2013年考研数学一真题与解析.doc

《2013年考研数学一真题与解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年考研数学一真题与解析.doc（10页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、12017 年考研数学三真题一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分1若函数在处连续，则1 cos,0( ) ,0xxf xax bx 0x （A）（B）（C）（D）1 2ab 1 2ab 0ab 2ab 【详解】，要使函数在处连续， 0001 1 cos12lim( )limlim2xxxxxf xaxaxa 0lim( )(0) xf xbf 0x 必须满足所以应该选（A）11 22baba2二元函数的极值点是（ ）(3)zxyxy（A） （B） （C） （D）(0,0)0 3( , )3 0( , )11( , )【详解】，2(3)32zyxyxyyxyyx232zxxxyy2

2、222222 ,2 ,32zzzzyxxxyx yy x 解方程组，得四个驻点对每个驻点验证，发现只有在点处满足22320320zyxyyx zxxxyy 2ACB11( , )，且，所以为函数的极大值点，所以应该选（D）230ACB20AC 11( , )3设函数是可导函数，且满足，则( )f x( )( )0f x fx（A） （B） （C） （D）(1)( 1)ff11( )()ff 11( )()ff 11( )()ff 【详解】设，则，也就是是单调增加函数也就得到2( )( ( )g xf x( )2 ( )( )0g xf x fx2( )f x，所以应该选（C）22(1)( 1)

3、(1)( 1)ffff4 若级数收敛，则（ ）211sinln(1)nknnk （A） （B） （C） （D）12122【详解】iv时n 222211111 11111sinln(1)(1)22kkkokonnnnnnnnn显然当且仅当，也就是时，级数的一般项是关于的二阶无穷小，级数收敛，从而选(1)0k1k 1 n 择（C） 5设为单位列向量，为阶单位矩阵，则nEn（A）不可逆 （B）不可逆TETE（C）不可逆 （D）不可逆2TE2TE【详解】矩阵的特征值为 和个，从而的特征值分T11n0,2,2TTTTEEEE别为；显然只有存在零特征值，所以不可逆，0,1,1,12,1,1,11,1,1,

4、13,1,1,1TE应该选（A） 6已知矩阵，则 200 021 001A 210 020 001B 100 020 002C （A）相似，相似 （B）相似，不相似,A C,B C,A C,B C（C）不相似，相似 （D）不相似，不相似,A C,B C,A C,B C【详解】矩阵的特征值都是是否可对解化，只需要关心的情况,A B1232,12对于矩阵，秩等于 1 ，也就是矩阵属于特征值存在两个线性无关的A000 2001001EA A2特征向量，也就是可以对角化，也就是AC对于矩阵，秩等于 2 ，也就是矩阵属于特征值只有一个线性无关的B010 2000 001EB A2特征向量，也就是不可以对

5、角化，当然不相似故选择（B） ,B C7设，是三个随机事件，且相互独立，相互独立，则与相互独立的充分必要,A BC,A C,B CABC条件是（ ）（A）相互独立 （B）互不相容,A B,A B（C） 相互独立 （D）互不相容,AB C,AB C【详解】3() )()()()()( ) ( )( ) ( )()P AB CP ACABP ACP BCP ABCP A P CP B P CP ABC() ( )( ( )( )() ( )( ) ( )( ) ( )() ( )P AB P CP AP BP AB P CP A P CP B P CP AB P C显然，与相互独立的充分必要条件是

6、，所以选择（C ） ABC()() ( )P ABCP AB P C8设为来自正态总体的简单随机样本，若，则下列结论中12,(2)nXXXn ( ,1)N11ni iXXn不正确的是（ ）（A）服从分布 （B）服从分布 21()ni iX22 12nXX2（C）服从分布 （D）服从分布21()ni iXX22()n X2解：（1）显然且相互独立，所以服从22() (0,1)() (1),1,2,iiXNXin21()ni iX分布，也就是（A）结论是正确的；2( )n（2），所以（C）结论也是正确的；2 222 2 1(1)()(1)(1)ni inSXXnSn（3）注意，所以（D）结论也是正

