余函数正弦函数与余弦函数互为余函数)值值,前面前面加上把加上把看成是锐角时原函数所在象限的看成是锐角时原函数所在象限的符号符号.利用单位圆和三利用单位圆和三角函数的定义也角函数的定义也可以得到公式可以得到公式(六六)例题选讲例题选讲 求证3 3例例1 1、：（1 1）sin(sin()cos)c

10、os; ;2 23 3 (2)cos( (2)cos()sin)sin. .2 2 /2,3/2的三角函数值等于的三角函数值等于的余的余函数函数(正弦函数与余弦函数互为余函数正弦函数与余弦函数互为余函数)值值,前面加上把前面加上把看成是锐角时原函数所在象限看成是锐角时原函数所在象限的符号的符号. 例例2.2.化化简简1111sin 2sin 2 coscos coscos coscos22229 9coscos sin 3sin 3 sinsin sinsin2 2. .-tan1、诱导公式：(公式一到六)口诀：奇变偶不变，符号看象限口诀：奇变偶不变，符号看象限意义：意义：212kkZkk（）

11、的三角函数值）当 为偶数时，等于 的同名三角函数值，前面加上一个把 看作锐角时原三角函数值的符号；）当 为奇数时，等于 的异名三角函数值，前面加上一个把 看作锐角时原三角函数值的符号；2、求任意角的三角函数值的步骤、求任意角的三角函数值的步骤：任意角的三角函数任意角的三角函数相应正角的三角函数相应正角的三角函数 角的三角函数角的三角函数02到锐角的三角函数锐角的三角函数三角函数值三角函数值2()kkZ2322、查表查表思想思想: 化归化归方法方法:负变正负变正,大变小大变小.1 已知已知sin( /4+ )=1/2,则则sin(3 /4- )的的 值是值是 。1/20 例例3:已知已知cos

12、(750+ )=1/3, 求求cos(1050- )+cos(2850- )2 cos( -8 /3)+cos( +13 /3)= .巩固练习巩固练习: :0例例4: 4: 已知已知sin(x+sin(x+ /6)=1/4/6)=1/4求求sin(7sin(7 /6+x)+sin/6+x)+sin2 2(5(5 /6-x)/6-x)的值。的值。解解:sin(7/6+x)=sin(+/6+x:sin(7/6+x)=sin(+/6+x) )=-sin(/6+x)=-1/4=-sin(/6+x)=-1/4 又因为又因为sin(5/6-x)=sin-(5sin(5/6-x)=sin-(5-x)-x)=

13、sin(x+/6)=1/4=sin(x+/6)=1/4所以，原式所以，原式转化思想转化思想化归化归11tan()3sin3 tan( + )若，cos()tan()求 的取值范围.22,kkkZ的取值范围是：变形变形: :1.已知已知sin( /4+ )=1/2,则则sin(3 /4- )的的 值是值是 。2.cos( -8 /3)+cos( +13 /3)= .3.已知角已知角 的终边上的一点的终边上的一点P(3a,4a) (a0) 则则cos(5400- )的值是的值是 。巩固练习巩固练习: :03/51/21/22:2:关于诱导公式的运用问题关于诱导公式的运用问题在诱导公式运用中,不仅要注意公式的正用,还要注意公式的逆用、活用活用和变用.要做到灵活运用如何才能做到灵活运用？心中有公式，用时想公式，必要时变公式心中有公式，用时想公式，必要时变公式1 1、诱导公式：、诱导公式：( (公式一到六公式一到六) )口诀：奇变偶不变，符号看象限口诀：奇变偶不变，符号看象限课堂小结课堂小结: :