7、确的；221( , )() (0,1)() (1)XNn XNn Xn（4）对于选项（B）：，所以（B）221 111() (0,2)(0,1)() (1)22n nnXXXXNNXX结论是错误的，应该选择（B） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9 322(sin)xxdx 解：由对称性知3 322220(sin)22xxdxx dx 10差分方程的通解为 122tttyy【详解】齐次差分方程的通解为；120ttyy2xyC设的特解为，代入方程，得；122tttyy2ttyat1 2a 所以差分方程的通解为122tttyy122.2ttyC

8、t11设生产某产品的平均成本，其中产量为，则边际成本为 .( )1QC Qe Q4【详解】答案为1 (1)QQ e平均成本，则总成本为，从而边际成本为( )1QC Qe ( )( )QC QQC QQQe( )1 (1).QC QQ e 12设函数具有一阶连续的偏导数，且已知，则( , )f x y( , )(1)yydf x yye dxxy e dy(0,0)0f( , )f x y 【详解详解】，所以，由，得( , )(1)()yyydf x yye dxxy e dyd xye( , )yf x yxyeC(0,0)0f，所以0C ( , )yf x yxye13设矩阵，为线性无关的三

9、维列向量，则向量组的秩为 101 112 011A 123, 123,AAA【详解】对矩阵进行初等变换，知矩阵 A 的秩为 2，由于101101101 112011011 011011000A 为线性无关，所以向量组的秩为 2123, 123,AAA14设随机变量的概率分布为，若，则X122P X 1P Xa3P Xb0EX DX 【详解】显然由概率分布的性质，知112ab，解得12133102EXabab 11,44ab，29292EXab229()2DXEXEX三、解答题 15 （本题满分 10 分）求极限030limxtxxte dtx【详解详解】令，则，xtu ,txu dtdu 00

10、xxtx uxte dtuedu00033300002limlimlimlim33 2xxxtxuuxxxxxxte dteue duue duxexxxx 516 （本题满分 10 分）计算积分，其中是第一象限中以曲线与轴为边界的无界区域3242(1)DydxdyxyDyxx【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1) 4(1)11121411282xDxyydxdydxdyxyxydxydxxydxxx17 （本题满分 10 分）求2 1limln 1nnkkk nn【详解】由定积分的定义120111201limln 1limln 1ln(1)11ln(1)24nn

11、nnkkkkkkxx dxnnnnnx dx18 （本题满分 10 分）已知方程在区间内有实根，确定常数的取值范围11 ln(1)kxx(0,1)k【详解】设，则11( ),(0,1)ln(1)f xxxx22222211(1)ln (1)( )(1)ln (1)(1)ln (1)xxxfxxxxxxx 令，则22( )(1)ln (1)g xxxx2(0)0, (1)2ln 2 1gg2( )ln (1)2ln(1)2 ,(0)0g xxxx g，所以在上单调减少，2(ln(1)( )0,(0,1)1xxgxxx( )g x(0,1)由于，所以当时，也就是在上单调减少，当(0)0g(0,1)

12、x( )0)0g xg( )g x( )g x(0,1)时，进一步得到当时，也就是在上单调减(0,1)x( )(0)0g xg(0,1)x( )0fx( )f x(0,1)少6，也就是得 00011ln(1)1lim( )limlimln(1)ln(1)2xxxxxf xxxxx1(1)1ln2f到111ln22k 19 （本题满分 10 分）设，为幂级数的和函数011111,0,()(1,2,3),1nnnaaanaann( )S x0n n na x（1）证明的收敛半径不小于 0n n na x1（2）证明，并求出和函数的表达式(1)( )( )0( 1,1)x S xxS xx 【详解】

13、 （1）由条件11111()(1)1nnnnnnanaananaan也就得到，也就得到11(1)()()nnnnnaaaa 111,1,2,1nnnnaanaan 1112110112101( 1)(1)!nnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaaaaaaan 也就得到1 11( 1),1,2,(1)!n nnaann 1 111211 21()()()( 1)!n k nnnnn kaaaaaaaak ，所以收敛半径111limlimlim12!3!nnn nnnnaen 1R （2）所以对于幂级数， 由和函数的性质，可得，所以0n n na x11( )n n nS xna x 111

14、111 0111 11 1 100(1)( )(1)(1)(1)( )nnn nnn nnnnn nn nnn nn nnnn nnn nnnx S xxna xna xna xnaxna xananaxaxa xxa xxS x 也就是有(1)( )( )0( 1,1)x S xxS xx 7解微分方程，得，由于，得(1)( )( )0x S xxS x( )1xCeS xx 0(0)1Sa1C 所以( )1xeS xx 20 （本题满分 11 分）设三阶矩阵有三个不同的特征值，且123,A 3122.（1）证明：；( )2r A （2）若，求方程组的通解123, Ax【详解】 （1）证明：

15、因为矩阵有三个不同的特征值，所以是非零矩阵，也就是A( )1r A 假若时，则是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有，又因为( )1r A 0r ( )2r A ，也就是线性相关，也就只有31220123, ( )3r A ( )2r A （2）因为，所以的基础解系中只有一个线性无关的解向量由于，( )2r A 0Ax 31220所以基础解系为；1 2 1x 又由，得非齐次方程组的特解可取为；123, Ax1 1 1 方程组的通解为，其中为任意常数Ax112111xk k21 （本题满分 11 分）设二次型在正交变换下的标准形为222 123123121323( ,)2282f x x xx

16、xaxx xx xx xxQy，求的值及一个正交矩阵22 1122yyaQ【详解】二次型矩阵214 111 41A a 因为二次型的标准形为也就说明矩阵有零特征值，所以，故22 1122yyA0A 2.a 8114111(3)(6)412EA 令得矩阵的特征值为0EA1233,6,0 通过分别解方程组得矩阵的属于特征值的特征向量，属于特征值特()0iEA x13 111131 征值的特征向量，的特征向量，26211021 30311261 所以为所求正交矩阵123111 326 12,036 111 326Q 22 （本题满分 11 分）设随机变量相互独立，且的概率分布为，的概率密度为,X Y

17、X1022P XP XY2 ,01( )0,yyf y 他他（1）求概率；P YEY他他（2）求的概率密度ZXY【详解】 （1）1202( )2.3YEYyfy dyy dy所以2 3 0242.39P YEYP Yydy（2）的分布函数为ZXY ( ),0,20,2,211222 1( )(2)2ZYYFzP ZzP XYzP XYz XP XYz XP XYzP XYzP YzP YzFzFz故的概率密度为ZXY91( )( )( )(2)2 ,012,230,ZZfzFzf zf zzzzz 他他23 （本题满分 11 分） 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了次测量

18、，该物体的质量是已知的，n设次测量结果相互独立且均服从正态分布该工程师记录的是次测量的绝对n12,nXXX2( ,).N n误差，利用估计参数,(1,2, )iiZXin12,nZ ZZ（1）求的概率密度；iZ（2）利用一阶矩求的矩估计量； （3）求参数最大似然估计量【详解】 （1）先求的分布函数为iZ( )i ZiiXzFzP ZzP XzP当时，显然；0z ( )0ZFz 当时，；0z ( )21i ZiiXzzFzP ZzP XzP 所以的概率密度为iZ2222,0( )( )2 0,0zZZezfzFzz （2）数学期望，222 0022( )22ziEZzf z dzzedz 令，解得的矩估计量11ni iEZZZn122 22ni iZZn（3）设的观测值为当时12,nZ ZZ12,nz zz0,1,2,izin似然函数为，2 2 11212( )( ,)( 2)ni innzin iLf ze取对数得：2 2 11ln ( )ln2ln(2 )ln22ni inLnnz1令，得参数最大似然估计量为2 3 1ln ( )10ni idLnzd 211ni izn